Решение задач оптимизации транспортного типа

Цифры, стоящие в скобках около строк и столбцов матрицы С, обозначают номер шага, на котором соответствующие строки и столбцы вычеркиваются. Цифры в скобках над элементами матрицы Х обозначают номер шага, на котором определяются ее соответ-

ствующие элементы, а над столбцами вектора a и около строк век-

тора b – номера шагов, на которых они принимают указанные значения. Поскольку после 6-го шага в первой строке нет ни одного не вычеркнутого элемента, она может быть вычеркнута (правило вычеркивания). То есть положительные компоненты матрицы Х не образуют цикл, их число равно 6 (m + n – 1 = 3 + 4 – 1 = 6). Таким образом, в результате предварительного этапа получен исходный опорный план ТЗ, множество базисных компонент

B(X ) { 1,1 , 1,3 , 1,4 , 2,2 , 2,4 , 3,3 } , D(X ) , O(X ) все

остальные компоненты плана Х.

Итерация 1. Определяем потенциалы, отвечающие исходному опорному плану путем решения системы уравнений:

u1 v1 1; u2 v2 1 ; u1 v3 2 ; u2 v4 1 ; u1 v4 5 ; u3 v3 1 .

Полагая u1 0 , последовательно вычисляем v1 1 , v3 2 , v4 5 ,

u2 1 5 4 , v2 1 ( 4) 5 , u3 1 2 1. Вычисляем величины

ij , (i, j) O( X ) :

12 4 0 5 1; 21 2 ( 4) 1 5 ; 23 4 ( 4) 2 6 ;

31 3 ( 1) 1 3 ; 32 2 ( 1) 5 2 ; 34 3 ( 1) 5 1.

План не является оптимальным, т.к. 12 , 32 , 34 0 , min( 12 , 32 , 34 ) 32 2 . Улучшение плана осуществляется за счет увеличения компоненты x32 , добавление ее к базисным компонентам порождает единственный цикл x32 , x22 , x24 , x14 , x13 , x33 . Определяем 1 min(x22 , x14 , x33) 1 .

20

Увеличиваем нечетные компоненты цикла (помеченные знаком «+») и уменьшаем четные (помеченные знаком « ») на величину1 1 и получаем новый опорный план (рис. 3) (пустые клетки со-

ответствуют нулевым компонентам плана).

остальные компоненты плана. Определяем потенциалы для полученного опорного плана:

u1 v1 1; u1 v3 2 ; u2 v2 1 ; u2 v4 1 ; u3 v2 2 ; u3 v3 1 .

Поскольку все величины неотрицательны, то план является решением нашей задачи.

Решим теперь эту задачу в случае, когда пропускные способности коммуникаций ограничены и их пропускные способности опре-

21

Предварительный этап.

Шаг 1. mini, j cij c11 1 , x11 min(a1, b1, d11 ) min(6, 4,3) d11 3.

Имеет место случай 3. Вычеркиваем элемент c11 , изменяем компо-

22

Шаг 3. mini, j cij c24 1, x24 min(a2 , b4 , d24 ) min(2,2,2) a2 2 .

Случай 1: Вычеркиваем вторую строку матрицы С, переменная x24 становится базисной, b4 0 .

Шаг 4. mini, j cij c33 1 , x33 min(a3 , b3 , d33 ) min(3,4,1) d33 1.

Случай 3: вычеркиваем элемент c33 , a3 2 , b3 3 .

Случай 2, вычеркиваем первый столбец матрицы С, переменная x31

Случай 2: вычеркиваем четвертый столбец матрицы С, переменная x14 0 становится базисной.

Шаг 10. Первая строка и третий столбец остались не вычеркнутыми. Единственный не вычеркнутый элемент третьего столбца

x23 0 , помечаем его как базисный и вычеркиваем третий столбец.

Согласно правилу вычеркивания, выделенные компоненты образуют базис, однако построенная матрица Х не является допустимым решением задачи, так как x41 x15 1 . Поэтому необходимо пе-

рейти к решению расширенной ТЗ с матрицей

23

и векторами a 6,3,3,1 , b 4,2,4,2,1 . Исходный опорный план расширенной ТЗ имеет вид

В скобках записаны базисные элементы опорного плана. Итерация 1. Определим потенциалы расширенной ТЗ, отвечаю-

24

25 M 1 (M 5) 4 ; 35 M 3 (M 5) 1 2 ;

41 M (M 3) 0 3 ; 42 M (M 3) ( 1) 4 ;

44 M (M 3) 0 3 ; 45 0 (M 3) (M 5) 2M 8 ;

шое число). Поэтому, изменяем опорный план увеличивая (вводя в

базис) переменную x45 (случай а)). Добавление компоненты x45 к базисным порождает единственный цикл x45 , x15 , x14 , x24 , x23 , x43 .

Определим

1 min(x15, x24 , x43 ) min(1,2,1) 1,

2 min(d45 x45 , d14 x14 , d23 x23) min( 0,1 0,1 0) 1

min( 1, 2 , d45 ) min(1,1, ) 1.

Для получения нового опорного плана нечетные компоненты x45 , x14 и x23 увеличиваем на 1, а четные x15 , x24 , x43 уменьшаем

25

ется опорным планом исходной задачи.

Итерация II. Для базисных компонент плана Х составляем сис-

и его улучшение должно производиться за счет уменьшения величины x22 d22 1 (случай б)). Добавление компоненты x22 к базис-

ным порождает единственный цикл x22 , x24 , x34 , x42 .

Определим 1 min(x22 , x34 ) min(1,0) 0 ,

2 min(d24 x24 , d32 x32 ) min(1,0) 0 ,

min( 1, 2 , x22 ) 0 .

Переменная x22 становится базисной, а x34 выводится из базиса.

Новый опорный план отличается от предыдущего только тем, что в число базисных переменных включена x22 d22 1 взамен пере-

менной x34 0 .

26

Итерация III. Как и на предыдущих итерациях находим потен-

D(X ) { 1,1 , 1,3 , 3,3 } вычисляем величины ij cij ui vj :

Так как 12 1 0, (1,2) O(X ) , то план Х не является оптимальным и его улучшение производится за счет увеличения вели-

чины x12 0 (случай а)), ее добавление к базисным порождает единственный цикл: x12 , x22 , x24 , x14 .

Находим 1 min(x22 , x14 ) min(1,1) 1,

2 min(d12 x12 , d24 x24 ) min(1 0,2 1) 1,

min( 1, 2 ) 1.

Новый опорный план получается путем увеличения переменных

27

x22 x14 0 ), из базиса должна быть исключена одна из переменных

x12 , x24 , x22 , x14 . Исключим из базиса переменную x12 (т.е. она так и не вошла в число базисных). Это облегчит следующую итерацию.

Итерация IV. Поскольку множество базисных переменных не изменилось, то потенциалы и величины остались прежними. Изме-

няются только множества O( X ) и D( X ) : O(X ) { 2,1 ,(3,4)} ,

D(X ) { 1,1 , 1,2 , 1,3 , 3,3 } .

Так 21 0 , 34 1 , а 11 5 , 12 1, 13 6 , 33 4 , то условия критерия оптимальности выполняются, т.е. полученный опорный план является оптимальным.

2. ДВОЙСТВЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ

Как уже отмечалось, в наиболее общей постановке транспортная задача может быть сформулированы в следующем виде.

Введением фиктивных поставщика или потребителя она легко сводится к замкнутой модели с выполненным балансовым соотно-

28

ным условием разрешимости классической транспортной задачи. Ограничения на пропускные способности коммуникаций существенно усложняют решение задачи. В этой ситуации возникают проблемы не только с применением симплекс-метода или его модификаций к решению задачи, но и с построением первоначального базисного решения. Условия разрешимости задачи также непригодны для практического применения.

Как известно, для того, чтобы ТЗ с ограничениями на пропускные способности коммуникаций имела решение необходимо и достаточно выполнение условий:

Понятно, что проверка выполнения условий (2.5) задача более трудоемкая, чем ее решение. Поэтому для построения первоначального допустимого решения используется метод искусственного базиса, который в случае несовместимости ограничений позволяет установить неразрешимость задачи. Однако, при решении конкретных прикладных задач, в случае несовместности ограничений, может потребоваться составить план перемещения максимально возможного объема продукта с минимальными затратами. При этом, естественно, необходим анализ, позволяющий установить «узкое место», то есть те коммуникации, пропускные способности которых не позволяют осуществить поставки в полном объеме. Такой анализ может быть осуществлен, если рассматриваемую задачу сформули-

способностей D dij m n и стоимостей перемещения единицы про-

дукта C cij m n .

На плоскости отмечаются (кружками) источники (с номерами 1, 2, …, m) и стоки (с номерами m 1, m 2, m n ), а также отмечают-

29