Расчет статически неопределимых балок
.pdf
|
2M |
2 |
(l l |
2 |
) 6 1a1 M l |
; |
||||
|
|
1 |
|
|
|
l1 |
3 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 3 |
|
|
1a1 |
|
M3l2 |
; |
|||
|
l1(l1 l2) |
2(l1 l2) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
M2 |
3 135 |
|
80 3 22,5 20 2,5кН·м. |
|||||||
|
3 6 |
|
2 6 |
|
|
|
||||
Момент получился отрицательный, поэтому меняем его направление.
Находим реакции опор для каждой балки с учетом нагрузки и найденного опорного момента.
Пролет 1. M1 0, M 2 q 3 1,5 R01 3 0,
R01 2,5 40 3 1,5 59,2кН.
3
M0 0, M2 q 3 1,5 R11 3 0;
R |
2,5 40 3 1,5 |
60,8 кН. |
|
||
11 |
3 |
|
|
|
Пролет 2. M1 0, M2 m R22 3 0;
R22 80 32,5 25,8кН.
M2 0, M2 m R12 3 0;
R12 80 32,5 25,8кН.
30
Рис. 3.5
31
Рис. 3.5 (продолжение)
32
Строим эпюры по пролетам. Реакции на опорах балки будут равны
RA R01 59,2кН;
RB R11 R12 60,8 25,8 35кН;
RC R12 25,8кН.
Выполним проверку правильности вычислений. Вертикальное перемещение точки А должно быть равным нулю
A 0,
|
|
|
(M |
|
|
|
|
) |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
40 32 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
F |
M |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
2,5 3 |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
EI |
|
|
|
|
EI |
|
3 |
|
|
8 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2,5 |
3 |
2 |
3 |
|
1 |
80 3 |
1 |
3 |
|
0. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Погрешность равна нулю. Статическая неопределимость балки раскрыта.
Пример 2. Построить эпюры внутренних сил для балки, изображенной на рис. 3.6.
Решение. Балка один раз статически неопределима. Рисуем приведенную, основную и эквивалентную системы.
Записываем уравнение трех моментов:
M l 2M |
|
(l l ) M l 6 |
|
1a1 |
|
2b2 |
. |
||
1 1 |
2 |
1 2 |
3 2 |
|
l |
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Находим моменты в опорах:
M1 0, M3 m q2 2 40кНм.
33
Рис. 3.6
34
Рис. 3.6 (продолжение)
35
Момент m учитываем только один раз в уравнении трех моментов и не учитываем на втором пролете балки.
Строим эпюры изгибающего момента для каждой балки в отдельности и определяем правые части уравнения трех моментов:
1a1 0; l1 0, так как это фиктивный (нулевой) пролет.
1b1 23 10842 4 2 106,67 кН.м3.
После подстановки в уравнение трех моментов и преобразований находим момент M2 :
2M2(l1 l2) M3l2 6 l11a1 ;
|
|
|
|
M2 |
3 |
|
1a1 |
|
M3l2 |
; |
|
|
|
|
l1 |
(l1 l2) |
2(l1 l2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M 2 |
3 |
106,67 |
|
40 4 |
20 20 40 кН.м,M A M2 40кН·м. |
|||||
|
|
4 4 |
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
Находим реакции опор и строим эпюры внутренних сил:
M A 0, M A q1 4 2 q2 2 5 RB 4 0;
RB 40 10 4 42 20 2 5 40 кН.
MB 0, M A q1 4 2 q2 2 1 RA 4 0;
RA 40 10 4 42 20 2 1 40кН.
36
Проверяем правильность решения задачи. Вертикальное перемещение точки В должно равняться нулю:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
B |
M F M |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
10 |
42 |
4 |
1 |
4 |
|
1 |
40 |
4 |
2 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
8 |
|
2 |
2 |
3 |
||||||||||||
EI |
EI |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
40 4 |
|
1 |
4 |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Построить эпюры внутренних сил для балки, изображенной на рис. 3.7.
Решение. Балка дважды статически неопределима. Выбираем основную систему путем постановки шарниров в промежуточные опоры балки.
Записываем систему уравнений трех моментов:
|
|
2M |
(l |
l |
) M l |
6 |
|
1a1 |
|
2b2 |
|
; |
|||
M l |
|
|
|||||||||||||
|
0 1 |
|
|
1 |
1 |
2 |
2 2 |
|
l |
|
l |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a2 |
3b3 |
. |
||
M l |
2M |
2 |
(l |
l |
) M l |
6 |
|||||||||
|
1 1 |
|
|
1 |
2 |
3 3 |
|
|
l2 |
|
l3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В данном примере |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M0 0, M3 0, l1 l2 l2 l, |
|
|
|
|||||||||
|
|
M2, M3 |
– неизвестные моменты. |
|
|
||||||||||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4M l M |
l 6 |
1a1 2b2 |
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2a2 3b3 |
. |
|
|
|
|||
|
|
M l 4M |
l 6 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
37
Строим эпюры изгибающих моментов и определяем правые части уравнений трех моментов:
|
|
a |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
Fl |
|
|
|
|
l |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 4 2 |
|
|
60кН·м . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b |
|
a |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
ql2 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
40 42 |
|
|
|
|
|
|
|
320 |
|
|
2 |
||||||||||||||||
2 2 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
кН·м . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
l |
|
|
l |
|
|
|
|
l |
|
3 8 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
m |
|
|
l |
|
|
l |
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
1 |
|
m |
|
l |
|
|
2 |
|
l |
|
|
|||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3 3 |
|
|
3 3 |
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
l |
|
|
|
l |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
15 2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
30 2 |
2 |
2 |
|
10 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
3 |
|
кН·м . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Подставляем значения в систему уравнений. Получим
M1 55кН.м, M2 30кН·м.
Моменты отрицательны, поэтому меняем их направление на обратное (рис. 3.7, б).
Максимальное значение изгибающего момента на втором пролете определим по формуле:
M z M z0 Mn 1 Mn lnMn 1 z0 38кН·м,
M z0 ql22 z0 qz202 79,5кН·м,
z0 86,25q 2,16м.
38
Рис. 3.7
39