Z : relax a,b,c,d,e, f ,u,0.95
Z
Z Если граничные условия равны нулю на всех четырех сторонах квадрата, можно использовать функцию multigrid.
Z 
multigrid(M,3)
Алгоритм метода, реализуемый этой функцией является многосеточным.
6.5. Задания для самостоятельной работы
Решить методом сеток краевую задачу для следующих УЧП. Построить график решения при различных t , а также при различных x в Mathcad.
Оценить точность решений по следующим эмпирическим формулам оценки глобальной погрешности решения:
max{ |
|
M |
1 |
U xi ,t j ui, j 2 } - для гиперболических уравнений, |
|
0 j N |
(M 1) |
i 0 |
maxU (xi , yj ) ui, j - для параболических и эллиптических уравнений.
0 i M
0 j N
134
Перечень вариантов к заданию 6.1.
1.
u
t
|
2 u |
, |
|
x 2 |
|||
|
|
u ( 0 , t )
u (1, t )
0 x 1,
0 , |
0 |
|
|||
|
0 |
, |
|||
|
|
||||
u ( x,0) sin( x), |
0 |
0 t
t
x .
Полагая x x 0,1 найдите решение при t1 0,005, t2 0,010, t3 0,015 .
Постройте график полученного решения на сетке при x 0; 01; 02 0,9;1 при
t 0,015.
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 u |
u |
, 0 |
x 1, |
|||
t |
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
u |
( 0 , t ) |
|
0 , |
0 |
t , |
|||
|
|
|
|
|
||||
u (1, t ) |
0 , |
|
|
|
||||
u ( x,0) 1, |
0 x 1 . |
|
|
|||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 u |
, |
0 x 1, |
0 t , |
|||
t |
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
u |
( 0 , t ) |
|
0 , |
0 |
t , |
|||
|
|
|
|
0 , |
||||
u (1, t ) |
|
|
|
|||||
u ( x,0) 1, |
0 x 1 . |
|
|
|||||
135
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 u |
sin( |
x) , |
0 x |
1, |
0 t |
|
|
t |
x 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u ( 0 , t )
u (1, t )
u ( x,0)
5.
0 ,
0 ,
sin( 2 x ),
0 t ,
0 x 1 .
u |
|
2 u |
, |
0 x |
1, |
|
|
|
|
|||
t |
x 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
( 0 , t ) |
0 , |
0 |
t |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|||||
u |
(1, t ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
u ( x,0) sin( |
2 x ) |
1 sin( 4 x) |
1 |
sin( 6 x), |
0 x 1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
5 |
2 u |
sin( 8 |
x ), |
0 x 1, |
|
|||||
t |
x 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u |
( 0 , t ) |
0 , |
0 |
t |
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 , |
|
|
|
|||||
u |
(1, t ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
u ( x,0) cos( 4 x), |
|
0 x 1 . |
|
|
|
|||||||
136
7.
u |
|
2 u |
u x , |
|
0 x 1, |
0 t . |
||||
t |
x 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
u ( x,0) 0, |
|
0 x 1 . |
|
|
|
|||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
4 |
2 u |
, 0 |
x |
1, |
0 t . |
|||
t |
x |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
u ( 0 , t ) |
|
||
|
|
|
|
u |
(1, t ) |
||
|
x |
||
|
|
|
|
0 ,
0 t .
x 2 ,
u ( x,0) sin( x), |
0 x 1 . |
|
|
|||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
3 |
2 u |
28 x , |
0 |
x |
1 |
||
t 2 |
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
u ( 0 , t ) |
0 , |
|
0 , |
u (1, t ) |
u |
( x,0) sin( x ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
u ( x,0) |
0 |
|
||||
|
|
t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 u |
|
u |
||
t |
|
x |
2 |
x |
||
|
|
|
||||
,
,
0 t
0 x 1
0 x 1, |
0 t |
137
u ( 0 , t ) |
0 , |
|
0 , |
u (1, t ) |
u ( x,0) e x / 2 ,
11.
0 t
0 x 1.
u 0, |
0 r 2 , |
|
|
|
||||||
u (2, ) |
|
sin( |
) |
0 |
2 . |
|
||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
|
1 u |
|
1 |
2 u |
0, |
0 r |
1, |
||
r 2 |
r r |
r 2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
u (1, ) 1 sin( ) 12 cos( ).
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 u |
, |
0 x 1, |
0 t |
|||
t |
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
u ( 0 , t ) |
|
0 , |
|
0 |
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
u (1, t ) |
cos( t ), |
|
|
|||||
u ( x,0) 0, |
0 x |
|
|
|||||
14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
2 u |
, |
0 x 1, |
0 t |
|||
t |
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
u(0,t) sin(t), |
0 t |
|
|
|||||
u ( x,0) 0, |
0 x |
|
|
|||||
138
15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u |
5 |
2 u |
, |
|
0 x 8 |
|
||||
t 2 |
x 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u ( 0 , t ) |
0 , |
|
0 t |
|
||||||
|
|
|
0 , |
|
|
|||||
u (8 , t ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x,0) sin( |
x |
) |
1 |
sin( |
3 x |
) |
|||
u |
8 |
2 |
8 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
, 0 x 8 |
|||
u(x,0) |
0. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
139