Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Прикладная математика.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

5.4. Контрольные вопросы

1.Записать задачу Коши для уравнения теплопроводности в области

G {(x,t) | x 0,l ,t 0}.

2. Записать задачу Коши для уравнения колебаний в области

G {(x,t) | x 0,l ,t 0}.

3.Записать первую краевую задачу для уравнения колебаний в области

G{(x,t) | x 0,l ,t 0}.

4.Записать смешанную краевую задачу для уравнения колебаний в

области G {(x,t) | x 0,l ,t 0}.

5.Записать вторую краевую задачу для уравнения теплопроводности в

области G {(x,t) | x 0,l ,t 0}.

6. Записать краевую задачу для уравнения Пуассона в области

G{(x, y) | x a,b , y (c, d)}.

7.Привести уравнение к каноническому виду в каждой из областей, где его тип сохраняется:

uxx yuyy 12 uy 0 .

8.Решить задачу Штурма-Лиувилля

X x X x 0;

X (0) X 0 a, X (l) b.

9.Решить задачу Штурма-Лиувилля

X x X x 0;

X (0) a, X (l) b.

107

5.5. Компьютерный практикум

Пример 5.1.

Решим методом Фурье краевую задачу для неоднородного уравнения гиперболического типа

ut2 ux2 2t,	0 x 1,		t 0 ,	(5.49)
u t 0 0;	ut	t 0 x ,		(5.50)
u x 0 0;	ux	x 1 t .		(5.51)

Подберем вначале такую функцию w, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (5.51) и однородному УЧП (5.49). Пусть, например, w xt , тогда

wt2 wx2 0,

w t 0 0;

wt t 0 x.

Тогда функция

v x,t u x,t xt

(5.52)

удовлетворяет уравнению

vt2 vx2

2t,

(5.53)

однородным граничным условиям

v x 0 0;

vx x 1 0

(5.54)

и нулевым начальным условиям

108

v t 0 0;

vt t 0 0 .

(5.55)

Применяя общую схему метода Фурье для решения однородного уравнения vt2 vx2 0 при условиях (5.54), (5.55) полагаем v x,t X x T t . Приходим к задаче Штурма-Лиувилля

		2

	X x X x 0;
	X 0
	X 0	0; X 1 0.
Решая	ее, находим собственные	значения n			n,	n 0,1, 2,... и
Решая	ее, находим собственные	значения n		2	n,	n 0,1, 2,... и
				2
соответствующие собственные функции
	X n x sin n x .					(5.56)
Решение задачи (5.53) – (5.55) ищем в виде ряда

	v x,t Tn t sin n x ,					(5.57)
	n 0
где	Tn 0 0,		Tn 0 0 .			(5.58)

Подставляя (5.57) в (5.53) имеем

	2	(5.59)
	2
Tn t nTn t sin n x 2t .
n 0
Для нахождения функций Tn t разложим функцию 5.1. в ряд Фурье по
системе функций (5.56) на интервале (0, 1)

	1 an sin n x .	(5.60)

n 0

109

1	1		1	2 , и из (5.59) и (5.60)
Так как sin2 n xdx	1	, то	an 2 sin n xdx	2 , и из (5.59) и (5.60)
0	2		0	n

получаем

(5.61)

t nTn t

Общее

решение

уравнения (5.61)

будет

T t 4t Asin

t Bcos

t .

Используя

условия

(5.59),

получим

B 0;

44 .

Подставляя

T t 4t

sin

в (5.57) с учетом (5.52)

находим решение исходной задачи

(5.49)—(5.51):

u x,t xt

nt sin nt sin

n x ,

где n

n .

n 0

Строим график решения при различных x и t

в Mathcad.

m 100

n 0 m

lam

lamk

lamk t sin lamk

u(x t) x t

sin

k 0

lam

dt 0.5

i dt

0 0.02 1

110

u x t1 10 u x t2

u x t3 u x t10 5

0 0	0.2	0.4	0.6	0.8
		x
t1 0 0.01 4		j 0 10		dx 0.1	x1 j dx
					j

u x11 t1 u x12 t1 10

u x13 t1 u x110 t1 5

0 0	1	2	3	4
		t1

Пример 5.2.

Решим методом Фурье краевую задачу для неоднородного уравнения параболического типа.

ut u	2	t x 1 ,	0 x 1, t 0 ,	(5.62)
x
		u t 0 0 ,		(5.63)

111

ux x 0 t2 ;

u x 1 t2 .

(5.64)

Подберем сначала такую функцию w, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (5.64) и начальному условию (5.63). Пусть, например, w xt2 , тогда

wt wx2 2xt,

w t 0 0,

wx x 0 t2 ;

w x 1 t 2 .

Поэтому функция

v u xt2

(5.65)

удовлетворяет уравнению

vt v	2	1 x t	(5.66)
x

и условиям

v t 0 0;

vx x 0 0;

v x 1 0.

(5.67)

Применяя метод Фурье для решения однородного уравнения vt vx2 0 при условиях (5.67), полагаем v x,t X x T t . Приходим к задаче Штурма-Лиувилля

X x 2 X x 0;

X 0 0; X 1 0,

112

собственными	значениями	которой	являются		n	n ,	n 0,1, 2,...,	а
						2
собственными функциями
		X n x cos n x .					(5.68)
Решение задач (5.66), (5.67) ищем в виде

		v x,t Tn t cos		n x .			(5.69)
			n 0
Подставляя (5.69) в (5.66), получаем
		Tn t 2nTn t cos n x 1				x t .
		Tn t 2nTn t cos n x 1				x t .	(5.70)
	n 0
Разложим	функцию 1 x в ряд		Фурье по		системе функций (5.68)			на
интервале (0, 1):


1 x an cos n x .
	n 0
1	22 , то из (5.70) и (5.71) находим
Так как an 2 1 x cos n xdx	22 , то из (5.70) и (5.71) находим
0	n
Tn t 2nT t		2t
		2n

при условии

(5.71)

(5.72)

Tn 0 0.

(5.73)

Решением задач Коши (5.51), (5.52) является

6	e	2 t	2	(5.74)
Tn t 2 n	e	n	nt 1 .	(5.74)

113

Из (5.65), (5.69), (5.73) находим решение исходной задачи (5.62)—(5.64):

u x,t xt2		e 2nt 2nt 1 cos n x , где n
u x,t xt2	2 n6	e 2nt 2nt 1 cos n x , где n		n .
	n 0		2

Строим график решения при различных t в Mathcad.

m 100	n 0 m	lam			n
		n		2

u(x t) x t2 2

k 0

	6		2	lamk
	6		2		2
lamk		exp lamk	t			t 1	cos lamk x

i 0 10	dt 0.5	t	i	i dt	x 0 0.1 1
			i
30

u x t1 u x t2 20

u x t3 u x t1010

0 0	0.2	0.4	0.6	0.8
			x
j 0 10	dx 0.1	x1 j dx		t1 0 0.5 5
			j

114

u x11 t1 u x12 t1 20

u x13 t1 u x110 t1 10

0 0	1	2	3	4	5
			t1

5.6. Задания для самостоятельной работы

Решить методом Фурье краевую задачу для следующих УЧП. Построить график решения при различных t , а также при различных x в Mathcad.

Оценить погрешность по следующей формуле:

						n
						Sn ti Sm ti 2 .
						i 1
				Перечень вариантов к заданию 5.1.
1.
u	2 u	,		0 x 1,		0 t
t	x 2	,		0 x 1,		0 t
t	x 2
u ( 0 , t )		0 ,		0	t
				0	t
u (1, t )		0	,
u ( x,0) sin(			x), 0		x

115

Полагая x x 0,1 найдите решение при t1 0,005, t2 0,010, t3 0,015 .

Постройте график полученного решения на сетке при x 0; 01; 02 0,9;1 при

t 0,015.

2 u

u ,

u ( 0 , t )

0 ,

u (1, t )

u ( x,0) 1,

0 x 1 .

2 u

0 x 1, 0 t

x 2

u ( 0 , t )

0 ,

u (1, t )

u ( x,0) 1,

0 x 1 .

2 u

sin(

x ),

0 x

0 t

u ( 0 , t )

0 ,

u (1, t )

u ( x,0) sin(

2 x),

0 x 1 .

116

2 u

0 x 1,

x 2

u ( 0 , t )

0 ,

u (1, t )

u ( x,0) sin(

2 x)

1 sin( 4 x)

1 sin( 6 x ),

0 x 1 .

2 u

sin(

8 x ),

0 x 1,

u ( 0 , t )

0 ,

u (1, t )

u ( x,0) cos(

4 x),

0 x 1

2 u

u x ,

0 x 1,

0 t

x 2

u ( 0 , t )

0 ,

u (1, t )

u ( x,0) 0,

0 x 1 .

2 u

, 0

x 1,

0 t

u ( 0 , t )
	u
		(1, t )
	x

0 ,
x 2	0	t
x 2	,

117

u ( x,0) sin( x),				0 x 1 .
9.
2 u	3	2 u	28 x ,		0	x	1
t 2	3	x 2	28 x ,		0	x	1
t 2		x 2

u ( 0 , t )	0 ,
	0 ,
u (1, t )	0 ,

u	( x,0) sin( x )

u ( x,0)				0
		t		0
		t
10.
u			2 u		u
t			x	2	x
t			x	2	x

0 t

0 x 1

0 x 1,

0 t

u ( 0 , t )

u (1, t )

u ( x,0)

11.

u 0 ,

0 ,			0	t
	0	,

e x / 2 , 0 x 1.

0 r 2,

u (2, )	sin(	)	0		2 .
12.
2 u	1 u	1	2 u	0,	0 r	1,
r 2	r r	r 2	2

118

u (1, ) 1 sin( ) 12 cos( ).

13.
u		2 u		,		0 x 1,		0 t
t		x 2		,		0 x 1,		0 t
t		x 2
u ( 0 , t )				0 ,			0 t
							0 t
u (1, t )				cos( t ),
u ( x,0) 0,				0 x
14.
u		2 u		,		0 x 1,		0 t
t		x 2		,		0 x 1,		0 t
t		x 2
u(0,t) sin(t),						0 t
u ( x,0) 0,				0 x
15.
2 u	5			2 u	,	0 x 8
t 2	5		x 2		,	0 x 8
t 2			x 2

u ( 0 , t )	0 ,
	0 ,
u (8 , t )	0 ,


u ( x,0) sin(
	u ( x,0)
		0.
	t

0 t

x )	1	sin(	3 x )
8	2		8	, 0	x 8
				, 0	x 8

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2016 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20252.53 Mб0Приводы литейных машин и оборудования.pdf
#
29.11.2025841.5 Кб0Прикладная математика. Вычислительные задачи.pdf
#
29.11.2025983.76 Кб1Прикладная математика. Магические квадраты.pdf
#
29.11.2025524.59 Кб0Прикладная математика. Применение Wolfram Mathematica для шифрования информации.pdf
#
29.11.2025729.99 Кб0Прикладная математика. Теория вероятностей.pdf
#
29.11.20251.92 Mб0Прикладная математика.pdf
#
29.11.20252.4 Mб0Прикладная механика литейного производства.pdf
#
29.11.20253.44 Mб0Прикладная механика. Курсовое проектирование.pdf
#
29.11.2025705.74 Кб0Прикладная механика.pdf
#
29.11.20252.48 Mб1Прикладная оптика.pdf
#
29.11.20251.36 Mб1Прикладная социология.pdf