Решения задач о свободных колебаниях ограниченной струны или стержня с однородными граничными условиями второго или третьего рода могут быть построены в виде функциональных рядов аналогичной структуры, отличающихся лишь решениями соответствующих вспомогательных задач Штурма-Лиувилля.
5.3. Метод Фурье для уравнения теплопроводности
Рассмотрим общую схему метода разделения переменных (Фурье) на примере краевых задач для неоднородного уравнения теплопроводности [3].
Решение краевых задач для уравнения теплопроводности методом Фурье. Сформулируем задачу об отыскании нестационарного температурного поля u x,t
в тонком стержне длины l , имеющем в начальный момент времени температуруx , если на поверхностях x 0 и x l этого слоя происходит теплообмен с окружающей средой, имеющей нулевую температуру. Требуется найти решение линейного однородного параболического уравнения
ut a2u |
2 , 0 x l, t 0, |
(5.28) |
x |
|
|
удовлетворяющее при t 0 начальному условию
u x,0 x , 0 x l, |
(5.29) |
и однородными граничными условиями третьего рода
ux u 
x 0 0, t 0; (5.30) ux u 
x l 0, t 0.
Следуя методу Фурье разделения переменных, нетривиальные решения уравнения (5.28), удовлетворяющие граничным условиям (5.30), будем искать в виде
u x,t X x T t 0 . |
(5.31) |
101
Подставив предполагаемую форму решения (5.31) в уравнение (5.28) и разделив переменные, получим
|
|
|
|
1 T t |
|
X x |
const. |
a2 T t |
X x |
Поэтому функции T t и X x должны быть определены как решения дифференциальных уравнений
|
2 |
(5.32) |
T t a T t 0; |
||
X x X x 0.
Граничные условия (5.30) с учетом (5.31) дают условия для функции
виде
X 0 X 0 0;
X l X l 0.
(5.33)
X x в
(5.34)
Задача Штурма-Лиувилля (5.33), (5.34) имеет нетривиальные решения
только при определенных, собственных значения |
n |
|
|
|
2 |
|
|
n |
, n 1,2, , которые |
||
|
|
|
l |
|
|
можно выразить через неотрицательные корни n |
трансцендентного уравнения |
||||
2 l2 |
|
|
|
|
|
ctg l l , |
|
|
|
(5.35) |
|
а соответствующие им собственные функции X n x имеют вид
X n x sin 
n x n , n arctg 
n .
102
Квадраты норм этих функций
X |
|
2 l 1 |
n2 l |
2 l l . |
|||||
|
n |
2 |
n2 2l2 |
n2 2l2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При n для выражения (5.32) запишем общее решение |
|||||||||
|
|
T t C |
e na2t , C |
n |
const. |
(5.36) |
|||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
||
Подставив найденные функции X n x |
и Tn t в выражение (5.31), получим |
||||||||
частные решения уравнения (5.28), удовлетворяющие граничным условиям (5.30)
un x,t Tn t X n x Cne na2t sin 
n x n .
Составим формально ряд, членами которого являются функции un x,t :
|
|
|
u x,t Cne na2t sin n x n . |
(5.37) |
|
n 1 |
|
|
Функция u x,t удовлетворяет граничным условиям (5.30), так как этим |
||
условиям удовлетворяет каждый член ряда (5.37). |
|
|
Определим коэффициенты Cn так, |
чтобы выполнялось начальное условие. |
|
Подставляя ряд (5.37) в (5.29), получаем |
|
|
|
n x n x . |
|
u x,0 Cn sin |
(5.38) |
|
n 1 |
|
|
Это соотношение представляет собой разложение функции x в ряд |
||
Фурье по системе ортогональных на отрезке 0 x l собственных |
функций |
|
X n x sin 
n x n , n 1,2, , а коэффициенты Cn являются коэффициентами Фурье и определяются по формуле
103
Cn 1 |
l |
|
2 x X n x dx . |
(5.39) |
|
X n |
0 |
|
Можно показать, что если функция x кусочно-непрерывная на отрезке
0,l , то ряд (5.37) с коэффициентами Cn , определяемыми по формуле (5.39),
удовлетворяет уравнению (5.28) в области 0 x l, t 0, т.е. этот ряд сходится и
его можно дифференцировать почленно дважды по x и один раз по t |
[15]. |
|||
Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности |
||||
ut |
a2u |
2 |
f x,t , 0 x l, t 0, |
(5.40) |
|
x |
|
|
|
с начальным условием |
|
|
|
|
|
|
|
u x,0 x , 0 x l, |
(5.41) |
и граничными условиями |
|
|
|
|
ux u 
x 0 0; (5.42)
ux u x l 0.
Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных функций X n x sin 
n x n задачи на собственные значения
(5.33), (5.34), т.е. в форме разложения
|
|
n x n . |
|
u x,t Tn t X n x Tn t sin |
(5.43) |
||
n 1 |
n 1 |
|
|
считая при этом t параметром.
104
Ряд (5.43) удовлетворяет граничным условиям (5.42). Поэтому функции Tn t следует определить так, чтобы ряд (5.43) удовлетворял уравнению (5.40) и
начальному условию (5.41).
Учитывая полноту системы собственных функций, представим функции f x,t и x в виде следующих рядов Фурье:
|
|
|
|
n x n , |
f x,t fn t X n x |
fn t sin |
|||
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n x n , |
|
x n X n x n sin |
||||
n 1 |
n 1 |
|
|
|
где fn t и n — коэффициенты Фурье, определяемые по формулам
fn t 1 |
l |
f x,t X n x dx |
1 |
|
l |
x,t sin |
n x n dx; |
2 |
2 |
f |
|||||
X n |
0 |
X n |
|
0 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
n x n dx . |
n |
1 |
2 x X n x dx |
|
1 |
2 x sin |
||
|
X n |
0 |
X n |
0 |
|
|
|
(5.44)
(5.45)
Подставляя предполагаемую форму решения (5.43) и разложение (5.44) для
функции f x,t в уравнение (5.40) и заменяя при этом |
X n x на |
n X n x , |
получаем |
|
|
Tn t na2Tn t fn t X n x 0.
n 1
Это соотношение, а значит, и уравнение (5.40) будут удовлетворены, если все коэффициенты разложения равны нулю, т.е.
Tn t na2Tn t fn t . |
(5.46) |
105
Из начального условия (5.41) с учетом (5.43) и (5.44) находим
|
|
|
u x,0 Tn 0 X n x n X n x , 0 |
x l , |
|
n 1 |
n 1 |
|
откуда |
|
|
|
Tn 0 n . |
(5.47) |
Таким образом, для нахождения искомой функции Tn t приходим к задаче Коши (5.46), (5.47) для обыкновенного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Решение этой задачи может быть найдено методом вариации постоянной. Оно имеет вид
t
Tn t ne na2t fn e na2 (t )d .
0
Подставляя функции Tn t , n 1,2, , в разложение (5.43), находим решение исходной задачи (5.40)—(5.42) в следующей форме:
|
|
2 |
|
t |
2 |
|
|
|
u x,t ne na t X n x |
fn e na |
t |
d X n x |
|
||||
|
n 1 |
|
n 1 |
0 |
|
|
|
(5.48) |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
2 |
t sin |
|
|
2 |
n x n , |
||
|
ne na |
n x n |
fn e na |
t d sin |
||||
n 1 |
|
|
|
n 1 |
0 |
|
|
|
где n и |
fn определены формулами (5.45). |
|
|
|
||||
Первое слагаемое в выражении (5.48) представляет собой решение краевой задачи для однородного уравнения (5.40), когда f (x,t) 0 .
106