ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения очень часто встречаются при построении моделей, описывающих динамику объектов иссле- дования. Изучение любого процесса или явления сводится к установлению зависимости между величинами, его характери- зующими. Для сложных физических процессов, в которых оп- ределяющие величины могут существенно меняться в про- странстве и времени, установить зависимость между этими величинами очень трудно. В этих случаях на помощь прихо- дит метод математической физики. Суть его в том, что огра- ничивается промежуток времени, из всего пространства рас- сматривается лишь элементарный объем (отрезок). В основу вывода уравнений, описывающих физические явления, поло- жены законы сохранения энергии и массы, импульса. В пре- делах элементарного объема и выбранного малого отрезка времени можно пренебречь изменением некоторых величин и
существенно упростить зависимость. |
|
||
Производной функции |
y = f (x ) |
называется предел отноше- |
|
ния приращения функции |
y к приращению аргумента x при |
||
x, стремящемся к нулю, т.е. y ′ = |
lim |
y f (x ) . Если z = f (x,y) |
|
|
|
x →0 |
x |
функция двух переменных x и y, то, зафиксировав для y какое- либо значение, можно дифференцировать z по x. Полученная
производная ∂z называется частной производной z по x. ∂x
В предельном случае при описании процесса, когда изме- нение независимой переменной (времени, координаты и т.п.) стремится к нулю, искомую зависимость можно записать в виде дифференциального уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная функция входит под знаком производ- ной или дифференциала. Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, определяет поря- док уравнения.
Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего числа неза-
23
висимых переменных, то дифференциальное уравнение назы-
вается уравнением в частных производных.
Процесс решения дифференциальных уравнений называ- ется интегрированием. Решением дифференциального урав- нения является всякая функция, при подстановке которой дифференциальное уравнение обращается в тождество. Об- щее решение дифференциального уравнения представляет собой семейство функций.
Для того чтобы полностью (однозначно) описать тот или иной физический процесс, необходимо кроме самого уравне- ния этого процесса задать еще дополнительные условия, назы- ваемые краевыми условиями: они подразделяются на началь- ные и граничные условия.
Интегрируя дифференциальные уравнения, можно полу- чить зависимость между величинами для всей области интег- рирования и всего рассматриваемого промежутка времени. Искомые функции могут быть найдены как в аналитическом виде, так и в виде таблицы значений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка в общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до n-го порядка включительно и может быть записано в следующем виде:
y(n ) = f (x,y,y′,y′′,...,y(n −1) ).
Наибольшее распространение имеют задачи Коши, в кото- рых заданы начальные условия (начальное состояние процес- са): при х = х0 y(х0) = y0, y’(х0) = y0’… . Геометрически задача Коши для уравнения первого порядка состоит в том, чтобы из всего множества интегральных кривых, представляющих со- бой общее решение, выделить ту интегральную кривую, кото- рая проходит через точку с координатами (х0; y0 ).
Дифференциальные уравнения высших порядков решают- ся в основном сведением к системе уравнений первого поряд- ка путем замены переменных:
y1 = y′, y2 = y′′ и т.д.
24
При этом дифференциальное уравнение n-го порядка заме- няется системой из n уравнений:
y′ = y1, y1¢ = y2
.......
yn¢ −1 = f (x,y,y1,y2,...,yn −1 )
Интегрируя дифференциальные уравнения, можно полу- чить зависимость между величинами для всей области интег- рирования и всего рассматриваемого промежутка времени.
Дифференциальные уравнения в частных производных
Многие практически важные задачи гидродинамики, тепло- и массопереноса, теплопроводности, диффузии, теории упру- гости и других областей знаний описываются дифференци- альными уравнениями с частными производными второго по- рядка. Они отражают изменение параметров объекта во вре- мени и пространстве.
Тип уравнения, название |
Физическое содержание |
|
|
Параболический тип |
Описывает распространение теп- |
Уравнение теплопровод- |
ла, диффузию и другие процес- |
ности |
сы переноса |
d ∂u - Ñ × (cÑu) + au = f |
|
∂t |
|
|
|
Гиперболический тип |
Описывает процессы, связанные |
Волновое уравнение |
с механическими, электриче- |
2 |
скими, акустическими и други- |
d ¶ u - Ñ × (cÑu ) + au = f |
ми видами колебаний |
¶t 2 |
|
|
|
Эллиптический тип |
Описывает стационарное тепло- |
Уравнение Пуассона |
вое поле, потенциальное течение |
(при f = 0 – Лапласа) |
жидкости и другие физические |
- Ñ × (cÑu ) + au = f |
явления, связанные с выходом |
|
на стационарный режим |
|
25 |
Оператор Набла в декартовой системе координат имеет вид
Ñ = |
¶ i + ¶ |
j + |
¶ k , |
|||
|
|
R |
|
R |
|
R |
|
¶x |
|
¶y |
|
¶z |
|
diva = Ñ × a , gradj = Ñj ,
Оператор Лапласа
div (gradj) = Ñ × (Ñj) = Ñ2j = |
¶2j |
+ |
¶2j |
+ |
¶2j |
= Dj |
|
¶x 2 |
¶y 2 |
¶z 2 |
|||||
|
|
|
|
Для того чтобы решить задачу, необходимо задать краевые условия, которые включают в себя:
·начальные условия – значение функции и ее производ- ной в начальный момент времени;
·граничные условия:
-условие Дирихле – условие, при котором на границе рассматриваемой области искомая функция принимает заданные значения;
-условие Неймана называется условием, при котором на границе рассматриваемой области нормальная произ- водная искомой функции должна принимать заданные значения;
-смешанные условия – условия, при которых на границе рассматриваемой области задается линейная комбина- ция искомой функции и ее нормальной производной.
26