Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

675.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

ЗАДАЧА 9

Задания 81─90.

81. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг

оси Оy фигуры, ограниченной линиями x 0 ,	y 0 ,
x 2 , y x2 1 .

82.Найти длину кривой y lnsin x, π3 x π2 .

83.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Oх фигуры, ограниченной линиями y sin x (одной

полуволны), у = 0.

84.Найти длину кривой y ln 1 x2 ,0 x 14.

85.Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг

оси Ох фигуры, ограниченной линиями y e x,		x 1,
x 2,	y 0.

86.Найти длину кривой y 1 arcsin x 1 x2 , 0 x 34 .

87.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox

фигуры, ограниченной линиями y ln x,	x 4, y 0 .
x t sint;
88. Найти длину дуги кривой y 1 cost,	t [0; 2 ].

89.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y x2 5, y 1.

90.С решением

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox

фигуры,	ограниченной	линиями	y e x,	y 0,
x 0, x	1.

Решение.

Объем тела вращения дуги кривой y f (x) в пределах

													b
x [a;b]			вычисляется определенным интегралом										f 2(x)dx .
													a
Таким			образом,			нам			надо	вычислить			интеграл
1					1
e	2x			2x			(e	2		(1 e	2	) .
	2x			2x				2			2
		dx 2 e			0	2			1) 2
		dx 2 e			0	2			1) 2
0

Отметим, что WM легко вычислил приближенное значение интеграла, что весьма важно с точки зрения различных приложений.

ЗАДАЧА 1 0

Задания 91─100. Вычислить несобственный интеграл или доказать его сходимость или расходимость.

																		dx
91.		хsin xdx .																dx
	1.											2.									.
	1.											2.		xln xln 2 ln x							.
		0											2
				dx														dx
92.				dx														dx
	1.									.		2.									.
	1.		х(ln x)3/2							.		2.		xln xln 2 ln x							.
		e											2
		ln x																dx
93.	1. 2				dx .							2.								.
93.	1. 2			х	dx .							2.			x2 2x 5					.
				2x 3												dx
94.	1.										dx	. 2.							.
94.	1.		x2 2x 3								dx	. 2.			1 x2				.
		2
				xdx												3x
95.	1.						.					2.	xe					dx .
95.	1.			1 x2			.					2.	xe					dx .
													0

96.	1.		dx			.						2.	xcos3xdx .
96.	1.		хln3 x			.						2.	xcos3xdx .
		2
													1		dxx4 .
97.	1.	xe x2 dx .										2.			dxx4 .
		0
													arctgx
98.	1.		dx					.				2.	1 x2 dx .
98.	1.		x ln x					.				2.	1 x2 dx .
		2											1
				dx
99.	1.			dx					.			2.	xcos3xdx .
99.	1.			4 x					.			2.	xcos3xdx .
		0		4 x
		0
100. С решением
					xdx								ln x
	1.											. 2.					dx.
	1.			x4 4x2 8								. 2.			х2		dx.
													1

3.	1 sin xdx							.
3.				x				.
	0
	e			dx
3.				dx						.
3.			х(ln x)3/2							.
	1
	2		ln x
3.			ln x		dx .
3.				х	dx .
	0
	1			2x 3
				2x 3
3.											dx
3.			x2 2x 3								dx
	0
	1			xdx
3.						.
3.			1 x2			.
	0
	2			dx
3.				dx			.
3.			хln3 x				.
	1
	1			2
3.	e xxdx .
	0
	2			dx
3.				dx				.
3.			x ln x					.
	1		x ln x
	1
	0			dx
3.				dx					.
3.				4 x					.
		4		4 x
		4
	2				xdx
3.					xdx
3.				x4 4x2 4
	0

Решение.

1. Данный несобственный интеграл 1-го рода можно вычислить. Вычислим для начала соответствующий неопределенный интеграл при помощи операции поднесения под дифференциал:

		xdx			1				d (x 2 )						[x		2	u]
x 4 4x 2 8					2		(x 2 )2 4x 2 8								[x			u]
1		du						2		1					du				1			u		2
2						[x			u]	2									2 arctg			2			C
2		u 2 4u 8				[x			u]	2		(u 2)2				22			2 arctg			2			C
1			x 2	2										xdx					0		xdx
1			x 2	2	C . Т. о.									xdx							xdx
2 arctg
2 arctg				2							x 4			4x 2 8						x 4	4x 2			8
		xdx				lim 1 arctg							x2 2			0	lim 1 arctg						x2	2		b
													x2 2			0							x2	2		b

0 x4 4x2				8			a 2							2		a		b 2				2				0
0 x4 4x2				8			a 2							2		a		b 2				2				0
1	arctg1				1
2	arctg1			2 2				2	arctg1 0 . Заметим, что arctg1 4 .

Этот результат можно было поучить иначе. Видя, что данный интеграл сходится, т. к. порядок малости подынтегральной функции на обеих бесконечностях равен 3 = 4 1, а подынтегральная функция является нечетной, то ответ 0 становится просто очевидным.

2. Данный несобственный интеграл 1-го рода непосредственному вычислению не поддается. Однако к нему можно применить признак сравнения. В частности, т. к. известно, что при x логарифм возрастает медленнее, чем любая сте-

пень x, то функция x 3/ 2 мажорирует подынтегральную


функцию. А, как известно, dxх	сходится для всех 1. Здесь
1

1,5 . Отметим, что в качестве мажоранты можно было

взять любую функцию x , при 1 2 . Вычислить данный интеграл аналитическими методами представляет значительную сложность.

3. Т. к. подынтегральная функция имеет разрыв 2-го рода

при x

2 (точка x 2 не лежит на отрезке интегрирова-

ния, поэтому ее рассматривать не нужно), то данный интеграл, несмотря на его схожесть с обычным определенным интегралом, таковым не является. Это несобственный интеграл 2-го рода. Вычислим вначале неопределенный интеграл


		xdx			1			d(x2)		[x		2	u]		1			du		1
x4 4x2 4					2	(x2)2 4x2 4				[x			u]		2			(u 2)2		2u 4
	1						2		xdx						1				b
	1		C	. Тогда			0		xdx		lim				1				.
	2x2	4	C	. Тогда					x4 4x2 4		lim			2x		2	4		.
													b 2			2			0
													b 2						0

Таким образом, данный интеграл расходится.

В WM ответ дается весьма кратко. Тем не менее сходящиеся и расходящиеся интегралы легко различимы.

Литература

1.Сухая, Т. А. Задачи по высшей математике : учеб. пособие: в 2 ч. / Т. А. Сухая, В. Ф. Бубнов. Минск : Выш. школа, 1993. Ч. 1. – 416 с.

2.Индивидуальные задания по высшей математике : учеб.

пособие: в 4 ч. / А. П. Рябушко [и др.]. 5-е изд. Ч. 1. Линейная и векторная аглебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. – Минск : Выш. школа, 2009. 304 с.

3.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике : учеб. пособие: в 3 ч. / А. П. Рябушко [и др.]. Минск :

Выш. школа, 1991. Ч. 2. – 352 с.

4.Капусто, А. В. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких пе-

ременных : учебно-методическое пособие / А. В. Капусто.

Минск : БНТУ, 2016. 223 с.

5.Герасимович, А. И. Математический анализ : справ. пособие: в 2 ч. / А. И. Герасимович, Н. А. Рысюк. Минск :

Выш. школа, 1989. Ч. 1. – 287 с.

6.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. Б. П. Демидо-

вича. – М. : Наука, 1981. – 464 с.

Учебное издание

КРУШЕВСКИЙ Евгений Александрович КУЗНЕЦОВА Александра Алексеевна

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

пособие по курсу «Математика. 1-й семестр» для студентов-заочников специальности 1-56 02 01 «Геодезия»

Редактор Е. О. Германович

Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой

Подписано в печать 26.03.2020. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Ризография.

Усл. печ. л. 3,31. Уч.-изд. л. 2,59. Тираж 100. Заказ 806.

Издательиполиграфическоеисполнение: Белорусскийнациональныйтехническийуниверситет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20255.39 Mб0Право и законодательство на транспорте.pdf
#
29.11.20251.1 Mб0Правовое регулирование недвижимости.pdf
#
29.11.2025650.84 Кб0Практикум по иностранному языку (немецкий, английский).pdf
#
29.11.20251.26 Mб0Практикум по информационным технологиям MS Excel.pdf
#
29.11.20251.6 Mб0Практикум по курсу «Общая теория систем».pdf
#
29.11.2025675.32 Кб0Практикум по математике.pdf
#
29.11.20252.67 Mб3Практикум по моделированию в среде MATLAB.pdf
#
29.11.2025882.87 Кб0Практикум по учебной дисциплине Сметное дело. Ч. 1.pdf
#
29.11.20252.41 Mб0Практическая гидрометрия.pdf
#
29.11.20253.59 Mб0Практическая грамматика английского языка.pdf
#
29.11.20252.67 Mб1Практические занятия в электронной лаборатории. В 3 ч. Ч. 1..pdf