Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

675.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Раздел 3. Неопределенный интеграл

ЗАДАЧА 6

Задания 51─60. Найти неопределенные интегралы. Выполнить проверку полученного результата дифференцированием.

51. 1. 3x2 (x 1)10	1	dx .
	x

52.1. 2x (x 1)11 31x dx .

53.1. 4x3 (x 2)12 41x dx .

54.1. 5x5 (x 2)13 51x dx .

55.1. x34 (x 1)9 dx .x

56.	1.	2			(x 1)8				3		x dx .
				x									x dx .
57.	1.			5		(x 2)4 4
57.	1.			4		(x 2)4 4
				x
58.	1.		5x arcsin x							dx .
58.	1.					1 x	2			dx .
						1 x						x2
						x5		x				x2
59.	1.										5		dx .
59.	1.				16 x6						5		dx .
					16 x6

60.С решением

1. 4 ctg2 x sindx2 x .


2.	xe3 x2 dx .
2.	x4e 1 x5 dx .
2.	cos 2 x etg xdx .
2.		5 8arctg3 x						dx .
2.		1 x			2			dx .
		1 x
2.		9arccos7 xdx .
			1 x2
2.		12ln3(x 6)dx								.
2.				x		6				.
				x		6
2.			4x 6						dx .
2.		2x	2	6x			8		dx .
		2x		6x			8
2.	x ln x2 1 dx .
2.	arcsin x dx .
				1 x
2.	x3 e x2 dx

Решение.

1. Воспользуемся свойством интегралов и разобьем инте-

грал от суммы на сумму двух интегралов: (4 ctg2 x)					dx
грал от суммы на сумму двух интегралов: (4 ctg2 x)					2	x
					sin	x
4	dx		ctg2 xdx	. Первый из интегралов является таблич-
4	2	x	2	. Первый из интегралов является таблич-
	sin	x	sin x

ным 4 sindx2 x 4ctg x , во втором интеграле мы используем

правило поднесения под	знак дифференциала,	т. е.
df (x) f '(x)dx . Заметим, что		1

	d(ctgx) (ctgx) dx sin2 x dx .

Из последнего выражения окончательно получим следующий

результат:	4	dx			ctg2 xdx			= 4ctgx (ctg	2	x)d(ctgx) =
		sin	2	x	sin	2	x

= 4ctgx ctg3 x C . 3

Для проверки продифференцируем полученный ответ.

	3	x		4			3				1				4 ctg			2	x
	ctg								2
4ctgx			C					ctg		x				0		2				.
	3			sin	2	x	3				sin	2			sin		x
													x

Отметим иное обозначение для котангенса в системе WM, а также тот факт, что произвольной постоянной здесь пренебрегли. Другими словами, вместо неопределенного интеграла WM в ответ записала одну из первообразных. Что касается проверки дифференцированием, то здесь следует обратиться к задаче 1 раздела 1.

2. Заметим, что x3 x x2 . Тогда x3e x2 dx x2e x2 xdx . Теперь мы воспользуемся поднесением под знак дифференци-

ала df (x) f '(x)dx . dx2		2xdx , откуда выразим			1 dx2 xdx .
					2
Тогда получим наш интеграл в			таком	виде	x2e x2 xdx =
= 1 x2e x2 dx2 . Для удобства заменим x2				t , получим инте-
2
грал 1 te t dt .	Далее воспользуемся формулой интегрирова-
2
ния по частям udv uv vdu , где u t ,				dv e t dt , du dt ,
dv e t dt ,	v e t .	Получим	следующее		выражение:

t
12 te t dt = 12 te t ( et )dt = 12 te t etdt e2	t 1 C.

После «возвращения» к старой переменной ответ выглядит

так:		e x2	(x	2	1) C .
так:		2	(x		1) C .
		2
	Проверка дифференцированием дает:
	e x	2				2xe x	2		e x	2
	e x	(x2	1)			2xe x	(x2	1)	e x	(2x)	2
	2	(x2	1)		C	2	(x2	1)	2	(2x)	0 x3e x
	2					2			2

x2e x2 ( 2x) 2xe x2						2xe x2 2x3e x2 2xe x2					2x3e x2 .

ЗАДАЧА 7

Задания 61─70. Применяя различные приёмы, найти неопределённые интегралы:

61.		x						x				dx
1.	(10x 6)sin		dx .	2.						dx . 3.				.
						2x	2	6x 8			cos x 3sin x
	2
62.						x 5						dx
1.	x arctg2x dx .			2.					dx .	3.			.
					x	2					5	3cos x
						(x 1)

63.

1. xln(x 7)dx .

64.

1. (x 1)e xdx .

2.		x 5	dx .		3.			dx	.
	x	2					2 3cosx sinx
		x 2
2.		x 3		dx .	3.	sin37 x dx .

		2x2 4x 1					cos	x

65.

1. x 5xdx .

66.

1. x cos4x dx .

67.

1. x2e3xdx .

2 x

dx .

cos2

2x dx

sin

(x 1)

dx .

cos

sin

2 x

dx .

(x 1)

1 4x

dx .

cos

5 x

sin

2 x

dx.

68.			x2 1 x
1. (x	2	3x)ln(x 2)dx . 2.	x2 1 x	dx .	3. sin6x cos9xdx.
1. (x		3x)ln(x 2)dx . 2.	3 1 x	dx .	3. sin6x cos9xdx.
69.

1. arctg xdx .

70. С решением

1. xarctg2xdx .

	dx					sin3 x
2.			.	3.	cos7 xdx .
	x 3 x2	1
	dx					3tg x 5 dx
2.				. 3.			.
	x 1	x2 2x				1 cos2 x

Решение.

1. Это интеграл вида Pn(x) arctg xdx . Если вы обратитесь к теории, то узнаете, что Pn(x)dx необходимо принять за dv : dv x dx , тогда u arctg 2x . Далее, интегрируя левую и правую

часть, получим dv xdx

и окончательно v

. Теперь вы-

числяем du d(arctg 2x) , получим в итоге

dx . За-

1 (2x)2

тем, по формуле интегрирования по частям

udv uv vdu ,

2x2

получим x arctg2xdx

arctg 2x 2

dx . Последний

1 4x2

интеграл вычислим отдельно

2x 2

x 2

1 4 1/ 4

1 4x 2

4x 2 1

x2 1 4

x 2 1 4

1 4

4 dx

4 x

x 2 1 4

0,52

161 112 arctg1x2 C 14 x 81 arctg2x C . Тогда, возвращаясь

		x 2	arctg2x	1	2x 2		x2	arctg2x
назад,	получаем			2		dx
		2			1 4x 2		2

14 x 81 arctg2x C .

2. Первое, что стоит сделать при вычислении этого инте-

грала – это представить				x2 2x (x2 2x 1) 1 (x 1)2 1, а
затем заменить	1		t . Из последнего выражения выразим
затем заменить	x 1		t . Из последнего выражения выразим
	x 1
1 x 1, откуда	x	1 1		. Теперь наша задача найти dx . Для
t		t

этого необходимо продифференцировать левую и правую ча-

сти выражения x	1	1. В результате получим dx d(t 1 1) ,
	t		1			2
а окончательно dx (t					или dx t		dt . Чтобы не поте-
				1) dt

ряться в череде дробей, отдельно преобразуем знаменатель

(x 1)

(x 1)2 1 t 1 t

2 1 1 1 t2

1 1 t2

1 t2

t t

Тогда,

разделив dx t 2dt на

(x 1)

(x 1)2 1 t 2

1 t2 ,

можно

легкостью

вычислить

исходный

интеграл

arcsin t C .

При

обратной

(x 1)

1 t

подстановке		1	t , получим окончательный результат
подстановке		x 1	t , получим окончательный результат
	1	x 1
	1	C .
arcsin
arcsin
x 1

Отметим, что WM весьма серьезно относится к понятию области определения подынтегральной функции. Более простое выражение удалось получить только после небольшой корректировки условия (корень из неполного квадратного трехчлена заменили произведением корней). Кроме того, WM отдал предпочтение арктангенсу (перед арксинусом). Ответы на самом деле одинаковые. Это легко проверить дифференцированием.

3. Применим подстановку t tg x , при этом x arctg t , т.е.

dt . В этой подстановке также используются форму-

1 t2

лы sin2 x

tg2 x

cos2 x

. Учитывая t tg x , полу-

tg2 x

1 tg2 x

чим

sin2 x

и cos2 x

. Тогда подынтегральная

1 t2

функция преобразуется следующим образом 3tgx 5 3t 5 ,

1 cos2 x 1	1		или 1 cos2		x	2	t2	. Дробь	3tg x 5	те-
	1 t2					1	t2		1 cos2 x

перь имеет вид		(3t 5)(1 t2 )		.	Запишем интеграл с учетом
			(2 t2 )

(3tg x 5)	(3t 5)(1	t2 )	(3t 5)
всех замен 1 cos2 x dx (2 t2 )(1		t2 )dt (2 t2 )dt . Те-

перь разобьем последний интеграл на два и по свойствам ин-

																								(3t 5)
теграла вынесем постоянные за знак интеграла: (2 t2 )dt =
= 3			t			5			dt			.	В		первом интеграле									поднесем t
					dt
		2 t 2			dt			( 2 )2		t2
под знак дифференциала: tdt															1 d(2 t2 ) . Получим
															2
		t							dt		3			d(2 t 2 )					5					t
3				dt 5							2				2 t 2			dt				arctg				C
3	t 2 2			dt 5			t 2 ( 2)2				2				2 t 2			dt	2			arctg		2		C
3 ln			2 t 2				5		arctg	t		C			3 ln	2	tg2 x				5		arctg		tg x		C.
																					5				tg x


2						2				2					2					2				2
2						2				2					2					2				2

Учитывая, что 3 cos 2x 4 2sin2 x 2 tg2 x аналитиче- 2cos2 x 2cos2 x

ский ответ и ответ из WM идентичны.

Раздел 4. Определенный интеграл

ЗАДАЧА 8

Задания 71─80. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.

71.	у2 16 8х;			у2 24х 48 .
73.	у	х2	; у	1	; x 4 .
		16		х2

75.	у х2		3; у		4	; x 1.
					х2

77.	у х2		1; х 2;			у 0 .
79.	ху 4;		х у 5 .

72.x 2 y2 ; x 1 3y2 .

74.y x 1; y cos x; y 0.

76. у2 2х 1; х у 1 0 .

78.y x2 4x 3; y x 3 .

80.у 8 х2; у х2 (срешением).

Решение.

Кривые, ограничивающие область, являются параболами. У первой из них ветви направлены вниз, у второй – вверх. Приравнивая их между собой и решая полученное уравнение

8 х2 х2 , получим абсциссы пересечения графиков x 2 , т. е. пределы интегрирования в определенном интеграле. Тогда площадь равна (не забываем, что надо из выражения для верхней кривой вычитать выражение для нижней, а не наоборот)

S (8 x2 x2)dx 8x 23 x3 22 16 163 16 163 643 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20255.39 Mб0Право и законодательство на транспорте.pdf
#
29.11.20251.1 Mб0Правовое регулирование недвижимости.pdf
#
29.11.2025650.84 Кб0Практикум по иностранному языку (немецкий, английский).pdf
#
29.11.20251.26 Mб0Практикум по информационным технологиям MS Excel.pdf
#
29.11.20251.6 Mб0Практикум по курсу «Общая теория систем».pdf
#
29.11.2025675.32 Кб0Практикум по математике.pdf
#
29.11.20252.67 Mб3Практикум по моделированию в среде MATLAB.pdf
#
29.11.2025882.87 Кб0Практикум по учебной дисциплине Сметное дело. Ч. 1.pdf
#
29.11.20252.41 Mб0Практическая гидрометрия.pdf
#
29.11.20253.59 Mб0Практическая грамматика английского языка.pdf
#
29.11.20252.67 Mб1Практические занятия в электронной лаборатории. В 3 ч. Ч. 1..pdf