Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

675.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

ЗАДАЧА 2

Задания 11─20. Вычислить пределы с использованием правила Лопиталя:

11.

lim

72x 53x

lim

3x2 5x 2

2x arctg3x

x 0

x 2

2x2 x 6

12.

lim

62x 7 2x

lim

9 x

x 0 sin3x 2x

x 0

x2 6x

13.

lim

e3x e 2x

lim

4x2 7x 3 .

2arcsin x sin x

x 0

x 1

2x2 x 1

14.

lim

73x 32x .

lim

5 x

3 x

x 0

tg x x3

x 1

x x2

15.

lim

e2x ex

lim

5x x2 4 .

x 0

x tg x2

x 4

x2 2x 8

16.

lim

23x 32x

lim

3x 3

8 x 3

x 0

x arcsin x3

x 1

17.

lim

9x 23x

lim

3x2 2x 1 .

x 0 arctg2x 7x

x 1

x2 4x 3

18.

lim

ex e3x

lim

x2 7 3

x 0 sin3x tg2x

x 4

19.

lim

52x 23x

lim

x3 1

x 0 sin x sin x2

x 1

5x2 4x

20. С решением

lim ex e x 2

lim

x2 2x 8

x 0

sin 2 x

x 2

8 x3


Решение.
1. Учитывая неопределенность 0 / 0 ,						воспользуемся пра-
вилом Лопиталя lim	f (x)	lim		f '(x)	. Введем следующие обо-

x 0 g(x)			x 0	g '(x)
значения: f (x) ex e x 2 ,			g(x) sin2 x			и найдем производ-

ные	f '(x) ex e x		и g '(x) 2sin xcos x sin 2x . После этого
наш предел выглядит следующим образом: lim				ex e x 2	=
				sin2 x
	ex e x		x 0
lim		. Т. к. и числитель, и знаменатель снова стремятся
	2sin 2x
x 0

к 0 при x 0 , то опять воспользуемся (2 раза) правилом Ло-

питаля:

lim

ex e x 2

lim

ex e x

lim

ex e x

sin2

2sin 2x

2cos 2x

x 0

2x 8

2. lim

lim

2x 8) lim

2x 2

1 .

8 x3

x 2

(8 x3)

x 2

3x2

Решения WMA дают те же результаты.

ЗАДАЧА 3

Задания 21─30. Исследовать функциюи построить ее график:

21.1. y xx22 11 .

22.	1.	y	x		.
			1 x 3
23.	1.	y	4x3	.
			1 x3

24.	1.	y	4x3 5 .
			x

25.1. y x2x3 1 .

26.1. y x3x4 1 .

27.1. y 2 4x2 .

14x2

28.1. y x32x 2 .

29. 1.	y	x3
				.
		x 2 2
30. С решением
1.	y	x4 1	.

		x2

Решение.

2.y x 1 ex .

2.y ln 1 x2 .

2. y x 1 x2 .

2. y x2e x .

2. y ln 4 x2 .

2. y x 1 e x .

2. y ln x2 1 .

2.y x x2 1 .

2.y x2 sin x .

2. y ln x x2 .

1. Область определения функции \{0}, т.к. деление на 0 невозможно и в точке x = 0 функция терпит разрыв 2-го рода

( lim y lim y ).
x 0	x 0

_________________________________________________________

Представленные выше решения WMA на самом деле являются комбинацией 4 скриншотов.

Функция является четной, т. е. y( x) ( x)4 1 x4 1 y(x) . ( x)2 x2

Т. к. lim y , то наклонных асимптот у графика функции нет.

x x

В выражении для y разделим почленно числитель на знамена-

тель	2	x	2	. Тогда		3	2x	3	2	1) .
тель	y x	x		. Тогда	y 2x 2x		2x		(x 1)(x 1)(x	1) .

Видно, что точки x 1 являются стационарными. Тогда на ( ; 1) (0;1) y 0 , т. е. функция убывает. Функция возрас-

тает при x ( 1; 0) (1; ) , т. к. там y 0 . В силу четности функции, при x 1 функция достигает минимума, равного 1. Т. к. y 2 6x 4 0 , то точек перегиба нет.

Отметим, что WM указал на параболическую асимптоту (т. е. функция в бесконечности «ведет себя» как парабола).

2. Область определения функции (0;1) . Имея это в виду, упростим выражения для функции y ln x ln(1 x) . Вертикальные прямые x 0 и x 1 являются односторонними вер-

	y	1		1		2x 1
тикальными асимптотами.		x	1 x		x(x 1) Т. к. знаме-

натель всегда отрицателен (в области определения), то функ-

ция возрастает при x (0; 0,5)		и убывает при x (0,5;1) .
Точка x 0,5 является точкой максимума.
Максимальное	значение	функции	при	x 0,5 ;
ymax ln(0,25) 2ln 2 1,386 .

Раздел 2. Вектор-функция скалярного аргумента

ЗАДАЧА 4

Задания 31─40. Для графика функции y f (x) в заданной точке с абсциссой x0 найти радиус и центр кривизны. Изобразить график функции и дугу соприкасающейся окружности.

31.	y x2, x	0	0 .		32.	y x2, x	0	1.
		0					0
33.	y x2, x	0	1.		34.	y x2, x		0	0 .
		0						0
35.	y x2, x		0	1.	36.	y x2, x		0	1.
			0					0
37.	y x 1, x0			1 .	38.	y x 1, x0			1 .
39.	y x 1,	x0 1 .			40.	y x 1,	x0 1 (с решением).

Решение.

Воспользуемся формулой для нахождения кривизны явно

заданной функции

| y |

. Здесь

y x 2 ,

y 2x 3 .

)

3/2

( y )

Отсюда

| 2 |

Тогда

радиус

кривизны

(1)2 )3/2

R K 1 2 .

Центр кривизны найдем по параметрическим формулам для эволюты:

xc x y		1 ( y )2							1 1
						1	1				2	,
			y			1	1		2		2	,
			y						2
	1			2				1 1
yc y	1		( y )		1			1 1		2 .
yc y			y		1			2		2 .
			y					2

Т. о., точка (2; 2) является центром кривизны данной кривой

при x 1 , и, одновременно, центром соприкасающейся окружности. Уравнение этой окружности можно записать в

виде (x 2)2 ( y 2)2 2 .

t0 1.


				ЗАДАЧА 5
Задания 41─50.				Для годографа вектор-функции u f (t)
x(t)		i y(t) j z(t) k		в заданной точке со значением параметра
t0	найти уравнение касательной прямой и нормальной плоско-
сти. Вычислить кручение в данной точке.
41.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3 / 3,		t0 1 .
42.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3 / 3,		t0 1 .
43.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3 / 3,		t0 1 .
44.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3 / 3,		t0 1 .
45.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3 / 3,		t0 1 .
46.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3	/ 3,	t0 1.
47.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3	/ 3,	t0 1.
48.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3 / 3,		t0 1.
49.		x(t) t,	y(t) t 2,		z(t) 2t3	/ 3,	t0 1.

50.С решением

x(t) t, y(t) t 2, z(t) 2t3 / 3,

Решение.

Найдем производные от компонент нашей вектор-функции

до 3-го порядка включительно:

x 1, y

2t, z

x 0,

y 2, z 4t ,

x y 0,

z 4 .

Тогда соответствующие

имеют

2 / 3) ,

r (1) (1; 2; 2) ,

вектора

вид

r (1) (1; 1;

(0;

2; 4) ,

r (1) (0;0; 4) .

Смешанное

произведение

r (1)

последних трех векторов равно

8 . Векторное

										i				j	k
										i				j	k
										1			2		2			(4; 4; 2) , его длина
произведение [r					(1); r (1)]					1			2		2			(4; 4; 2) , его длина

										0			2		4
																	8	2

											r r			r
равна 6. Тогда кручение κ=																		.
равна 6. Тогда кручение κ=													2					.

											[r; r ]					36		9
Используя			координаты									векторов						r (1) (1; 1; 2 / 3) и
r (1) (1; 2; 2)			,		запишем уравнение касательной прямой при

t 1	x 1			y 1			z		2				и			нормальной			плоскости
	x 1			y 1			z		3
	1				2			2
(x 1) 2( y 1) 2(z						2		) 0 .					После					упрощения	получим
(x 1) 2( y 1) 2(z						3		) 0 .					После					упрощения	получим
x 2 y 2z		1 0 .
		3

В данной встроенной функции WM в ответ записывается вектор кривизны (его координатами являются как раз кривизна и кручение), а также векторы сопровождающего трехгранника Френе. Т. о., видим, что кручение равно 2/9, а первый вектор

	1		;	2	;	2		(касательный вектор) яв-
трехгранника τ		3		3		3	, \| τ\| 1

ляется направляющим вектором для касательной прямой и нормальным вектором для нормальной плоскости.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20255.39 Mб0Право и законодательство на транспорте.pdf
#
29.11.20251.1 Mб0Правовое регулирование недвижимости.pdf
#
29.11.2025650.84 Кб0Практикум по иностранному языку (немецкий, английский).pdf
#
29.11.20251.26 Mб0Практикум по информационным технологиям MS Excel.pdf
#
29.11.20251.6 Mб0Практикум по курсу «Общая теория систем».pdf
#
29.11.2025675.32 Кб0Практикум по математике.pdf
#
29.11.20252.67 Mб3Практикум по моделированию в среде MATLAB.pdf
#
29.11.2025882.87 Кб0Практикум по учебной дисциплине Сметное дело. Ч. 1.pdf
#
29.11.20252.41 Mб0Практическая гидрометрия.pdf
#
29.11.20253.59 Mб0Практическая грамматика английского языка.pdf
#
29.11.20252.67 Mб1Практические занятия в электронной лаборатории. В 3 ч. Ч. 1..pdf