Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум по курсу «Общая теория систем»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

сп утн и к

r(t)= 0

u (t)

x 2

(t)

x 1

(t)

1 /s

y (t)

_ _

K 2

K 1


а)	б)

103. На рис. изображен объект управления. Предположим, что это модель электромеханической системы позиционирования и что y(t) есть положение.Предложите модель данного объекта в

переменных состояния, приняв в качестве этих переменных "положение" и "скорость его изменения". Вычислите коэффициенты обратной связи по состоянию, при которых положение полюсов замкнутой системы обеспечивало бы постоянную времени системы 0,5 с. а последняяобладала бы критическим демпфированием. Повторите решение для случая, когда постоянная времени системы

должна быть равна 0,5 с, а ζ=0,707. Запишите уравнения состояния замкнутой системы для этих двух условий. Проверьте все результаты с помощью компьютера.

104. Для системы из задачи 102 синтезируйте наблюдатель полного порядка, приняв, что егопостоянная времени в два раза меньше постоянной времени системы, а наблюдатель обладает критическим

r ( t) = 0 +

u ( t)

демпфированием. Получите переда-

точную

функцию

регулятора-

О б ъ ек т

y ( t)

наблюдателя, Gec(s),

для системы,

изображенной на рис. Запишите ха-

рактеристическое уравнение

за-

x n

мкнутой системы: 1 + Gec(s)Gp(s) =

K n

Н аб л ю -

0. Убедитесь, что в этом уравнении

присутствуют в виде произведения

дател ь

x 2

характеристические

полиномы

си-

K 2

со сто-

стемы с обратной связью по состо-

ян и я

янию и наблюдателя. Изобразите

K 1

x 1

сигнальный граф замкнутой систе-

мы. На основании этого графа за-

пишите

уравнения

состояния

си-

стемы. Покажите, что характеристическое уравнение системы имеет корни, соответствующие вышеуказанному произведению. С помощью MATLAB проверьте результаты.

105.	Синтезируйте наблюдатель пол-			Регулятор-	Объект
	ного порядка для системы из за-			наблюдатель	Объект
	ного порядка для системы из за-			наблюдатель
	дачи 103. Постоянная времени	R(s)=0	+	Gec(s)	Gp(s)	Y(s)
	наблюдателя должна быть в два			Gec(s)	Gp(s)	Y(s)
	раза меньше постоянной време-		_		U(s)
	ни системы и при этом наблюда-				U(s)
	ни системы и при этом наблюда-
	тель должен обладать критиче-
	ским демпфированием. Получите передаточную функцию регулятора-наблюдателя, Gec(s), для си-
	стемы со структурой, изображенной на рис. Запишите характеристическое уравнение замкнутой
	системы: 1 + Gec(s)Gp(s) = 0. Убедитесь, что в этом уравнении присутствуют в виде произведения
	характеристические полиномы системы с обратной связью по состоянию и наблюдателя. Изобра-
	зите сигнальный граф замкнутой системы. На основании этого графа запишите уравнения состоя-
	ния системы. Покажите, что характеристическое уравнение системы имеет корни, соответству-
	ющие вышеуказанному произведению. С помощью MATLAB проверьте результаты.

106.С помощью MATLAB рассчитайте реакцию замкнутых систем на начальные условия для задач 101 и 103, 102 и 104. Для систем, в которых используется наблюдатель, рассмотрите два варианта: когда начальные условия в объекте и наблюдателе одинаковы и когда они различны.

107.В системе, изображенной на рис., замените передаточные функции на следующие:

а) Gp (s) =		5	, H (s) =			s + 3				;
	s + 3					(s +1)(s + 2)

б) Gp (s) =		s +1		,	H (s) =		s + 3	.	Исследуйте дан-
		s(s + 3)
							s +1

ную систему на управляемость и наблюдаемость. Проверьте результаты с помощью MATLAB.

Gc(s) Gp(s)

H(s)

108. Для системы, представленной на рис., запишите уравнения состояния, считая, что x1(t) есть переменная состояния верхнего блока, а x2(t) - нижнего блока. Определите, является ли эта система управляемой. Определите, является ли эта система наблюдаемой. Объясните результаты путем анализа свойств системы (с математической точки зрения). С помощью MATLAB проверьте результаты решения задачи.

109.Рассмотрите систему, схема моделирования которой в виде графа приведена на рис. Запишите уравнения состояния для этой системы. Определите передаточную функцию системы. Обратите внимание, что в системе четыре пере-

менных состояния, а передаточная функция имеет второй порядок. Говорят, что системы подобного вида имеют неминимальную реализацию, т.к. число переменных состояния в них превышает порядок передаточной функции. Определите, является ли данная система управляемой и наблюдаемой. С помощью MATLAB проверьте результат.

110.Рассмотрите электрическую цепь на рис. Определите передаточную функцию I(s)/E(s). Запишите уравнения состояния для данной цепи, выбрав в качестве переменных состояния токи, протекающие через катушки индуктивности. Определите, при каких ограничениях на величины сопротивлений и индуктивностей эта цепь будет неуправляемой. Покажите, что полученные условия являются теми самыми, при которых порядок передаточной функции уменьшается до первого.

111. Система управления спутником, приведенная на	ˆ	ˆ
рис., реализует уравнения, в которых учтено воздей-	x(t) = (A −GC)x(t) + Bu(t) +Gy(t) + Mr(t)
ствие на входе системы. Для данного случая опреде-	u	ˆ
		(t) = −Kx(t) + Nr(t)

лите значения М и N.

Регулятор - н аблю датель

С п утн и к

R ( s ) +			1440 s +3200

_			s2 + 28 s + 292
			s2 + 28 s + 292

	1				Y ( s)
	1				Y ( s)
	s2

Практическое занятие 12-13.

Тема: АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (4 часа)

112.Определите описывающую функцию для нелинейностей, изображенных на рис. Постоянную составляющую на выходе нелинейности можно не учитывать.

113.Определите описывающую функцию для нелинейности, изображенной на рис.(а). Реализация данной нелинейности приведена на рис.(б). Покажите, что описывающая функция равна

сумме описывающих функций двух блоков.

114. На рис. изображена система, в которой

нелинейность имеет вид идеального ре-

ле. С помощью метода описывающей

функции исследуйте возможность воз-

никновения в данной системе предельно-

го цикла. Если предельный цикл возмо-

жен, определите амплитуду и частоту

колебаний и исследуйте их устойчи-

вость.

Повторите

задачу для

каждой из следующих передаточных функций объекта:

а)

G(s) =

(s +1)

; б)

G(s) =

2(s +5)

С помощью SIMULINK проверьте результаты.

2s3

s2 (s +1)

115. Рассмотрите систему, изображенную на

рис., в которой нелинейный элемент пред-

ставлен в виде усилителя с насыщением.

С помощью метода описывающей функции

исследуйте возможность возникновения в

данной системе предельного цикла. Если

предельный цикл возможен, определите

амплитуду и частоту колебаний и иссле-

дуйте их устойчивость. Повторите задачу

для каждой из следующих передаточных функций объекта: а) G(s) =

(s +1)2

; б) G(s) =

2(s +5)

2s3

s2 (s +

Проверьте результаты путем моделирования.

116. В задаче 114 было получено, что сигнал на входе нелинейности равен

m(t)=1,16sin(3,16t).

Изобразите точную форму сигнала на выходе нелинейности, n(t). Вычислите компоненту основной частоты на выходе объекта, c1(t) = C1 sin3,16t, т.е. найдите амплитуду C1. Вычислите третью

гармонику сигнала на выходе объекта, c3(t) = C3sin[3•3,16t + θ3], т.е. найдите амплитуду С3. 117. Рассмотрите систему на рис. Полагая К =

0,75 и А= 1, с помощью метода описыва ю- щей функции определите возможность существования предельного цикла в данной системе. Если предельный цикл возможен, определите его амплитуду и частоту, а также исследуйте колебания на устойчивость. Основываясь на полученном ответе, исследуйте, как повлияет на возможность воз-

никновения предельного цикла уменьшение параметра К нелинейной характеристики.Полагая К= 1 и А = 1,5, с помощью метода описывающей функции определите возможность существования предельного цикла в данной системе. Если предельный цикл возможен, определите его амплитуду и частоту, а также исследуйте колебания на устойчивость. Сделайте общий вывод относительно влияния величины люфта (увеличение параметра А) на возможность возникновения предельного цикла. С помощью моделирования проверьте параметры устойчивого предельного цикла.

118. Даны следующие нелинейные уравнения: x = (x +1)y, y = (y +1)x . Найдите все возможные точ-

ки равновесия. В окрестности каждой точки равновесия получите линеаризованные уравнения состояния.Определите устойчивость по Ляпунову каждой точки равновесия. Путем моделирования проверьте устойчивость каждой точки равновесия.

119. Дано нелинейное уравнение х+х2(х-1)+х=0. Найдите все точки равновесия. В окрестности каждой

точки равновесия получите линеаризованные уравнения состояния. Определите устойчивость по Ляпунову каждой точки равновесия.

120.Дано нелинейное уравнение х + х + х2 - 1 = 0. Найдите все точки равновесия. В окрестности каждой точки равновесия получите линеаризованные уравнения состояния. Определите устойчивость по Ляпунову каждой точки равновесия.

121.Нелинейная система описывается уравнением e + e e + e −e2 = 0 . Установите и определите все

точки равновесия. Определите устойчивость по Ляпунову каждой точки равновесия. 122. Рассмотрите систему, изображенную на

рис. Обратите внимание - обратная связь является положительной. Эта система является моделью электронного генератора гармонических колебаний. Укажите положение всех точек равновесия. Определите устойчивость каждой точки равновесия. Путем моделирования проверьте устойчивость каждой точки равновесия.

		ˆ	ˆ
123. Для системы канонического вида	x	= Ax	+ Bu	заданы матрицы A,B,C,D. Найти фундаменталь-
		ˆ	ˆ

	y	= Cx	+ Du

	ˆ ˆ ˆ	ˆ
ˆ
ную матрицу системы Q: Q = AQ, Q(0)		= E ; полюса и нули матричной передаточной характе-

ристики G(s); матричную переходную функцию Ω(t).

					2				0		2						0
				ˆ									ˆ					ˆ				ˆ	(0)
				1) A	= −1				5 − 2 ; B =								0 ; C = (0 0 1); D =						(0)
					−1				3 0							1
					2					−1		1				0
				ˆ		0							ˆ					ˆ				ˆ	(0)
				2) A	=	0				1 1 ; B =						1 ; C = (1 0 0); D =							(0)
					−1					1 1						0
					3					−3		2					0
				ˆ		−1				5		− 2			ˆ				ˆ			ˆ
				3) A	=	−1				5		− 2	; B			= 0		; C = (1 0 0); D = (0)
					−1					3		0					1
					1				2	0				1
				ˆ		0			1 1			ˆ			0		ˆ				ˆ
				4) A	=	0			1 1		; B =				0	; C =			(0 1 0); D = (0)
						1			3	1					1
						1			3	1					1
							0			1		0					0
				ˆ			0			0		1				ˆ		0	ˆ				ˆ	(0)
				5) A	=		0			0		1		; B			=	0	; C =	(1 0 0); D =				(0)
						−6				−11		−6						1
						−6				−11		−6						1
124. Найти каноническую форму системы
а)	y	+ 2y		+ y	−3y			= 2u			+ 2u					б)			y	− 2y		+ y	+ 4y		= 3u	+ u
а)	1		2	1			2			1			2			б)			2		2	1		1	1		2
	y2 − y1 + y2 + y2 = 3u1 +u2																		y1 + y2 + y1 + 3y1 + 2y2 = −2u1 − 2u2

125.Установить, является ли система, заданная в задаче 123, управляемой и наблюдаемой.

126.При каких α и β устойчиво следующее уравнение (нарисовать область в плоскости (α,β))

		z	= −x + αy			y = −x + αy

1)				2)
1)	y =βx − y + αz			2)	x =βx − y + αz
		x =βy − z				z =βy − z
		x =βy − z				z =βy − z

127. Пользуясь критерием Рауса-Гурвица, исследовать на устойчивость полином

1) z5 + 3z 4 + 25z3 +11z 2 + 22z + 30

2) z5 + 5z 4 + 7z3 +19z 2 + 43z +10

128. Методом Рауса-Гурвица исследовать на устойчивость уравнение

1) x + 2x + x + x = 0					2) x + x = 0
x	(IV )				x	(V )	+2x	(IV )
x		+13x	+ 28x	+ 23x + 6x = 0	x		+2x		+ x	+ 2x	+ x + 2x = 0

129.Используя теорему Бэллмана, установить, устойчиво ли тривиальное решение системы с почти постоянной матрицей

x1 = (1

+ e

−t

)x1

− 2x3

x1 = −3x1 + (1+ e

−4t

)x2

− x3

1).

sin t

− 2(1

−

)x2

+ x3

2).

= −(2

−

cost

)x1 − (1+

sin t

)x3

+ t 2

+ t 3

1 +t

1+t3

x3 = 4x1

cos 2t

x2 −5x3

x = −x +

t 2

x −

+ 2

130.Используя теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению, установить, устойчиво ли тривиальное решение системы

8sin y

= x − y + x

+ y

sin t

x = 2x +

= 2

−e

−

3y −cos y

y = x + y

− y

∞

ˆT

t ˆ

dt , где С - отрицательно определенная матрица, найти

131. Пользуясь соотношением B = −∫e

T ˆ

функцию Ляпунова в виде V = x

Bx для системы

− 2 x

− 2

3 x

− 4 x2

−1 3

T ˆ

ˆ ˆ

Проверить выполнение уравнения Ляпунова A B+BA=C .

132. В теории генетического контроля бактерий используется система уравнений:

−α

(1)

x =

(2)

x =

Ax −β

y =

y = Ax −βy

Здесь x(t) - концентрация первичного генного продукта, y(t) - концентрация энзиматического протеина, все постоянные α, γ, Α, β - положительные. Найти ненулевое положение равновесия указанной системы (x0 , y0 ) и исследовать его устойчивость с помощью функции Ляпунова

V (x, y) =W (x, y) −W (x0 , y0 ) , где (1) W (x, y) = −γln y +αy + A2 x2 −βx , 2) W (x, y) = −γln y +αy + 21A (Ax −βy)2

Практическое занятие 14.

Тема: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ЛИТЕРАТУРА

1.Мороз А.И. Курс теории систем. - М., Высшая школа, 1987.

2.Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем.- М., Наука, 1977

3.Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. - М., Высшая школа, 1998.

4.Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20251.36 Mб0Правила безопасного поведения на занятиях физической культурой и спортом (для основного и специального учебных отделений).pdf
#
29.11.20255.39 Mб0Право и законодательство на транспорте.pdf
#
29.11.20251.1 Mб0Правовое регулирование недвижимости.pdf
#
29.11.2025650.84 Кб0Практикум по иностранному языку (немецкий, английский).pdf
#
29.11.20251.26 Mб0Практикум по информационным технологиям MS Excel.pdf
#
29.11.20251.6 Mб0Практикум по курсу «Общая теория систем».pdf
#
29.11.2025675.32 Кб0Практикум по математике.pdf
#
29.11.20252.67 Mб0Практикум по моделированию в среде MATLAB.pdf
#
29.11.2025882.87 Кб0Практикум по учебной дисциплине Сметное дело. Ч. 1.pdf
#
29.11.20252.41 Mб0Практическая гидрометрия.pdf
#
29.11.20253.59 Mб0Практическая грамматика английского языка.pdf