Плоский поперечный изгиб

Решение

нем левом сечении и по методу начальных параметров, двигаясьсле ванаправо,записываемуравненияугловповоротаипрогибов:

гденачальныепараметрывзаделке EIx y0 0 и EIx 0 0.

В уравнение (11.1) подставляем числовые значения внешних сил и определяем угол поворота B на конце консоли, т. е. при z 4 м:

В уравнение (11.2) подставляем числовые значения внешних нагрузок и определяем прогиб yB на конце консоли, т.е. при z 4м:

251

Как показывают расчеты, обе деформации yB и B получи

лись со знаком «плюс». Это означает, что сечение B переместится в положительном направлении оси Y , т. е. прогнется вверх, и по вернетсяпротивхода часовойстрелки.

Задача 11.4

Для балки, выполненной из двутавра № 22 Ix 2550см4 , ис

пользуя метод начальных параметров, определить углы поворота опорныхсеченийипостроитьизогнутуюлинию балки(рис.11.4).

Принять E 2 105 МПа .

Решение

252

Используя кинематические условия на опорах, определяем начальныепараметры:

В выражения (11.3) и (11.4) подставляем числовые значения нагрузок и найденные начальные параметры и получаем уравне нияугловповоротаипрогибоввокончательномрабочемвиде:

253

Используя уравнение углов поворота, определяем углы по воротаопорныхсечений A и B :

Знаки углов поворота показывают, что сечение A повернется походу,асечение B –противходачасовойстрелки.

Для построения изогнутой линии балки с помощью уравне нияпрогибовопределяемпрогибысечений A,C,K ,B и D :

254

Отрицательные значения прогибов показывают, что рассмот ренные сечения прогибаются вниз, т. е. в отрицательном направ лении оси Y . Отложив в масштабе эти значения от прямолиней ной оси и соединив их плавной кривой, получаем изогнутую ли нию балки. При этом для правильного ее построения следует ориентироваться на эпюру моментов и помнить, что она всегда откладывается со стороны сжатых волокон, а поэтому точка, где изгибающиймоментизменяетзнак напротивоположный,дляизо гнутойосибалкибудетявлятьсяточкой перегиба.

Задача 11.5

Для двутавровой балки № 24 Ix 3460см4, E 2 105 МПа

методом начальных параметров определить прогиб и угол пово ротаконцаконсоли(рис.11.5а).

255

Помещаем балку в систему координат Z , Y (рис. 11.5б). Рас пределенную нагрузку q , поскольку она обрывается и не дохо

дит до конца балки, продлеваем до крайнего правого сечения и для восстановления действитель ных условий работы балки вво

По методу начальных параметров записываем уравнения углов

256

Используякинематическиеусловиянаопорах

EIx yA/z 2м 0: EIx y0 EIx 0 2 q 24 0;

24

EIx yB /z 6м 0: EIx y0 EIx 0 6 q 64 RA 6 2 3 q' 6 2 4

24 6 24

F 6 4 3 0 6

и подставив сюда числовые значения нагрузок, получаем систему двухуравненийотносительнонеизвестных EIx y0 и EIx 0 :

Определяемпрогибиуголповоротаконцаконсоли:

Сечение на конце консоли поднимется вверх на 4,8 мм и повер нетсяпоходучасовойстрелкинаугол≈0,11°.

Задача 11.6

определить максимальный прогиб f

и местоположение сечения этого про гиба(рис.11.6). Рис.11.6

257

Решение

Реакцииопорнабалкеодинаковы

RA RB m / .

Помещаем балку в систему координат Z , Y и по методу на

чальных параметров записываем уравнения углов поворота и про гибов:

EIx z EIx 0 RA2z2 ;

EIx yz EIx y0 EIx 0z RA6z3 .

Из граничный условий на опорах определяем начальные па раметры EIx y0 и EIx 0 :

EIx yA /z 0 0 EIx y0 0 ;

EIx yB /z 0: EIx 0 RA6 3 EIx 0 m /6 3 0

EIx 0 m6 .

Тогда окончательно уравнения углов поворота и прогибов принимаютвид

EIx z m6 m /2 z2 ; EIx yz m6 z m /6 z3 .

Так как угол поворота является производной функции про гибов, то экстремальное значение эта функция будет иметь в се чении, где ее производная, т. е. угол поворота, равна нулю. Опреде

ляемточкуэкстремума z0 ивеличинумаксимальногопрогиба f :

258

Решение

Реакцииопорнабалке

RA RB m / 40 кН.

По методу начальных параметров записываем уравнения уг ловповоротаипрогибов:

EIx z EIx 0 RA2z2 m z 2 ;

EIx yz EIx y0 EIx 0z RA6z3 m z2 2 2 ,

259

гденачальныепараметрыизкинематическихусловийнаопорах

EIx yA /z 0 0 EIx y0 0 ;

Подставляем значение EIx 0 и числовые значения нагрузок

вуравнениеугловповоротаиполучаемеговвиде

Определяемперемещениеверхнегоконцастойки:

260