Плоский поперечный изгиб

Записываем условие прочности и получаем квадратное урав нениевида

a2 4000a 184 10403 410103 2 140 0 a2 4000a 2576000 0,

которое решаем относительно неизвестного a – расстояния от ле вой опоры, на котором следует приложить силу F , чтобы макси мальные напряжения в балке стали равны . В результате ре

шения получаем два корня: a1 0,8м и a2 3,2м. Таким образом,

чтобы прочность балки была обеспечена, силу F следует прикла дывать на расстоянии a1 0,8м или a2 3,2м от левой или от правойопоры,чторавнозначнопорезультатувоздействия.

Задача 10.10

Длядеревянной балки(рис.10.10) подобрать размерсечения a , еслидляматериала 10МПа.

Решение

Wx Ix / ymax 249,25a4 /4a 62,3a3.

241

Изусловияпрочности(6.11)подбираемразмерсечения:

Решение

Составляем уравнения равновесия для балки и определяем реакцииопор RA 7,5кН и RB 27,5кН .Стоимэпюру M .

Определяем положение центра тяжести и нейтральной оси сечения,атакжемоментинерции,выраженныйчерез a :

Ix 4a a3 /12 4a a 0,5a 2 a 2a 3 /12 a 2a a2 4a4.

Так как балка выполнена из хрупкого материала, который неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, опасными для нее являются два сечения – сечение B , где действует мак симальный изгибающий момент, и сечение C , в котором изгибаю щий момент хотя и меньше, однако растянутые волокна здесь рас

242

положены снизу и в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, растягивающие напряжения могут превысить раст . Поэто

му при проектировании балки следует рассматривать оба сечения и, записав условие прочности для каждого из них для наиболее нагруженных точек на растяжение и сжатие, подобрать размер a , обеспечивающий прочность элемента. Из полученных значений размера a окончательнопринимаютбольшее.

Сечение B: Mmax (B) 10кН м.

Подбираем размер сечения из условия прочности на сжатие:

Подбираем размер сечения из условия прочности на растяжение:

243

Окончательнопринимаемразмер a 39,7мм 40мм.

Задача 10.12

Для заданной балки (рис. 10.12 а) подобрать сечение двутавр и сечение в виде двух швеллеров. Проверить проч ность балки по касательным напряже

ниям.Длясталипринять 160МПа

и 80МПа.

Решение

Первоначально строим эпюры по перечных сил и моментов и устанав ливаемопасныесечения:

Mmax 80кН м; Qmax 60кН.

Рис.10.12а

Подбираемсечениедвутавр. Изусловияпрочности(6.11)

max Mmax /Wx

необходимыймоментсопротивления сечения

Wx Mmax 80 106 500см3.

160

По сортаменту для двутавровых балок подбира ем номер профиля, удовлетворяющий этому усло вию:

Двутавр№33ГОСТ8239–89(рис.10.12б)―

244

При подборе двутавра с меньшим, но близким к расчетному моментом сопротивления максимальные напряжения превысят допускаемые, однако перенапряжение до 5 % допускается. Если это условие выполняется, раци ональнее выбирать меньший профиль, что позволит снизить вес кон струкции и ее стоимость.

Используя формулу (6.17), проверяем прочность двутавра по касательным напряжениям. Наибольшее значение они принимают нанейтральнойоси,гдеширинасеченияравнатолщинестенки d :

т. е. прочность двутавровой балки по касательным напряжениям обеспечена.

Подбираемсечениеввидедвух рядом стоящих швеллеров.

Иногда в сечениях балок возникают изгибающие моменты такой вели чины, что подобрать номер двутавра по существующему сортаменту не представляется возможным. В этом случае прибегают к сечению, со ставленному из двух одинаковых швеллеров, поставленных стенками друг к другу и жестко соединенных между собой.

Дляданногосоставногосечениямоментсопротивления

Wx Ix / h /2 2Ix(1) / h /2 2Wx (1) ,

где Ix(1) и Wx (1) – соответственно момент инерции и момент со

противленияодногошвеллера. Тогдаизусловияпрочности(6.11)

max Mmax /Wx Mmax /2Wx (1)

необходимыймоментсопротивленияодногошвеллерадолженбыть

245

По сортаменту для швеллеровых балок подбираем номер про филя,удовлетворяющийэтомуусловию:

что находится в пределах допускаемого значения, поэтому окон чательнопринимаемшвеллер№24.

Проверяем прочность сечения по касательным напряжениям, учитывая, что оно состоит из двух одинаковых профилей и его

ширинананейтральнойоси d 2d(1) :

т.е.прочностьсеченияпокасательнымнапряжениямобеспечена.

Задача 10.13

Для деревянной балки (рис. 10.13 а) подобрать два сечения: прямоугольное с отношением сторон h /b 2 и круглое диаметром

d ,еслидляматериала 12МПа.

246

Решение

Определяемреакцииопор:

MA 0: m q 2 1 F 2 RB 3 0

247

Исследуем функцию Wx f b на экстремум, для чего необхо димовзятьеепроизводнуюпоаргументуиприравнятькнулю:

Задача 10.14

Работающий на изгиб элемент представляет собой тонкостен ную трубку с соотношением диаметров D 1,2d (рис. 10.14). По

248

11. ДЕФОРМАЦИИПРИИЗГИБЕ. ИЗОГНУТАЯОСЬБАЛКИ. РАСЧЕТЫНАЖЕСТКОСТЬ

Задача 11.1

Для заданной балки (рис. 11.1) постоянной жесткости EIx оп

ределить, какую силу F следует приложить на конце консоли, чтобыпрогибэтогосечениябылравеннулю.

Решение

Чтобыпрогибнаконцеконсолибылравеннулю:

Задача 11.2

249

Решение

и по сортаменту подбираем профиль: двутавр № 12 ГОСТ 8239–89 –

Ix 350см4 .

Окончательнопринимаембольшеесечение–двутавр№14.

Задача 11.3

Используя метод начальных параметров, для заданной стальной балки E 2 105 МПа , рис. 11.3, имеющей сечение с Ix 1200см4 , определить уголповоротаи прогибнаконцеконсоли.

250