Плоский поперечный изгиб

Наиболее нагруженными точ ками опасного сечения являются точ ки, наиболее удаленные от нейтраль ной оси, т. е. точки на краю сечения. Ординаты этих точек в области рас тянутых и сжатых волокон соответ ственно

ymax(раст) 2,5см; ymax(сж) 3,5см.

Рис.10.1б

Используя формулу (6.9), определяем максимальные растя гивающие и максимальные сжимающие напряжения в опасном се чениибалки:

Задача 10.2

Балка имеет прямоугольное сечение размерами b h 9 12см. В одном из сечений балки действуют поперечная сила Q 60кН и изгибающий момент M 12кН м . Определить нормальные и ка

сательные напряжения в точках этого сечения, расположенных на расстоянии y 4см от нейтральной оси, а также максимальные

значениянапряжений.

Решение

Определяем геометрические харак теристики сечения и статический момент отсеченнойчастиплощади(рис.10.2):

231

Sxотс b h/2 y y h/2 y /2

9 12/2 4 4 12/2 4 /2 90см3 .

Используя формулы (6.9) и (6.17), определяем напряжения

вточкахсечениянауровне A A:

Максимальные нормальные напряжения возникают на краю сечения, а максимальные касательные – на нейтральной оси. Вы числяемихпоформулам(6.11)и(6.17):

где Sxотс(max) b h /2 h /4 bh2 /8 9 122 /8 162см3.

Задача 10.3

Решение

232

а. Находим в сечении центр тяжести, т.е. положение нейтраль нойоси,иопределяемотносительнонеемоментинерции:

Ix 2 203 /12 2 20 10 8,5 2 2

8 23 /12 8 2 8,5 1 2 3752см4 .

б. Для вычисления касательных напряжений в точках на уровне сечения A A определяем статический момент площади, лежащей

междуэтимуровнемикраемсечения(отсеченнаяплощадь):

Ширинасечениянаэтом уровне b 2см 2 4 см.

в. Для вычисления максимальных касательных напряжений (они возникают на нейтральной оси) определяем Sxотс(max). Отсечен

ной площадью в этом случае является часть сечения, расположенная между нейтральной осью и краем сечения, и статические моменты площадей,лежащихвышеиниженейтральнойоси,одинаковы:

Ширинасечениянанейтральнойлиниитакже b 4 см.

г. Максимальные нормальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, т. е. имеющих в сечении

ординату ymax 11,5см (верхние волокна).

233

Определяемнапряженияв точкахнауровне A A:

Определяеммаксимальныенапряжениявсечении:

Задача 10.4

Для двутавровой балки № 30 Wx 472см3, a 0,5м , рис. 10.4,

определить, какую наибольшую нагрузку F она способна выдер жать,еслидляматериалабалки 160 МПа.

Решение

Реакции опор в силу сим метрии нагрузки одинаковы и

234

определяемгрузоподъемностьбалки:

F Wx2a 472 103 1603 75520Н 75,5кН. 2 0,5 10

Задача 10.5

Для двутавровой балки № 24 Wx 289см3 , рис. 10.5, опреде

лить нагрузку q и длину консолей a , если максимальные напря жения в опорных сечениях и посредине пролета одинаковы и рав ны 160МПа.

Решение

В силу симметрии нагрузки реакцииопородинаковы:

RA RB q 2a /2.

Максимальные напряжения в любом сечении балки определя

ются по формуле max M /Wx , по этомувуказанныхсечениях

max (A) M A /Wx ;

max (C ) MC /Wx .

Чтобы в указанных сечениях максимальные напряжения были

равны, т. е. max (A) max (C ) , оди

наковыми здесь должны быть изги

бающие моменты. Запишем их зна Рис.10.5 ченияиприравняем MA MC :

235

По условию задачи максимальные напряжения в указанных сечениях равны 160 МПа. Рассматриваем опорное сечение A иполучаем

рис. 10.6, силой F крайние нижние волокна в сечении C , располо женном на расстоянии a 0,5м от

правой опоры, получили относи тельное удлинение 0,0008. Оп

ределить силу F , которая вызвала такуюдеформацию.Длястали при

нять E 2 105 МПа.

Рис.10.6

Решение

Изгибающий момент в сечении C и, соответственно, макси мальныенапряжениявнижнихрастянутыхволокнах

С другой стороны, в соответствии с законом Гука напряже нияприрастяженииможноопределитьчерезих деформацию:

236

Приравниваемвыражения(10.1)и(10.2):

Fa E

2Wx

F E a2Wx 0,0008 2 105 23 109 103 69760Н 69,8кН. 0,5 10

Задача 10.7

Двухопорная двутавровая балка № 24 (рис. 10.7 а) с моментами сопротивления Wx 289см3 и Wy 34,5см3 нагружена на проле

те сосредоточенным моментом m . Определить допускаемую ве личину этого момента для двух вариан тов расположения двутавра, если для ма

териалабалки 160МПа.

Решение

Рассматриваем установку двутавра с расположением стенки

вплоскости действия момента (нейтральной осью является ось X ), рис. 10.7б. Записываем условие прочности и определяем допус

237

Рассматриваем установку двутавра

срасположением стенки перпендикуляр

но силовой плоскости (нейтральная ось Y ), рис. 10.7в. Записываем условие прочности и определяем для этого случая допускае

Как показывает решение, установка двутавра с расположением стенки в силовой плоскости повышает грузоподъемность конст рукциипочтив8,5раза.

Задача 10.8

При непосредственном нагружении балки AB 6м силой

F посередине пролета (рис. 10.8) оказалось, что максимальные напряжения в опасном сечении превышают допускаемые напря

жения на 30 %. Для устранения перенапряжения на балку AB

была установлена вспомогательная балка CD . Определить, какую длину a должна иметь балка CD , чтобы max в балке AB не пре вышали .

Решение

Определяем максимальные напряжения в балке AB без уста новкивспомогательной балки CD (рис.10.8, а,б):

238

Устанавливаем балку CD (рис. 10.8, в) и изменяем таким об разом расчетную схему балки AB , т. е. перераспределяем нагруз ку F (рис. 10.8, г), в результате чего

максимальный изгибающий момент уменьшается (рис. 10.8, д) и прини маетзначение

Mmax F a /4.

Перезагрузка балки AB приво дит к снижению в ней максималь

ныхнапряженийдозначения :

редине пролета нагружена силой F 40кН, рис. 10.9. Определить максимальные напряжения в балке и проверить ее прочность, ес

239

ли 140 МПа.В случае перенапряжения определить, в каком сечениибалкиследуетприложитьсилу F ,чтобы max .

Решение

Проверяем прочность балки при нагружении силой F посе рединепролета(рис.10.9,а,б):

Mmax RA a Fa a / .

240