Плоский поперечный изгиб

ствующей непосредственно на нее. Это позволяет рассматривать ихкакдвенезависимыебалки,новзаимодействующиенашарнире.

Разрезаем балку AD (рис. 9.10, а) на две балки: подвесную AC иосновную BD ,инакаждойизнихопределяемреакцииопор.

Рис.9.10

221

Подвесная балка AC

Как было сказано ранее, на балке с приложенным моментом m при отсутствии другой нагрузки реакции одинаковы, направлены

навстречу моменту и равны m / независимо от точки его прило жения.Поэтомунаподвеснойбалке RA RC m / (рис.9.10,б).

Основная балка BD

При определении реакций опор на основной балке следует учи тывать воздействие на нее подвесной балки AC , которая кон

цом C опирается на балку BD (см. рис. 9.10, а) и создает здесь усилие RC 20кН (рис. 9.10, в), равное реакции на ее опоре C

подвесной балки (см. рис. 9.10, б), но для основной балки направ ленное вобратную сторону.

 Проверка:

Y 0: RC q 1 F RD RB 0 20 20 1 20 5 65 0.

Далее любым рассмотренным выше способом на каждой балке в отдельности строятся эпюры поперечных сил и изгибающих мо ментов. В частности, эпюры для балки с приложенным на опоре моментом были построены ранее в примере 5.6 (см. рис. 5.6, д). Затем соответствующие эпюры каждой балки – подвесной и ос новной – объединяются в единые эпюры на общей оси балки AD

(рис.9.10, г,д).

Задача 9.11

Набалкесдвумяшарнирами(рис.9.11)построитьэпюры Q и M.

222

Решение

Расчет данной балки удобнее вы полнять,разрезаяеенанезависимые части – подвесную балку BC и две основные AB и CD . При этом если непосредственно на шарнире дейст вует сосредоточенная сила (или мо мент), при разрезании балки эту на грузку следует прикладывать либо к подвесной, либо к основной балке,но только к какой то одной (!) части. Приложенная к подвесной балке, она попадает на опору и будет участво вать в определении реакций опор. Од накоудобнееееприложитькосновной балке, как показано на рис. 9.11. При

ложив сюда же реакцию RB подвес

ной балки, но в обратном направле нии, находят результирующую этих Рис.9.11 сил и направляют ее в соответству

ющую сторону. Аналогично поступают и с моментом, действую щим на шарнире. Завершить решение задачи предлагается само стоятельно.

Задача 9.12

Дляплоскойрамы(рис.9.12а)построитьэпюры Q , M и N .

Решение

Задаем систему координат и определяем реакции в заделке

(см.рис.9.12а):

223

На раме три участка. Рассматриваем каждый из них и для за данного сечения z записываем Qz , Mz и Nz . Правила знаков для

внутренних сил сохраняются те же, что и для балок, а также для стержней, работающих на растяжение и сжатие. Чтобы не допу

стить ошибки при написании выражений Qz , Mz и Nz , занимаем

относительно рамы определенную позицию (см. наблюдатель), оставаясь на ней до завершения решения задачи и мысленно по ворачиваясь к каждому участку. На рис. 9.12б, 9.12г, 9.12д на правление взгляда показано указательным пальцем. При построе нии эпюр выбранная по зиция сохраняется, поэто му считаем, что наблюда тель всегда находится снизу рассматриваемого участка. Тогда положи тельные ординаты внут ренних сил будут откла дываться вверх, т.е. нару жу участка, а отрицатель

Рис.9.12 а ные – вниз, т.е. внутрь рамы,кнаблюдателю.

Участок AB

Сечение z1 берем от свободного конца A , мысленно отбрасы ваялевуючастьрамы(см.рис.9.12б):

0 z1 4м.

Этот участок не имеет свободных концов, поэтому, чтобы к не му подойти, необходимо все нагрузки, действующие на участке AB,

перенестивточку B согласноправилупереносасил(рис.9.12в).

224

Рис.9.12в

Суммируем в точке B моменты: m1 m m2 10кН м, и полу чаем окончательную систему сил, действующую на участке BC . Двигаясь от свободного конца B , рассматриваем сечение z2 (см.

рис.9.12 г):

0 z2 4м.

Qz2 F1 q z2;

Участок CD

Чтобы не переносить всю систему сил из точки B в точку C , участок CD удобнее рассматривать от заделки. Именно по этой причине, если рама имеетзаделку, рациональнее определить здесь реакциии сечениебрать отзаделки(см.рис.9.12д):

0 z3 2м.

Qz3 RD 10кН;

Mz3 MD RD z3;

Nz3 HD 50 кН (растяжение) .

Рис.9.12 д

Подставляем значения координат граничных сечений на уча стках AB , BC и CD истроимэпюры (рис.9.12е):

225

Рис.9.12е

На участке BC поперечная сила изменяет знак на противопо ложный.Определяемточку экстремумаизначение Mmax :

Mmax m2 F1z0 qz02 /2 32,5кН м.

Проверяем правильность построения эпюр через равновесие Г образных узлов. Мысленно вырезаем узел и в сечениях, беско нечно близко лежащих друг к другу, но принадлежащих разным участкам, показываем величину и направление внутренних сил

всоответствииспостроеннымиэпюрами:

направление моментов в сечениях указываем по направле ниюординаты M ,отложеннойвэтомсечении;

226

 направление поперечной силы соот ветствует ее знаку на эпюре: если Q по

ложительна, ее направляем по отношению к узлу по часовой стрелке; если отрица тельна–против;

 знак на эпюре N указывает на вид деформации: растяжение – это плюс, сжа тие – минус, поэтому продольную силу всоответствиисэтимнаправляемлибо от сечения,либо к сечению.

Задача 9.13

Длярамынаопорах(рис.9.13 а)построитьэпюры Q , M и N.

Решение

Определяем реакции опорнараме(см.рис.9.13а):

X 0: HA F 0

HA F 20кН ;

MA 0:

F 2 m q 2 1 RB 4 0, 20 2 10 10 2 1 RB 4 0

227

Рама имеет четыре участка. Рассматриваем каждый из них

идля заданного сечения записываем Qz , Mz и Nz . Направление

взгляданаучасток обозначено указательным пальцем.

Участок KD

Сечение z1 берем от свободного конца, мысленно отбрасывая остальнуючастьрамы(рис.9.13б):

0 z1 2м.

Qz1 0;

Mz1 m 10кН м;

Nz1 F 20 кН (сжатие) . Рис.9.13б

На участке все внутренние усилия постоянны и не зависят от z1.

Участок DC

Участок AC

Мысленно поворачиваемся внутри рамы и смотрим на участок сверху. Тогда низ участка будет расположен со стороны наблю

228

дателя, т. е. внутри рамы, а верх – снаружи. Сечение z3 берем от свободногоконца(рис.9.13г):

Участок BC

Мысленно поворачиваемся внутри рамы и смотрим сверху на

Рис.9.13 д

По полученным данным строим эпюры (рис. 9.13 е), не за бывая, что для горизонтальных участков верх расположен снару жи,аниз–внутрирамы,тамгденаходится наблюдатель.

Рис.9.13е

229

Правильность эпюр проверяем по равновесию Т образного узла (рис. 9.13 ж). Вырезаем узел и в сече ниях, принадлежащих трем участкам, в соответствии с эпюрами показываем направлениеивеличину Q , M и N.

Рис.9.13ж

10. НАПРЯЖЕНИЯПРИИЗГИБЕ. РАСЧЕТЫНАПРОЧНОСТЬ

Задача 10.1

Балка таврового сечения (рис. 10.1 а) длиной 4м посередине пролета нагружена силой F 3кН. Определить максимальные рас тягивающиеимаксимальныесжимающиенапряжениявбалке.

Решение

Опасным сечением на бал ке является середина пролета, где возникает максимальный из гибающиймомент:

Mmax F4 344 3кН м.

Рис.10.1а

Рассматриваемсечение(рис.10.1б)иопределяемдлянего:

а) центр тяжести и, соответственно, положение нейтральной оси X ,являющейсяцентральнойосьюсечения:

б) моментинерциисечения Ix относительнонейтральнойоси:

230