Плоский поперечный изгиб

Рис.9.5(окончание)

Аналогичным образом, путем алгебраического сложения реакций от каждой нагрузки в отдельности на соответствующих опорах опре деляютсясуммарныеопорныереакциинабалке(см.рис.9.5,а):

RA RA(q) RA(F ) RA(m) 40 20 10 50кН;

RB RB(q) RB(F ) RB(m) 40 20 10 70кН.

Проверить правильность определения реакций, полученных

методом сложения действия сил,можносоставлениемирешением уравненийравновесиядлябалки(см.рис.9.5,а):

атакжестатическойпроверкой

Y 0: RA RB F q 4 0 50 70 40 20 4 0.

Для проверки правильности полученных результирующих эпюр Q и M их можно построить любым другим способом, рассмотрен

211

ным выше, а также выполнить контроль с помощью дифференци альныхзависимостей(4.1).

Задача 9.6

Для двухопорной балки (рис. 9.6), нагруженной распределенной

Решение

Зная величину и положение равнодействующей, составляем уравненияравновесияинаходимреакцииопор:

212

 Проверка:

Y 0: RA RB Rq 0 64 q0 65q0 32q0 0.

Для построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов используеманалитический способ решения.

На балке один участок. Рассмотрим сечение z 0 z и за

пишем для него выражения Qz и Mz , которые определим инте грированиемдифференциальныхзависимостей(4.2):

Qz qzdz q0 1 z / dz q0z q0z2 /2 C ;

Mz Qzdz q0z q0z2 /2 C dz q0z2 /2 q0z3 /6 Cz D,

где C и D – постоянные интегрирования, определяемые из гра ничныхусловийпри z 0 :

Qz /z 0 RA 64q0 C 64q0 и Mz /z 0 0 D 0.

Врезультате получаем окончательные выражения для Qz и Mz

исоответствующиезначениявнутреннихсилвграничныхсечениях:

Полученные значения Qz показывают, что знак поперечной си лы изменяется на противоположный, а значит, в сечении, где

213

Qz 0, на эпюре моментов будет экстремум. Определяем точку экстремума:

Решение квадратного уравнения дает два корня, однако выби раем только тот, который соответствует смыслу задачи. В точке

экстремума находиммаксимальныйизгибающиймомент Mmax :

Mmax q0z02 q0z03 4q0 z0 0,19q0 2 .

2 6 6

По результатам расчетов строим эпюры. Из функций Qz и Mz

видно, что от действия линейно распределенной нагрузки попереч наясилаизменяется по закону квадратичной, а момент – по закону кубической параболы (см. рис. 9.6). Так как вторые производные

функций Qz и Mz отрицательны, обе эпюры будут направлены выпуклостьювверх.

Задача 9.7

Длязаданнойконсольнойбалки(рис.9.7)построитьэпюры Q иM .

Решение

Первоначально определяем равнодействующую распределенной нагрузкииреакциивзаделке:

 равнодействующаяравна площадигрузовойэпюры:

Rq 1/2 q0 2 q0

ипроходитпосерединеконсоли;

реакциивзаделкенаходим изуравненийравновесия:

214

Распределенная нагрузка на балке имеет перелом и не описы ваетсяединойфункциейпоеедли не. А это значит, что поперечная сила и изгибающий момент так же не будут являться непрерыв ными функциями и будут прини мать различный вид слева и спра ва от точки перелома. Таким обра зом, перелом делит балку на два участка, поэтому для построения эпюр необходимо брать сечения на каждом участке и записывать

для них выражения Qz и Mz . Для

этого балку удобнее рассматри вать как состоящую из двух ча

стей, поместив каждую в свою Рис.9.7 систему координат и со своим законом изменения распределенной нагрузки:

Рассмотрим левую часть балки с распределенной нагрузкой, изменяющейся по закону qz1 q0z1 / , и, используя дифференци

альныезависимости(4.2),запишемвыражения Qz1 и Mz1.

где C1 и D1 – постоянные интегрирования, определяемые из гра ничныхусловийпри z1 0:

215

Qz1/z1 0 RA q0 C1 q0 ;

Mz1/z1 0 MA q0 2 D1 q0 2 .

Получаем окончательные выражения для Qz1 и Mz1 и соответ ствующиезначениявнутреннихсилвграничныхсечениях:

Исследуем функции Qz1 и Mz1 на выпуклость и вогнутость. Так

как вторые производные этих функций отрицательны, значит, обе эпюры будут иметь выпуклость в положительном направлении

оси Y1. По полученным расчетам и установленной форме строим

эпюрыналевомучасткебалки.

Чтобы перейти к правому участку, необходимо всю нагрузку, действующую слева, – равнодействующую нагрузки qz1 и реакции

взаделке, перенести в начало координат новой системы Z , Y2 , т. е.

вточку B , помня о том, что сила параллельно самой себе перено ситсякаксилаимомент:

RB RA Rq1 q0 1/2 q0 1/2 q0 ;

MB MA RA Rq1 1/3 q0 2 q0

1/2 q0 1/3 1/6 q0 2.

Как видно из расчета, нагрузка, перенесенная с точку B , равна поперечной силе и моменту крайнего сечения левого участка при

Выполнив перенос сил, рассматриваем правый участок с на грузкой, изменяющейся здесь по закону qz2 q0 1 z2 / . Инте

грируязависимости(4.2),получаемвыражения Qz2 и Mz2 .

216

По вторым производным функций Qz2 и Mz2 устанавливаем,

что эпюра поперечных сил будет вогнута, а эпюра моментов – вы пукла в положительном направлении оси Y2 . По полученным дан нымстроимэпюрынаучастке.

Задача 9.8

Для заданной консольной балки (рис. 9.8) построить эпюры по перечныхсил Q иизгибающихмоментов M .

Решение

Равнодействующие распределенной нагрузки, приложенной к ле войиправойполовинамбалки,одинаковыисоставляют

217

Rq1 Rq2 1/2 q0 /2 q0 /4,

нопротивоположнонаправлены.

Зная их величину, точку приложения и направление действия, определяемреакциивзаделке:

MA q0 /4 1/3 /2 q0 /4 /2 2/3 /2 0

MA q0 2 /6 .

Построение эпюр для дан ной балки рекомендуется вы полнить самостоятельно.Для более удобного решения рас пределенную нагрузку, прило женную к балке, следует рас положить по одну сторону от оси. Это не изменит ее дейст вие на балку, поскольку силы по линии действия перено сятся без изменения, однако четко покажет, что разнона правленность нагрузки созда ет перелом на грузовой эпю ре, который делит балку на два участка.

Решениеможновыполнить Рис.9.8 по аналогии с предыдущей задачей: поместить каждый участок в свою систему координат со

своим законом изменения нагрузки и для каждого участка с помо щью дифференциальных зависимостей (4.1) записать выражения

Qz и Mz .

Следует только принять во внимание, что знак уравнений (4.1) изменяется в зависимости от направления нагрузки q и направ

218

ления оси Z , принятое за положительное. Во избежание ошибок сечения рекомендуется рассматривать слева направо и использо ватьдифференциальныезависимостиввиде:

Получив выражения для Qz и Mz на каждом участке, а также

определив значения внутренних сил в граничных сечениях, необ ходимо перед построением установить выпуклость и вогнутость эпюр, что можно сделать либо по знаку вторых производных, ха рактеризующих кривизну линии, либо по характеру изменения первых производных, т. е. по их убыванию и возрастанию, как это былорассмотреновыше.

Задача 9.9

Для балки с промежуточным шарниром (рис. 9.9) построить эпюры Q и M .

Как было сказано выше, определение реакций опор на балках с проме жуточным шарниром можно выполнять двумя способами: либо используя дополнительное уравнение, связанное со свойством шарнира, либо разре зая балку по шарниру на независимые балки и рассматривая их отдельно, но с учетом взаимодействия.

Решение

Определяем реакции опор, используя уравнения равновесия

идополнительноеуравнение,вытекающееизсвойствашарнира:

Z 0: HB 0;

219

Для построения эпюр используем аналитический способ, запи сываявыражения Qz и Mz накаждом участке.

Подставив в выражения Qz и Mz координаты граничных сече

ний соответствующих участков, по полученным данным строим эпюры. Проверкой правильности выполненных расчетов и постро ения эпюр является равенство нулю изгибающего момента в сече нии,гдеустановленшарнир:

Mz2/z2 3м Mz3/z3 3м 240 110 3 20 32 /2 0.

Задача 9.10

Для балки с промежуточным шарниром (рис. 9.10) построить эпюры Q и M .

Решение

По своей конструкции шарнир позволяет свободный поворот одной части балки относительно другой, поэтому через него изги бающий момент не передается и каждая часть балки, лежащая слева и справа от шарнира, изгибается только от нагрузки, дей

220