Плоский поперечный изгиб

Уравнения (7.10) называются универсальными уравнениями метода начальных параметров. Необходимо иметь в виду, что эти уравнения действительны только при условии, когда начало координат расположено в крайнем левом сечении балки и поло жительнымдляоси z являетсянаправление слеванаправо.

Таким образом, решая задачу по методу начальных пара метров, нет необходимости записывать уравнения для каждого участка. Достаточно рассмотреть только сечение на участке, наи более удаленном от начала координат по оси z вправо, и, отбро сив мысленно часть балки, лежащую за сечением, записать для не

го уравнения EI z и EIyz в соответствии со структурой слагае

мых, получаемой в результате интегрирования. При записи этих уравнений в них должны войти все нагрузки, включая реакции опор, лежащие левее рассматриваемого сечения, т. е. значения

z a , z b ,... должны быть только положительными, что со ответствует условию,когда z a ,b,... Реакции опор,действующие

в начале координат, называются статическими (или механиче скими) начальными параметрами и для статически определи мых систем вычисляются из уравнений равновесия. Нагрузки, дей ствующие правее сечения, в уравнения не включаются! Они, без условно, также влияют на величину прогибов и углов поворота, однако их влияние учитывается через реакции опор, действующие левее рассматриваемого сечения. При этом расчет деформаций на участках, захваченных сечением, следует выполнять в соответ ствиисзамечанием,указаннымвыше.

Для практического применения уравнений (7.10) необходимо определить слагаемые C EI 0 и D EIy0 – начальные парамет

ры, умноженные на жесткость балки. Наличие только двух посто янных интегрирования обеспечивает их вычисление из кинемати ческихусловийнаопорах:

Если балка имеет жесткую заделку, совпадающую с началом координат(рис.7.11,а),тоначальныепараметры равнынулю:

EI z /z 0 EI 0 0;

EIyz /z 0 EIy0 0.

171

Если заделка расположена спра ва (рис. 7.11, б), то сечение в начале координат имеет возможность и про гиба, и поворота, поэтому начальные параметры не равны нулю и опреде ляютсяизусловия

EI z/z 0 и EIyz/z 0.

Если балка опирается на шар нирные опоры, то начальные пара метры определяются из условия ра венства нулю прогибов сечений, опи рающихсянаэтиопоры:

–длябалкинарис.7.11,в

Определив для заданной балки значения EI 0 и EIy0 и записав

окончательные выражения деформаций по методу начальных па раметров, можно вычислять прогибы и углы поворота в любом сечении балки. Установив сечение с наибольшим прогибом f , на

основании условия жесткости f f можно выполнять проек

тировочные расчеты на жесткость – подбор сечения, нагрузки и т. д., обеспечивающие возникновение деформаций в пределах установленныхтехническихнорм.

7.5.Методсложениядействиясил

Внекоторых инженерных задачах для решения вопросов жестко сти балки достаточным является вычисление прогибов или углов поворота только для некоторых определенных сечений, без необхо димостисоставленияполныхуравненийдеформаций.Чащевсегоэто касается определения величины наибольшего прогиба и оценки жесткости на основании полученного результата. В этом случае наиболее удобным способом вычисления деформаций при изгибе является метод сложения действия сил, основанный на законе Гука и принципе независимости действия сил. Поскольку изгибаю

172

щий момент в сечениях балки находится в прямо пропорциональной зависимости от действующих нагрузок, а кривизна балки линейно зависит от изгибающего момента (6.8), следовательно, прогибы и углы поворота также будут пропорциональны действующим внеш ним силам. Исходя из этого, при любой действующей нагрузке углы поворота и прогибы можно получать алгебраическим суммировани ем соответствующих значений от каждой силы в отдельности. При необходимости,определивординатыпрогибовдлянесколькихточек вдольоси,можнопостроитьизогнутуюосьбалки.

Рассмотрим применение метода сложения действия сил на примере.

Пример 7.6

Для заданной двухопорной бал ки определить прогиб на конце консоли (рис. 7.12, а). Согласно указанному методу величина про гиба будет определяться суммар ным действием всех сил, прило женныхкбалке.

Нагрузка q , приложенная к про

лету AB (рис. 7.12, б), вызывает его изгиб и поднятие участка AC (рис. 7.12, в). Угол поворота сече ния на опоре A под действием на грузки q на основании примера 7.3

иформулы(7.5)будет

173

Однако учитывая, что упругие деформации бесконечно малы, можно считать, что tg A(q) A(q), и тогда прогиб конца консоли

отдействиянагрузки q

ся, аконсоль остаетсяпрямой (рис.7.12, д). Угол поворота сечения на опоре A под действием момента m на основании рассмотренного примера7.4 ипоследнеговыраженияформул(7.8)будет

A(m) m F 2 q 3 ,

3EIx 3EIx 3EIx

а перемещение конца консоли с учетом малости деформаций мо жетбытьвычисленокак

И, наконец, под действием силы F , приложенной в точке C (рис.7.12,е),консольнеостаетсяпрямой,онаизгибается(рис.7.12, ж) инаоснованиипримера7.1 иформулы(7.3)прогиб

Знаки прогибов в полученных выражениях (7.11), (7.12) и (7.13) принима ютсявсоответствиисвыбраннымнаправлениемоси Y (см. рис. 7.12, а).

Окончательную величину прогиба в точке C определяем ал гебраическимсуммированиемзначений(7.11),(7.12)и(7.13):

174

7.6. Расчетбалокспромежуточнымшарниром

Изгиб балки с промежуточным шарниром имеет некоторые осо бенности, связанные с тем, что сечения, примыкающие к шарниру, получают неодинаковые углы поворота и изогнутая ось здесь не имеет общей касательной. В результате в месте установки шарнира плавность упругой линии нарушается, и здесь лишь сохраняется равенство прогибов, обеспечивающее ее непрерывность. Поэтому наличие шарнира требует соответствующего подхода к вычисле нию деформаций. Несмотря на то, что при переходе через шарнир выражение для изгибающего момента не изменяется, интегрирова ние уравнения изогнутой оси следует производить для отдельных участков, рассматривая шарнир как границу между ними. Гранич ными условиями для определения постоянных интегрирования мо гут быть кинематические условия на опорах, а также условие не прерывности балки, т. е. равенство прогибов сечений, примыкаю щих к шарниру. В случае применения к данной балке метода начальных параметров, если рассматривать ее в целом с общим для всех участков началом координат, следует иметь в виду, что урав нения углов поворота и прогибов будут справедливыми только до шарнира, и они «не работают» на участках, расположенных правее него. Поэтому расчет деформаций на данной балке следует выпол нятьотдельнодлякаждойчасти–слеваисправаотшарнира.

175

Балка имеет два участка, поэтому интегрирование уравнения изогнутойосибалки y" Mz /EIx производимпообоимучасткам.

Сечение 1: 0 z1 .

Mz1 MA RAz1 qz212 q 2 1,5q z1 0,5qz12

Из рассмотренных сечений видно, что поскольку при переходе через шарнир изгибающий момент Mz не изменяется, уравнения

углов поворота и прогибов для обоих участков также одинаковы иотличаютсятолькозначениямипостоянных C и D .

Определяем постоянныеинтегрирования C1 , C2 , D1, D2 : а) изграничныхусловий

176

Окончательные уравнения углов поворота и прогибов на участ кахбалкиимеютследующийвид.

Участок 1: 0 z1 .

CB при z2 1,5 :

yC /z1 yC /z2 0,29q 4 /EIx ;

yz2/z2 1,5 0,16q 4 /EIx .

177

Углы поворота сечений, примыкающих к шарниру, неодинако выисоответственнобудут

Представленное выше решение, выполненное методом непо средственного интегрирования, является достаточно громоздким, так как требует интегрирования на каждом участке и определе ния постоянных интегрирования. Использование метода началь ных параметров не упрощает решение, поскольку для участка, лежащего справа от шарнира, уравнения деформаций теряют силу

иопределение здесь прогибов и углов поворота требует отдель ногорасчета.

Наиболее удобным способом расчета деформаций на балке с шар ниром является метод сложения действия сил, рассмотренный выше. Выполним этот расчет для той же балки (см. рис. 7.13)

исравнимполученныерезультаты.

Пример 7.8

Поскольку через шарнир изгибающий момент не передается, балку можно представить в виде схемы, состоящей из двух неза висимых балок, в которой подвесная балка CB левым концом C

опирается на правый конец основной балки AC (рис. 7.14, а), а дей ствие шарнира заменяется силами взаимодействия контактирую щих сечений (рис. 7.14, б, в). Далее рассматриваем каждую балку вотдельности.

Решение для консольной балки AC (см. рис. 7.14, в) было полу чено ранее, и на основании формул (7.3) и (7.4) прогиб на конце консоли

178

в любом сечении составляет часть от прогиба f1, пропорциональную рас

стоянию сечения от опоры B . Следо вательно, в середине пролета CB (рис.7.14,г)прогиб

f2 f1 /2 0,146q 4 /EIx .

Кроме того, балка CB также из гибается под действием нагрузки q

(см. рис. 7.14, б) и максимальный прогиб в середине пролета на осно ванииформулы(7.5)

f3 5q 4 /384EIx .

Суммарный прогиб в середине пролета CB определяется как сумма прогибов f2 и f3 (рис.7.14,д):

fCB f3 f2 0,146q 4 /EIx

5q 4 /384EIx 0,16q 4 /EIx ,

В заключение следует заметить, что рассмотренные выше спо собы определения прогибов и углов поворота имеют широкое применение в практике расчетов, однако исследование деформа ций при изгибе не ограничивается только этими методами. Поми мо аналитических решений существуют графический и графоана литический метод, называемый методом фиктивных нагрузок, а также методы, основанные на вычислении потенциальной энер гии деформации и принципе начала возможных перемещений. Со вокупность всех этих способов позволяет решать широкий класс за дач в различной их постановке. Определение деформаций указанны миспособамибудетрассмотреновследующихразделахкурса.

179

8. БАЛКИПЕРЕМЕННОГОСЕЧЕНИЯ

Рассмотренные выше расчеты на прочность и жесткость разра ботаны и справедливы только для балок постоянного сечения, в которых подбор размеров сечения выполняется по наиболее нагруженному (опасному) сечению с максимальным изгибающим моментом Mmax . Все прочие сечения имеют меньший изгибающий

момент, однако профиль, подобранный по условию прочности (6.11)max Mmax /Wx , сохраняется по всей длине. В результате

этого балка оказывается недогруженной, ее материал использует ся нерационально, и излишний перерасход материала приводит к избыточному весу и повышенной жесткости. В некоторых случаях

вцелях экономии материала, снижения веса и повышения гибко сти балку изготавливают ступенчатой с постоянным сечением

впределах каждого участка, однако наиболее рациональной явля ется форма, в которой размеры сечений изменяются пропорцио нально в соответствии с изменением изгибающего момента, а мак

. Та

кая балка называется балкой равного сопротивления, и для нее вовсехсечениях,включаяопасное,выполняетсяравенство

max Mz /Wx(z) ,

где Mz и Wx(z)– изгибающий момент, действующий в сечении, и

момент сопротивления этого сечения относительно нейтральной оси, изменяющийся таким образом, что отношение Mz /Wx(z)

остается постоянным и равным . Это же справедливо и для опасногосеченияссоответствующимизначениями Mmax и Wmax . Рассмотримвопросыпроектированиятакихбалок.

8.1. Проектирование консольнойбалки равногосопротивления

Спроектируем консольную балку прямоугольного сечения, нагруженную на конце консоли силой F как балку равного сопро

180