Плоский поперечный изгиб

дополнительных краевых условий. Такими условиями являются условия сопряжения на границе каждых двух смежных участков, обеспечивающие отсутствие излома и разрыва на этой границе, т. е. плавность и непрерывность упругой линии балки. Условие плавности требует, чтобы на границе участков изогнутая балка имела общую касательную, что обеспечивается равенством углов поворота сопрягающихся граничных сечений, а для условия не прерывности необходимо равенство прогибов сечений на каждой границе. Рассмотрим пример определения постоянных интегриро ваниядлябалкисдвумяучастками.

Пример 7.5

Для двухопорной балки, нагруженной на пролете сосредото ченной силой F (рис. 7.9), определить величину и место возник новениянаибольшегопрогиба.

Данная расчетная схема была рас смотрена ранее на рис. 5.4. Реакции опорнаданнойбалке

Балка имеет два участка, поэто му интегрирование уравнения

y" Mz /EIx производим на каждом участке.

Сечение 1: 0 z1 a.

161

Следует обратить внимание, что интегрирование на втором участке производим без раскрытия скобок, принимая за новую переменную бином z2 a . Из математики известно, что при интегрировании выражения

162

Каквидноизрешения,уравнения углов поворота и упругой линии балкинакаждомучасткеимеютсвоеаналитическоевыражение.

Определим величину наибольшего прогиба, возникающего в се чении, где угол поворота равен нулю. Несложно доказать, что экс тремум на линии балки всегда возникает на участке большей дли ны,т.е.врассматриваемомпримере(см.рис.7.9)–научастке1.

Доказательство выполним методом от противного, т. е. предпо ложим, что максимальный прогиб возникает в пределах короткого

участка 2 a z0 . Для определения здесь точки экстремума полученное выше выражение для углов поворота z2 приравни ваемкнулю:

z2 z0 6 FEIx 3bz02 3 z0 a 2 b 2 b2 0

163

ипослепреобразованияполучаемквадратноеуравнениевида

3z2 b 6 az 3 a2 b 2 b3 0,

решениемкоторогоявляютсядвакорня:

изкоторыхниодиннесоответствуетсмыслузадачи:

чтовыходитзапределыбалки;

что не соответствует (и это несложно доказать математически) координатамучастка 2.

Таким образом, представленное решение подтверждает, что максимальный прогиб на балке возникает на участке большей длины, т. е. на участке 1. Для определения здесь точки экстрему ма z0 приравняемуравнениеугловповоротак нулю:

Тогдамаксимальныйпрогиб

В частном случае, когда сила F приложена посередине пролета, здесь же и будет возникать наибольший прогиб, который можно

определить, подставиввпоследнеевыражение b /2:

164

Следует заметить, что максимальный прогиб при любом распо ложении груза на балке всегда возникает вблизи середины проле та. Если силу F перемещать к правой опоре, уменьшая тем самым участок b , то в пределе при b 0 точка экстремума займет по

ложение 0,557 от левой опоры, т. е. очень близко к середине балки. Столь незначительное изменение координаты максималь ного прогиба от 0,5 до 0,557 и, соответственно, незначи

тельная разница в его величине позволяют в практических расче тах рассматривать только прогиб в середине пролета и принимать егозначение,вычисленноепоформуле(7.9).

Анализ расчета, представленного для балок на рис. 7.4–7.9, по казывает, что постоянные интегрирования C и D всегда оказыва ются соответственно равными углу поворота и прогибу, возника ющим в сечении в начале координат. В этом заключается их геомет рический смысл и, как будет показано далее, он будет выполняться длялюбойбалкиприлюбойсхеменагружения.

7.4. Метод начальных параметров. Универсальноеуравнениеупругойлиниибалки

Метод непосредственного интегрирования, рассмотренный выше, является удобным способом определения перемещений для балок, имеющих один участок. Уравнение упругой линии, полу ченное в этом случае, имеет силу на всей длине балки и позволяет определять прогибы и углы поворота в любом ее сечении. Однако при бóльшем количестве участков использование метода приво дит к появлению большого числа произвольных постоянных инте грирования, требующих для своего определения составления и решения системы линейных алгебраических уравнений. Даже для балки с двумя участками, рассмотренной выше (см. рис. 7.9), реше ние является достаточно громоздким и становится особенно тру доемким при количестве участков n 3 и более. Применение ме тода непосредственного интегрирования для балок с несколькими участками оправдывает себя только в том случае, если балка име

ет жесткость EIx , изменяющуюся по длине. Независимые уравне

ния прогибов, полученные для каждого участка, позволяют учи тывать его жесткость и вычислять необходимые деформации

165

в любойточкеучастка.Однакодлябалокспостояннойжесткостью EIx этотметодявляетсянерациональнымислишкомгромоздким.

Для решения задач такого класса в механике материалов раз работан способ, называемый методом начальных параметров,

позволяющий при любом количестве участков свести решение к определению только двух постоянных интегрирования. Метод начальных параметров основан на приеме Клебша – немецкого математика, еще в середине XIX века предложившего применить метод интегрирования в биномах к интегрированию дифференци ального уравнения изогнутой оси балки. Этот метод, получивший в дальнейшем название интегрирование по Клебшу, обеспечива ет равенство соответствующих постоянных интегрирования на всех участках балки и позволяет сократить их количество только до двух величин, определение которых становится возможным из кинематическихусловийнаопорах.

Рассмотрим балку (рис. 7.10), нагруженную системой сил, и, ис пользуя прием Клебша, произведем двукратное интегрирование на каждомучастке.

щего момента должны входить все силы, расположенные слева от сечения;

 внешний момент m, входящий в уравнение, умножается на плечо z a 0,где a –координататочкиприложениямомента;

166

 распределенную нагрузку, если она обрывается и не доходит до конца балки, следует продлевать (с сохранением характера нагрузки) до крайнего правого сечения, а для восстановления действительных грузовых условий на балке вводится «компен

сирующая» нагрузка q' q обратного направления. Продленная

и «компенсирующая» нагрузки на рис. 7.10 показаны затемнен нымцветом.

Рассмотрим сечения на каждом участке (см. рис. 7.10), запишем для них выражения изгибающего момента и произведем двойное интегрированиефункции

EIx y " Mz .

Для каждого участка выведем уравнения углов поворота и про гибов (для простоты записи момент инерции будем указывать без

индекса, т. е. Ix I ), а также установим особенности, вносимые различными типаминагрузоквданныеуравнения.

Участок 1: 0 z1 a.

167

Как видно из записанных уравнений, выражение изгибающего момента каждого последующего участка включает в себя выраже ние изгибающего момента предыдущего участка с добавлением слагаемого, вносимого нагрузкой, появляющейся на новом участ ке. Соответствующая структура выражений получается также для уравнений углов поворота и прогибов с возникновением на каж дом участке двух постоянных интегрирования. В результате ре шениядляданнойбалкитакихпостоянныхбудетдесять:

C1, C2, C3, C4, C5 и D 1, D2, D3, D4, D5 .

Для определения величин Ci и Di рассмотрим два смежных се

чения на границе любых двух участков, для которых из условия плавности и непрерывности изогнутой оси балки должны выпол няться условия равенства углов поворота и прогибов сечений на этойгранице.

168

Рассматривая другие границы участков и выполняя для них аналогичныеоперации, получаем

C1 C2 C3 C4 C5 C и D1 D2 D3 D4 D5 D .

Таким образом, соблюдение правил составления и интегриро вания упругой линии балки обеспечивает равенство постоянных интегрирования на всех участках и позволяет свести их количе ство только к двум: C и D . Чтобы установить геометрический смысл этих величин, рассмотрим уравнения углов поворота и про гибов на первом участке. Тогда для сечения z1 0, т. е. лежащего

вначалекоординат,получаем

Значения 0 и y0 называются геометрическими начальны

ми параметрами и представляют собой соответственно угол по воротаипрогибсечениябалкивначалекоординат.

169

Подставив постоянные C EI 0 и D EIy0 в уравнения углов

поворота и прогибов для участка 5, как в наиболее общие урав нения, содержащие все внешние силы от начала координат до по следнего участка, и перенеся значения постоянных в начало вы ражений, как относящихся к первому участку, окончательно полу чаемуравнениявследующемвиде:

Вертикальные черточки с индексами внизу, поставленные за членами уравнения, показывают, что при вычислении углов поворота или прогибов к расчету принимаются только те слагаемые, которые соответствуют внешним нагрузкам, действующим на балку от начала координат до чер ты с данным номером. Так, например, если необходимо вычислить дефор мации на участке 3, то в расчет следует принимать только члены урав нения, стоящие до черты с индексом III.

Для случая действия на балку нескольких моментов, сил и рас пределенныхнагрузокуравнениядолжныбытьзаписанывформе

170