Плоский поперечный изгиб

Еслизаданпрогиб yz ,тодлясеченияможноопределить:

а) угол поворота:

z dy /dz ;

б) изгибающий момент:

Mz EIx d z /dz EIx d2y /dz2 ;

в) поперечную силу:

Qz dMz /dz EIx d3y /dz3 ;

г) нагрузку qz , приложенную в данном сечении: qz dQz /dz d2Mz /dz2 EIx d4 y /dz4 .

Из последнего выражения видно, что при нагружении балки равномерно распределенной нагрузкой q const форма изогну

той оси описывается кривой четвертого порядка, а при отсутствии нагрузки q –кривойтретьегопорядка.

В зависимости от поставленной задачи, а также от расчетной схемы балки – вида опор, нагрузки, количества участков и т. д. су ществует несколько способов, позволяющих с помощью уравнения (7.2) определять прогибы и углы поворота сечений и выполнять построениеизогнутойосибалки.Рассмотримэтиметоды.

7.3. Метод непосредственногоинтегрирования

При двойном интегрировании дифференциального уравне ния (7.2) появляются две постоянные интегрирования, требующие для своего определения два граничных условия. Если балка имеет один участок, то эти условия можно получить из условий закреп ления: для двухопорной балки прогибы на опорах равны нулю, а для консольной нулю равны прогиб и угол поворота сечения в заделке. Если же балка имеет два и более (например n ) участков, интегрирование, производимое на каждом участке, приведет к по явлению 2n постоянных интегрирования, определение которых

151

становится невозможным из условий закрепления. Их необходимо дополнять условиями сопряжения на границах участков. Эти слу чаи нагружения будут рассмотрены ниже, однако, как будет пока зано на примерах, метод непосредственного интегрирования наи более удобен для балок с одним участком. Рассмотрим применение этогометода.

z /z 2FEI2x C 0 C 2FEI2x .

Тогдаокончательноуравнение углов поворотаимеетвид

152

yz /z 6FEI3x 2FEI3x D 0 D 3FEI3x .

Тогдаокончательноуравнение прогибов имеет вид

yz Fz3 F 2z F 3 . 6EIx 2EIx 3EIx

Подставляя в полученные уравнения z и yz координату z

любого сечения, определяем для него прогиб и угол поворота. Как видно из последнего выражения, изогнутая ось балки, показанная нарис.7.4,представляет собойкривуютретьегопорядка.

В расчетах на жесткость наибольший интерес представляют максимальный прогиб f и max , которые в данной балке возни

Полученные знаки соответствуют ранее принятому правилу: прогиб происходит в отрицательном направлении оси Y , а сечение поворачива ется против хода часовой стрелки.

Сопоставляя значения f и max (7.3) с полученными выше по

стоянными интегрирования, нетрудно заметить, что D и C соот ветственно представляют собой прогиб и угол поворота свободно гоконцаконсоли.

Условие жесткости дляданнойбалкиимеетвид

153

Пример 7.2

Для консольной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 7.5), определить прогиб и угол

поворотаконцаконсоли.

Аналогично, как это было сделано выше, помещаем балку в систему коор динат и для рассматриваемого сечения записываем значение изгибающего мо мента:

Изусловиявзаделкеопределяемпостояннуюинтегрирования C :

Тогдаокончательноуравнение углов поворотапринимаетвид

ИзусловиявзаделкеопределяемпостояннуюинтегрированияD :

154

Тогдаокончательно уравнение прогибов принимаетвид

Как видно из последнего выражения, изогнутая ось балки пред ставляетсобойпараболучетвертого порядка.

Наибольшиедеформациивозникаютнаконцеконсоли z 0 :

Условие жесткости имеетвид

В рассмотренных выше случаях при расположении заделки слева задачу решают аналогичным образом: помещают балку в принятую систему ко ординат (начало координат слева), для сечения z записывают выражение для изгибающего момента (с учетом реакций в защемлении), а затем про изводят двойное интегрирование, при котором постоянные C иD опре

деляют из условий z /z 0 0 и yz /z 0 0 . Полученные уравнения проги

бов и углов поворота будут иметь несколько иной вид, однако порядок степени кривых сохранится и численные значения f и max (7.3), (7.4) оста

нутся неизменными.

По аналогии с примерами 7.1 и 7.2, используя метод непосред ственного интегрирования для консольной балки, нагруженной на конце консоли сосредоточенным моментом m , несложно получить значениямаксимальныхдеформацийнаэтомконце:

155

Пример 7.3

Для двухопорнойбалки,нагружен ной на пролете равномерно распре деленной нагрузкой q (рис. 7.6), оп

ределить углы поворота опорных се ченийипрогибпосерединепролета.

В силу симметрии нагрузки реак цииопородинаковыи RA RB q /2.

Помещаем балку в систему коор динат и для сечения z записываем значениеизгибающего момента:

Mz q /2 z qz2 /2.

Определяем постоянные интегрирования C и D из условий на опорах yA/z 0 0 и yB /z 0. Из первого условия D 0, из вто рогоусловия

Такое же значение для постоянной C можно было бы получить из условия z /z /2 0. Совершенно очевидно, что в силу симметрии балки

и нагрузки угол поворота сечения в середине пролета, т. е. на оси симмет рии, равен нулю.

156

Наибольший прогиб возникает в середине пролета, а наиболь ший угол поворота получают сечения на опорах. Подставляя соот ветствующиезначения z вполученныеуравнения,получаем

Соответствующие условия жесткости на основании значений

157

Изгибающиймоментвсечении z

Mz 3m / z 2mz0 .

Обращаем внимание, что в выражении Mz момент 2m умножен на

координату z в нулевой степени. Поясним необходимость такого приема. Как известно, момент силы относительно точки равен произведению си лы на плечо. Поэтому при составлении уравнения моментов момент силы относительно сечения также записывается как произведение силы на плечо, т. е. на расстояние до сечения. Таким образом, величина изгибающе го момента, создаваемого силой, зависит от положения силы относи тельно сечения. Если же в систему сил, действующих на балку, входит со средоточенный момент, он в уравнении моментов на плечо не умножает ся. Как известно, пару сил, не изменяя ее действия на тело, можно как угодно переносить в ее плоскости, а поэтому величина изгибающего мо мента, создаваемого в сечении моментом m , не зависит от точки его приложения относительно сечения. Однако для интегрирования уравне ния изогнутой оси, чтобы нагрузка в виде сосредоточенного момента не изменяла структуру слагаемых в выражении M z , его следует умножать

на плечо в нулевой степени. Это не внесет ошибки в величину изгибающего момента, не изменит ни размерности сил, ни условий равновесия балки, но позволит производить непрерывное интегрирование по переменной z , каждый раз увеличивая ее степень на единицу.

Определяем постоянные интегрирования C и D из условий на опорах yA/z 0 0 и yB /z 0. Из первого условия D 0, из вто рогоусловия

158

Тогда окончательно уравнение углов поворота и уравнение прогибов имеютвид

Определив по выражению (7.7) прогибы в нескольких точках на оси и соединив их плавной кривой, получаем изогнутую линию балки. При этом следует помнить, что согласно принятому прави лу эпюра моментов всегда лежит со стороны сжатых волокон, по этому построение изогнутой оси следует выполнять в соответ ствии с эпюрой моментов: если она расположена выше оси, значит, сжатые волокна находятся сверху, а растянутые – снизу, и наобо рот. Если эпюра моментов пересекает ось, то в этом сечении дефор мация волокон изменяет знак на противоположный и точка, где

Mz 0,дляизогнутойосиявляетсяточкойперегиба(см.рис.7.7).

Для анализа жесткости балки необходимо определить величи ну наибольшего прогиба и место его возникновения. Для этого функцию прогибов, полученную выше, необходимо исследовать на экстремальноезначение.

Из математики известно, что если функция имеет производную, то она может иметь экстремум (максимум или минимум), возникающий при тех значениях аргумента, при которых ее производная равна нулю. При этом касательная, проведенная к кривой в точке экстремума, будет па раллельна оси абсцисс, поскольку тангенс угла наклона касательной явля ется геометрическим выражением производной, и при равенстве послед ней нулю угол также будет равен нулю. Однако следует помнить, что не при всяком значении аргумента, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует экстремум.

Поскольку угол z является производной функции yz , опре

делим наличие экстремума на упругой линии балки, приравняв уравнениеугловповорота(7.6)кнулю:

159

Решение квадратного уравнения дает два корня, однако точкой

вуравнениепрогибов(7.7),получаем(см.рис.7.7)

f0,074 m 2 /EIx .

Вслучае нагружения балки только одним моментом m, приложенным на опоре (рис. 7.8), уравнения углов по ворота и прогибов,имеютвид

прогиб и углы поворота на опорах балки будут соответственно

(см.рис.7.8)

Как было сказано ранее, метод непосредственного интегриро вания наиболее удобен для балок, имеющих один участок, когда изгибающий момент на всей длине балки выражается одной не прерывной функцией и определение постоянных интегрирования полностью обеспечивается кинематическими условиями на опо рах. Однако при большем количестве участков решение задачи осложняется тем, что на каждом участке имеет силу свое уравне ние изгибающего момента, двукратное интегрирование которого приводит к появлению числа постоянных интегрирования, в два раза превышающих число участков, и требует для их определения

160