Плоский поперечный изгиб

 если материал плохо сопротивляется РАСТЯЖЕНИЮ или СЖА ТИЮ, то прочность балки в точках нейтрального слоя следует про

верять по главным нормальным напряжениям 1 и 3 . Как из

вестно из теории напряженного состояния (и это вытекает из вы ражений (6.27), (6.28) и (6.29) при 0),

главные площадки по отношению к площад кам чистого сдвига расположены под углом 45° (рис. 6.38), а действующие в них главные нормальные напряжения равны по вели чине, но обратны по знаку и равны каса тельным напряжениям в площадках чистого

Винженерной практике часто используются балки, собранные из нескольких элементов, как, например, деревянные балки на шпонках, гвоздях, на клею, стальные клепаные или сварные балки

ит. д. Проверка прочности этих балок проводится аналогичным образом и по тем же формулам, как это было рассмотрено выше, т. е. в предположении жесткого соединения элементов и рассмот рении балки как единого целого. Однако при конструировании со ставных балок учитываются все дополнительные факторы, влия ющие на их работу, как, например, ослабление болтовыми и шпо ночными отверстиями, прочность самих соединяющих элементов

иих влияние на изгиб балки и т. д. Изучение этих вопросов выхо дит за рамки сопротивления материалов, и они рассматриваются вдругихспециальныхинженерныхкурсах.

Внекоторых случаях помимо величины главных напряжений в точках сечения необходимо знать и их направление, что являет ся важным для теоретического исследования напряженного со стояниявбалкеиправильногоееконструирования.

Рассмотрим балку, нагруженную си лой F посередине пролета (рис. 6.39),

исерию точек 1–5 и 6–10 по высоте се

121

с расчетной схемой балки (рис. 6.40, а, в). Положение главных площадок и направление главных напряжений в тех же точках по казанонарис.6.40,б,г.

Рис.6.40

Как видно из рис. 6.40, а–г, в крайних точках сечения 1, 5, 6, 10, где 0, положение главных площадок всегда одинаково: одна из них параллельна нейтральному слою, и здесь главное напряжение равно нулю, а другая лежит в плоскости поперечного сечения, и действующее здесь главное напряжение всегда параллельно оси балки. В промежуточных точках 2–4 и 7–9, где имеет место плоское напряженное состояние, положение главных площадок изменяет ся и при переходе от одного крайнего волокна к другому происхо

дит их постепенный поворот на угол 90°. Угол поворота i в соот

ветствующей i й точке вычисляется по формуле (6.29), а направле ние поворота определяется знаком и направлением касательных напряжений,действующихвэтойточке.

Точка 2.Здесь 0, 0 tg2 0 2 / 0 0 2 0.

122

Положительное значение угла 2 откладываем против часовой стрелки от алгебраически большего , действующего в точке, т. е. от y ,таккак y 0, а z –сжимающееи,значит,отрицательное.

Точка 3 расположена на нейтральном слое, и здесь имеет место

чистый сдвиг:

0 tg2 0 2 / 0 3 45 .

Положениеплощадкидействия 1 определяетсянаправлением

касательных напряжений, которые, как было сказано ранее, как бы вытягивают элемент в направлении действия наибольшего растягивающего напряжения. Это направление соответствует по воротуглавнойплощадкинаугол45°противчасовойстрелки.

совой стрелки в соответствии с тенденцией поворота главных площадоквданномсечении.

Аналогичные расчеты и рассуждения относительно положения главных площадок можно провести и для точек 6–10 в сечении II (см. рис. 6.40, в, г), однако если в сечении I поворот происходит против часовой стрелки, то в сечении IIглавные площадки будут со ответственноповорачиватьсяпочасовойстрелке.Приэтом,еслипри заданном нагружении балки (см. рис. 6.39) сечения I и II симмет ричны, значения главных нормальных напряжений в точках одного уровнябудутиметьодинаковыезначения.Такжеодинаковымвсегда будет направление главных напряжений во всех точках нейтраль

123

ного слоя, где имеет место чистый сдвиг и главные площадки по вернутыподуглом45°косибалки(см.рис.6.39и6.40,б,г).

По направлению главных напряжений, определенных в различ ных точках по длине балки, можно построить двойное семейство взаимно перпендикулярных (ортогональных) кривых, которые называются траекториями главных напряжений или изоста тами. Эти линии позволяют получить наглядную картину напря женного состояния в балке и имеют большое практическое значе ниеприеепроектировании.

Построение траекторий главных напряжений выполняют сле дующим образом. В произвольной точке какого либо сечения определяют направление одного из главных напряжений, напри

мер 1 . Затем продлевают это направление до пересечения с бли

жайшим смежным сечением и рассматривают на нем вторую точку, в которой также определяют направление 1 . Новое направление

главного напряжения опять продлевают до ближайшего сечения, берут на этом направлении третью точку и в ней снова находят

направление 1 (рис. 6.41). Про

цесс продолжается до рассмот рения всех точек по длине балки от одного края сечения до дру гого. В результате для бесконеч но близких сечений в пределе получают некоторую кривую, ко

Аналогичным образом выполняют построение траектории главного напряжения 3 . Оба семейства ортогональными кривых

делят балку на элементарные прямоугольные элементы, работа ющие в одном направлении на растяжение, а в другом – на сжатие. Они пересекают нейтральный слой балки под углом 45 , а к гра

ницам балки подходят под углами 0 или 90 . Траектории главных напряжений обладают тем свойством, что касательная к ним, про веденная в любой точке, определяет направление главного напря жения в точке касания. Очевидно, что через каждую точку балки можно провести только две ортогональные линии, соответствую щие каждому из двух главных напряжений. На рис. 6.42 показан

124

пример прохождения траек торий главных напряжений

для балки, нагруженной рав

Следует заметить, что форма траекторий зависит от расчетной схемы балки – вида нагрузки, опор и т. д. Если на отдельных участ ках балки имеет место чистый изгиб, где Q 0 и, значит, 0, то

Траектории главных напряжений имеют огромное практическое значение при конструировании балок и других сложных конструк ций. Они указывают направление, в котором следует укреплять кон струкцию, устанавливая в ней арматуру и другие упрочняющие эле менты, чтобы именно они воспринимали на себя наибольшие дей ствующие напряжения. Это особенно актуально, когда конструкция выполнена из хрупких материалов, которые плохо сопротивляются

растяжению и прочность которых в направлении напряжения 1

может быть нарушена. Примером такой конструкции является же лезобетонная балка, упрочненная арматурой, расположенной в на

6.4.Потенциальнаяэнергиядеформацииизгиба

Винженерной практике при решении вопросов прочности и жесткости конструкций часто возникает необходимость вычисле

125

ния потенциальной энергии деформации, которая накапливается

вэлементах в результате их деформирования. Расчеты, основан ные на определении потенциальной энергии, называются энерге тическими методами решения задач и имеют широкое примене ние в сопротивлении материалов. С помощью потенциальной энергии определяются деформации и перемещения узлов при сложном нагружении конструкции, рассчитываются статически неопределимые системы, осуществляется оценка прочности эле ментов и т.д. С вычислением энергии деформации связан целый ряд инженерных задач, поэтому в механике материалов этому во просуотводитсясерьезноеместо.

Определимпотенциальнуюэнергиюдеформации,накапливаемую

вбалкеприплоскомпоперечномизгибе.

Рассмотрим произвольную точку, напри мер точку 4 (см. рис. 6.40, а), и выделим в ее окрестности бесконечно малый эле

где dz – длина элемента вдоль продольной оси, а dA – величина площадки, в которой действуют напряжения и которая лежит вплоскостипоперечного сечениябалки.

Приняв выделенный элемент (см. рис. 6.45) за единицу объема, определим накопленную в нем потенциальную энергию дефор мации.

Согласно теории напряженного состояния удельная потенци альная энергия деформации через главные нормальные напряже ния,действующиевточке,можетбытьопределенапоформуле

где при плоском изгибе, в точках, находящихся в плоском напря женном состоянии, напряжение 2 0, а напряжения 1 и 3

126

определяются через нормальные и касательные напряжения по формулам(6.27):

где E , G , – модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассо

наматериалабалкисоответственно.

Подставляемввыражение(6.32)значениянапряжений и

вычисляемые по формулам (6.9) и (6.17) соответственно, и полу чаемпотенциальную энергию,накопленнуювмикрообъеме:

где M и Q – изгибающий момент и поперечная сила, действующие

всечении,азначит,ивплощадке dA соответственно.

Значения остальных величин, входящих в выражение (6.33), рассмотрены выше, где индексом x обозначена нейтральная ось сечения.

Для определения потенциальной энергии, накопленной в целой балке,следуетвзятьинтегралпоееобъему:

127

Так как величины M , Q , E , G , Ix являются постоянными для данногосечения,ихможновынестизазнаквторогоинтеграла:

ляет собой безразмерный коэффициент, зависящий от формы по перечногосечениябалки.Онимеетзначения:

–длякруглогосечения k 10/9;

–двутавра k Aполн /Астенки 2...2,4;

–прямоугольногосечения k 1,2.

Подставляя введенные интегралы в выражение (6.34), для бал ки постоянного сечения получаем окончательную формулу потен циальной энергии деформации приплоскомпоперечномизгибе:

Таким образом, потенциальная энергия при поперечном изгибе

вычисляется как сумма энергий от двух деформаций: деформации изгиба, вызываемого моментом M , и деформации сдвига, вызыва емого поперечной силой Q . Однако в балках, длина которых

намного превосходит размеры сечения, по крайней мере в шесть– восемь раз и более, потенциальная энергия сдвига составляет

128

весьмамалуюдолю от общейэнергии, поэтому при использовании формулы(6.35)вторымслагаемымчастопренебрегают.

6.5. Рациональныеформы сеченийприизгибе

Подбор сечения, обеспечивающего прочность балки, осуществ ляется на основании формулы (6.11), называемой условием проч ности при изгибе:

max Mmax .

Wx

Если форма сечения задана, то расчет заключается в опреде лении размеров сечения, которые для выбранного материала

с известным и действующего в балке Mmax подбирают через

Wx –момент сопротивления при изгибе:

Wx Mmax ,

зависящий от размеров и формы сечения и определяемый как от ношение момента инерции сечения относительно нейтральной осикординатенаиболееудаленнойотнееточки,т.е.

Wx yImaxx .

Если подбор сечения предполагает расчет не только размеров, но и выбор формы, обеспечивающей какие либо специальные требования, то следует рассматривать сечения, которые имеют

наибольший момент сопротивления Wx , так как эта величина ха

рактеризует способность поперечного сечения сопротивляться деформации изгиба, и поэтому чем больше Wx , тем выше проч

ность балки, а значит, и ее грузоподъемность, т. е. способность вы держатьбольшийизгибающиймомент:

M Wx .

129

Однако подбор сечения только по принципу наибольшего мо мента сопротивления не является корректным и величину Wx

нельзя принимать за единственный критерий, определяющий пра вильность выбора. При подборе сечения кроме прочности элемен та необходимо рассматривать также вопрос его стоимости и эко номической целесообразности. Безусловно, обеспечение прочно сти является первостепенным и обязательным условием, однако оно должно выполняться при наименьших материальных затра тах, связанных с расходом материала на данный элемент. Исходя из этого рациональным считается такое сечение, которое обеспе чивает прочность элемента при наименьшем его весе, т. е. при ми нимальной площади сечения. Поэтому за критерий рационально сти, оценивающийкачествопрофиля,принимаютотношение

Wx /A ,

где –коэффициентрациональностиилиэкономичностисечения.

Наиболее рациональной является форма, которая при наимень шей площади сечения A имеет наибольший момент сопротивле

ния Wx , т. е. форма с наиболее высоким значением коэффициента. Этот принцип является общим как для пластичных, так и для

хрупких материалов, хотя для последних подбор сечения имеет некоторыеособенности,окоторыхбудетсказанониже.

Рассмотрим варианты рациональных сечений для балок из плас тичных материалов, которые, как известно, одинаково сопро тивляются растяжению и сжатию и для этих деформаций имеют примерноодинаковыезначениядопускаемыхнапряжений:

раст сж .

Дляэтихбалокцелесообразноприменятьсечения,симметричные относительно нейтральной оси, так как именно в них выполняется условие равнопрочности, т. е. максимальные напряжения в растяну

тыхисжатыхволокнаходновременнодостигаютзначения .

Чтобы сделать выводы относительно рациональности сечения, рассмотрим характер распределения нормальных напряжений в прямоугольном сечении (рис. 6.46, а). Как видно из эпюры

130