Плоский поперечный изгиб

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯРЕСПУБЛИКИБЕЛАРУСЬ Белорусскийнациональныйтехническийуниверситет

Кафедра«Сопротивлениематериалов машиностроительногопрофиля»

Л.Е.Реут

ПЛОСКИЙПОПЕРЕЧНЫЙИЗГИБ

Пособиепоучебнойдисциплине «Механикаматериалов»

Рекомендовано учебно методическимобъединением высших учебных заведений по образованию

в области машиностроительногооборудованияи технологий

Минск

БНТУ

2016

1

УДК 620.174(075.8) ББК30.121я7

Р44

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическаямеханика и теориямеханизмов имашин» Белорусского аграрноготехнического университета А.Н. Орда; доктор физико математических наук,директор Института прикладнойфизикиНАНБеларуси Н.П. Мигун

Реут, Л.Е.

Р44 Плоский поперечный изгиб: пособие по учебной дисциплине «Механи каматериалов»/Л.Е.Реут.–Минск:БНТУ,2016.–263с.

ISBN 978 985 550 454 3.

В полном теоретическом аспекте рассматриваются плоский поперечный из гиб – деформация, которой подвергаются многие детали механизмов и машин, а также элементы строительных конструкций. Этот вид нагружения проиллю стрирован большим количеством примеров и задач, а также методами их ре шения.

Издание предназначено студентам машиностроительных специальностей всех форм обучения, а также преподавателям при подготовке к лекциям и прак тическимзанятиям.

2

3

4

ВВЕДЕНИЕ

Механика материалов, в основе которой лежит наука о сопро тивлении материалов, представляет собой фундаментальную об щетехническую дисциплину, изучаемую во всех технических вузах

иявляющуюся основой технического образования инженера лю бойспециальности.

Настоящее пособие представляет собой одну из книг серии по собий по механике материалов, рассматривающих основные темы

ивопросы, входящие в программу курса. Каждое отдельное посо бие посвящено определенной теме и включает теоретическую часть с выводом и анализом формул, практические примеры и за дачи и их решение, а также вопросы для самоконтроля, способ ствующиесамостоятельномуизучениюпредмета.

Тема «Плоский поперечный изгиб» посвящена изучению де формации, которая часто встречается на практике и которой под вергаются практически все элементы машин и механизмов, а так же строительных конструкций. В пособии рассмотрены вопросы внешних и внутренних сил, построение эпюр, определение напря жений и деформаций, расчеты элементов на прочность и жест кость, выбор рациональных форм сечений и оптимизация схем нагружения, расчет балок равного сопротивления и вопросы кон центрации напряжений при изгибе. Предложено большое количе ствопримеровизадачиихрешение.

Пособие может быть использовано студентами машинострои тельных специальностей всех форм обучения в качестве литерату рыдляизученияпредметаиподготовки к экзаменам, атакже быть полезным преподавателям, читающим соответствующие курсы, для подготовкилекцийи практическихзанятий.

5

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. ОБЩЕЕОПРЕДЕЛЕНИЕДЕФОРМАЦИИИЗГИБА. ВНЕШНИЕСИЛЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕИЗГИБ

В общем случае пространственного нагружения в сечении эле мента возникает шесть внутренних усилий (рис. 1.1), которые определяются методом сечений и каждое из которых связано со своимвидом деформации:

продольная сила N соответст вует деформации растяжения или

сжатия;

поперечные силы Qx и Qy свя

занысдеформациейсдвига;

изгибающие моменты M x и My

Изгибом называется такая деформация, когда в сечении элемента в одной или двух плоскостях действует изгибаю щий момент.

Прямолинейные стержни, работающие на изгиб, называют бал ками.

Если в сечении действует только изгибающий момент, а осталь ные внутренние усилия равны нулю, такой изгиб называется чи стым, но чаще всего вместе с изгибающим моментом в сечении присутствует и поперечная сила Q . В этом случае изгиб называет

ся поперечным.

Изгиб создается внешними сосредоточенными силами F и рас пределенными нагрузками q , линия действия которых направле

на перпендикулярно к продольной оси стержня, а также парами сил, плоскость момента которых совпадает с этой осью (рис. 1.2). Плоскость действия сил, изгибающих балку, называется силовой плоскостью, а линия пересечения силовой плоскости с сечением балки– силовой линией (см. рис.1.2).

6

при прочих равных условиях приводят к возникновению бóльших напряжений и изгибу балки в другой плоскости. Эти случаи отно сятся к сложному сопротивлению и будут рассмотрены далее в дру гихтемахдисциплины.

В дальнейшем при изучении изгиба будут рассматриваться эле

менты не в реальном их изображении, а в виде расчетной схемы, которая получается в результате схематизации формы элемента и системы внешних сил. Как и для всех элементов стержневого типа,

сечения, а также механические свойства материала будут учиты ваться в соответствующих расчетных формулах при исследовании балокнапрочностьижесткость.

Рассмотрим распределенную нагрузку, которая является важным случаемнагружения.Приопределенииреакций опоривнутренних

7

усилийвсеченияхбалкинеобходимознатьравнодействующую Rq

этой нагрузки и точку ее приложения на участке действия. Графи ческое изображение распределенной нагрузки, показывающее ха рактер ее изменения вдоль оси балки, называется грузовой эпюрой. Равнодействующая такой нагрузки численно равна площади грузо войэпюрыиприложенавеецентретяжести(рис.1.4).

Рис.1.4

Тогда:

 для равномерно распределенной нагрузки q равнодействую щая Rq qa и проходит посередине участка действия этой нагруз

ки(см.рис.1.4, а);

 для нагрузки qz , изменяющейся вдоль участка по определен ному закону, равнодействующая, как площадь грузовой эпюры,

a

определяется интегралом вида Rq A qz dz , а координата цен

0

тра тяжести zc находится через статический момент площади

8

2.ОПОРЫИОПОРНЫЕРЕАКЦИИ

2.1.Видыопор

Для обеспечениянеподвижностибалок,работающихподнагруз кой, используются специальные фиксирующие устройства, при по мощи которых балка крепится к элементам конструкций, прини маемымзанеподвижные.Этиустройстваназываются опорами.

Основной задачей опор является обеспечение для балки полной кинематической неизменяемости, предполагающей, что переме щения точек возможны только в результате деформации системы, но не ее движения в целом. Ограничивая перемещения балки, опо ры в направлении ограничения создают реакции опор, которые так же, как и приложенная нагрузка, воздействуют на балку и участ вуют в процессе ее деформирования. Поэтому определение опор ных реакций является первым и необходимым шагом при иссле дованиибалокнапрочностьижесткость.

Конструкции опор, встречающиеся на практике, весьма разно образны и приводят к различному количеству возникающих реак ций. Балка согласно принятой схематизации ее формы и характера прилагаемой нагрузки представляет собой плоскую систему, по этому, приводя все многообразие конструкций опор в соответ ствие с видом изучаемых балок, можно рассматривать три основ ныхнаиболеераспространенныхтипа:

шарнирно подвижная опора;

шарнирно неподвижная опора;

жесткая заделка или защемление.

Балка, как любая плоская система, обладает тремя степенями свободы, которые для обеспечения неподвижности должны быть ограничены наложением соответствующего числа связей. Рассмот рим особенности указанных опор и установим, сколько связей они накладываютнасистемуикакиеприэтомвозникаютреакции.

Шарнирно подвижная опора накладывает на балку одну связь, отнимая одну степень свободы: она не препятствует движению балки вдоль плоскости качения и вращению ее конца относитель но опорного шарнира (рис. 2.1, а), но ограничивает перемещение

внаправлении, перпендикулярном к плоскости качения. Именно

вэтом направлении и возникает реакция RA , которая проходит

9

через центр тяжести опорного шарнира и является единственной реакцией для шарнирно подвижной опоры. Схематическое изо бражение шарнирно подвижной опоры и возникающей реакции показанонарис.2.1, б,в.

Рис.2.1

Следует заметить, что возможность горизонтального переме щения позволяет балке беспрепятственно изменять длину в слу чае изменения температуры, тем самым не вызывая в ней появле ниятемпературныхнапряжений.

Шарнирно неподвижная опора накладывает на балку две свя зи, отнимая две степени свободы: она допускает только поворот балки относительно опорного шарнира (рис. 2.2, а), но не позволя ет ей перемещаться поступательно ни в вертикальном, ни в гори зонтальном направлениях. Это ограничение выражается возника ющей реакцией R , действующей со стороны шарнира на конец балки. Но так как неизвестны ни величина, ни направление этой реакции (известна только точка ее приложения), удобнеезаменять ее двумя составляющими H A и RA , направленными вдоль оси и

перпендикулярно к балке соответственно. Таким образом, на шар нирно неподвижной опоре возникают две реакции опоры – вер тикальная RA игоризонтальная H A .

Рис.2.2

10