Особенности расчета на прочность составных балок из неоднородных материалов

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

E1I X 2 E2I X 3

8,33 29,08 МПа.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

где

I		ba3	ba (	a	,
	X1	1		1 )2
		12	1	2

		b(h			a		)3	b(h				h	a
I	X 2		2		1					a )(		2	1	)2,
I										a )(				)2,
					12				2	1			2
					12				2				2
					h	3
	IX 3			b( 2)			b h		( h	( h	a))2.
	IX 3						b h		( h	( h	a))2.
					12		2		4	2

В этом случае напряжения в точках верхнего участка сечения балки относительно нейтральной оси с модулем упругости определим по формуле

Z1		MzE1		y1.	(8)
	E1IX1	E1IX 2
			E2IX 3

На участке сечения балки с модулем Юнга Е1, расположенного ниже нейтральной оси, напряжение определяют по формуле

Z 2		MzE1		y2.	(9)
	E1I X1	E1IX 2
			E2IX 3

На третьем нижнем участке сечения балки с модулем упругости Е2 напряжение определим по формуле

Z 3		MzE2		y3.	(10)
	E1IX1	E1IX 2
			E2I X 3

Эпюра напряжений и разрыв значений напряжений на границе раздела материалов приведены на рис. 4.

2. Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе

При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки действуют два внутренних силовых фактора: поперечная сила Qz и изгибающий момент Mz.

Схема нагружения составной консольной балки прямоугольного сечения и эскиз ее сечения приведены на рис. 5.

Рис. 5. Схема нагружения и форма сечения балки

Всечениях балки действуют нормальные напряжения z

икасательные напряжения zy. Значения касательных напряжений проще всего вычислить через значения парных напря-

жений yz, возникающих в продольных сечениях балки. Рассмотрим элемент длины балки dZ (рис. 6), когда модуль

упругости материала верхнего слоя балки E1 > E2 нижнего слоя балки. В этом случае нейтральная ось сечения балки должна проходить по площади сечения верхнего материала балки, см. формулу (4).

Рис. 6. Распределение нормальных напряжений z, касательных напряжений τzy и τyz выше нейтрального слоя х

по высоте сечения составной балки

Равнодействующая сил, вызванная действием нормальных

напряжений z и касательных напряжений τzy, должна быть равна нулю, что можно представить следующим образом:

( z d z ) dA zdA yzbdz 0.

A	A
Данные уравнение приводим к виду
	yzbdz d zdA.	(11)
	A

С учетом уравнения (8), полученного для значения z, производная для z1 будет иметь вид

d z1		dM z E1	.	(12)
	E1I X 1	E1I X 2 E2 I X 3

Совместное решение уравнений (11) и (12) дает

yzbdz			dM z E1						y1dA1,
	E I	X 1	E I	X 2	E	2	I
1			1					X 3 A

где y1dA1 SXотс1 – статический момент отсеченной площади

сечения, т. е. площади, лежащей выше прямой AB (рис. 6, б). Значение касательных напряжений, действующих выше нейтрального слоя балки, с учетом статического момента отсечен-

ной площади можно выразить следующим образом:

E S

отс

(13)

dz b(E1I X1 E1IX 2 E2I X 3)

Так как

dM z

Qz , уравнение (13) получает вид

SотсE

X 1 1

(14)

b(E1I X 1

E1I X 2 E2I X 3)

где Sотс b(a y )( y

a1 y1

) .

X 1

Для определения касательных напряжений на участке сечения, расположенного между нейтральным слоем и линией раздела материалов, необходимо учитывать значение касательных напряжений, действующих на третьем участке балки:

Q (S

отсE SотсE )

X 3 2

X 2

(15)

b(E1IX1

E1IX 2 E2IX 3)

где Sотс b(c a

)( y

c a1 y2

Sотс

bd(c a

d ).

X 2

X 3

На участке сечения ниже раздела двух материалов

							Q SотсE
	yz						z X 4 2		,	(16)
	yz			b(E1IX1 E1IX 2 E2IX 3)					,	(16)
				b(E1IX1 E1IX 2 E2IX 3)
где Sотс b(h a		y	3	)( y	3		h a1 y3	).
где Sотс b(h a		y		)( y				).
X 4	1					2
						2

По формулам (14), (15) и (16) построена эпюра касательных напряжений (рис. 7) по высоте сечения балки h.

Рис. 7. Распределение касательных напряжений по высоте сечения балки

Из рис. 7 следует, что максимальные касательные напряжения в сечении балки действуют на уровне расположения нейтрального слоя х, что подтверждает известную классическую закономерность их распределения.

3.Пример расчета составной консольной балки

сразными значениями модуля Юнга

На рис. 8 приведена расчетная схема и сечение консольной составнойбалки со значениями Е1 = 2·105 МПа, а Е2 = 1·105 МПа. Сечение балки прямоугольное, состоящее из двух одинаковых по высоте частей, равных 50 мм. Ширина балки b = 50 мм, а высота ее сечения h = 100 мм.

Рис. 8. Расчетная схема и эскиз сечения составной балки

Требуется определить значения нормальных и касательных напряжений в характерных точках сечения и построить эпюры этих напряжений.

На рис. 8 условно нейтральная ось сечения балки совпадает с центром тяжести площади сечения, но так как Е1 > Е2 по условию задачи, нейтральная ось (н. о.) будет проходить по площади материала балки со значением Е1, т. е. выше условно принятого положения оси ХС. По формуле (6) определим положение нейтральной оси, обозначив его значением а1, отсчитывая его положение от верхней кромки общего сечения балки:

	h(E 3E	2	)	100(2 105	3	1	105 )
а	1	2						41, 67 мм.
а								41, 67 мм.
1	4(E1 E2 )			4(2 105	1 105 )
	4(E1 E2 )			4(2 105	1 105 )

Тогда расстояние до нейтральной оси сечения от центральной оси ХС составит

l h2 a 1002 41,67 8,33 мм.

Отложим полученные значения на эскизе площади сечения

(рис. 9).

а		б

Рис. 9. Положение нейтральной оси в сечении (а) балки и эпюры нормальных и касательных напряжений (б)

Из рис. 9 следует, что нейтральная ось сечения разделила это сечение на три участка, которые пронумерованы 1, 2, 3 соответственно. Для каждого из этих участков определим значения осевых моментов инерции относительно нейтральной оси (н. о.) с учетом параллельного переноса осей:

I X1	50 41,673						41,67					2	5			4
			50 41,67(							)		2	5			4	;
		12	50 41,67(					2		)			12,06 10 мм				;
		12						2
I X 2		50 8,333		50	8,33	(		8,33	)		2		3	4	;
I X 2		12		50	8,33	(		2	)				9,63 10 мм		;
		12						2
I X 3		50 503		50 50(25 8,33)2 32,98 105мм4.
		12

Значение 1/ρ определим по формуле (7):

		1							M z
					E I	X1	E I			X 2	E			2	I	X 3
					1	X1			1	X 2				2		X 3
					M z															M z		.
2	5	5	9,63 10					3	) 1 10			5					5				10	.
2	10	(12,06 10	9,63 10						) 1 10				32,98 10						57,29 10
Напряжение в точке А (рис. 9) определим по формуле
		Z ( A)							M z E1									yA
		Z ( A)			E1I X 1		E1I X 2 E2 I X 3											yA
					E1I X 1		E1I X 2 E2 I X 3
					10 106 2 105															41,67
2	5	5				5				5						5			5	41,67
2	10	12,06 10	2 10 0,96 10									1 10						32,98 10
				20 106 41,67						145,5 МПа.
									5	145,5 МПа.
				57, 29 10

Напряжения в точке B, расположенной на нейтральной линии, равны нулю.

На границе раздела материалов в точке D в материале с модулем упругости E1 напряжение z определяется из выраже-

ния (9):

На границе раздела материалов в точке D в материале с модулемупругости E2 напряжение z определим из выражения(9):

Z(D)			MzE2	yD
	E1IX1	E1IX2 E2IX3

10 106 1 10105			8,33 14,54 МПа.
57,29 10

Напряжение в точке К определим по формуле (10) при yk = 58,33 мм:

Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения балки приведена на рис. 9, где на границе раздела материалов получаем скачок напряжений, равный n = E1 / E2 = 2 ·105/(1·105) = 2, что подтверждает правильность решения задачи.

Определяем значения касательных напряжений в характерных точках по высоте сечения балки (рис. 9). Напряжения в точках А и К равны нулю.

Касательные напряжения в точке B определим по фор-

муле (14):

						Q	SотсE
yz(B)						z	XB	2			,
yz(B)					b(E1IX1	E1IX 2		E2IX 3)			,
					b(E1IX1	E1IX 2		E2IX 3)
где SXBотс 50 41,67			41,67 0,434 105					мм3;
				2
yz(B)	10 103 0, 434 105 1 105									3,03 МПа.
yz(B)										3,03 МПа.
				50 57, 29 1010
Напряжение в точке D определим по формуле (15):
						Q	SотсE
yz(D)						z	XD	2			,
yz(D)					b(E1IX1	E1IX 2		E2I X 3)			,
					b(E1IX1	E1IX 2		E2I X 3)
где SXDотс 50 50 (50 8,33) 83325 мм3;
2
yz(D)		10 103 83325 2 105							2,9 МПа.
yz(D)									2,9 МПа.
					50 57,29 105

Эпюра касательных напряжений по высоте сечения балки приведена на рис. 9.

4. Нормальные напряжения при плоском изгибе прямого стержня, возникающиев результате надавливания волокон друг на друга

В данной работе приводится доказательство, что в продольных сечениях бруса при поперечном изгибе, вызванным действием сосредоточенной силы, возникают нормальные напряжения в результате надавливания волокон друг на друга. Из курсов «Сопротивление материалов» и «Теория упругости» известно, что при таком изгибе в поперечных сечениях бруса

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]