Основы физики твердого тела для строителей
.pdf
поверхности и другого – составляющего достаточно большой угол с поверхностью, как показано на рис. 3.17.
Рис. 3.17. Измерение остаточных напряжений рентгеновским методом
Межплоскостные расстояния определяются из уравнения Вульфа– Брэгга
|
d3 n |
/ 2cos 3; |
d n / 2cos . |
|
|
Разность |
между |
этими |
расстояниями |
и |
периодом |
недеформированной решетки d0 |
дают деформации |
33 и |
. Считая |
||
материал изотропным и применяя соотношение линейной упругости между напряжениями и деформациями, получаем
|
E |
33 |
|
E d |
3 |
. |
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
sin 2 |
|
1 d0 sin 2 |
|||
|
|
|||||
|
|
|
||||
Повторив эту процедуру еще дважды, чтобы получить три нормальные составляющие на поверхности пластины, можно определить напряженное состояние в целом. Дополнительная информация о рентгеновском методе измерения напряжений содержится в [56].
111
Остаточные напряжения снимаются с помощью небольшой долговременной деформации, имеющей порядок деформации, необходимой для достижения предела текучести. Эти деформации могут быть вызваны равномерным растяжением, повторным нагружением (которое в некоторых случаях приводит к ползучести) или путем нагрева до такой степени, что возникает ползучесть.
Контрольные вопросы
1.Каковы основные виды деформации?
2.Что называется механическим напряжением?
3.Сформулируйте закон Гука?
4.Что такое модуль Юнга?
5.Что такое предел прочности?
6.Медь имеет решетку ГЦК, а цинк – ГПУ. Какой из этих материалов пластичней и почему?
7.В чем особенности диаграммы растяжения для совершенно хрупкого материала?
8.Чем можно объяснить существование эффекта Баушингера?
9.Запишите обобщенный закон Гука для плоского и объемного напряженного состояний.
10.Что представляет собой концентрация напряжений?
11.Чему равен коэффициент концентрации напряжений в случае достаточно широкой пластины и круглого отверстия?
12. Болт изготовлен из стали с пределом прочности р = 600 МПа,
имеет резьбу с глубиной витка 2 мм и радиусом скругления 0,5 мм. Что будет происходить с болтом, если от действующей нагрузки в
нем возникает напряжение ср = 200 МПа?
13.Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет вы-
соту 30 м. Насколько она сжата под действием собственной силы тяжести? Плотность гранита 2,7·103 кг/м3, Е = 1011 Па.
14.Бетон хорошо сопротивляется сжатию, но плохо выдерживает растяжение. Сталь обладает большой прочностью на растяжение. Какими свойствами обладает железобетон?
15.Стержень длиной 25 см и диаметром 0,25 см растягивается нагрузкой 4500 Н. Диаметр стержня уменьшился до величины 0,22 см. Рассчитать следующие параметры: а) конечную длину стержня; б) напряжение и относительную деформацию при заданной нагрузке.
112
Примеры решения задач З а д а ч а 3.1
При рентгеноструктурном анализе деформированной стали установлено, что относительное изменение параметров решетки со-ставляет 0,2 %. Чему равны внутренние напряжения в стали, если модуль Юнга Е = 2,1·1011 Н/м2, коэффициент Пуассона 0,28?
Решение
Внутренние напряжения деформированного металла
E
a ;
2,1 1011 2,10 4 1,5 108 H/м2.
0,28
За д а ч а 3.2
Кстальному стержню с площадью поперечного сечения 2,0 см2
идлиной 0,50 м подвешен груз массой 5,0 т. Каким запасом прочности обладает стержень, если предел прочности (разрушающее на-пряжение) при растяжении для стали равен 1,25 ГПа? Каково относительное удлинение стержня? Какова энергия упругой деформации стержня? Массой стержня
пренебречь.
Дано: масса груза m = 5,0·103 кг; длина стержня l = 0,50 м; площадь поперечного сечения стержня S = 2,0·10-4 м2; ускорение
свободного падения g = 9,8 м/с2; предел прочности стали
р = 1,25·109 Па; модуль Юнга Е = 2,2·1011 Па.
Найти n – запас прочности, 
– относительное удлинение, W –
энергию упругой деформации. |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
Запас прочности найдем по формуле n |
p |
, где |
F |
, a F = mg, |
|
S |
|||
|
|
|
|
откуда
113
m |
S |
. |
|
||
|
m g |
|
Относительное удлинение найдем по формуле
1 |
|
mg |
. |
|
|
||
E |
|
ES |
|
Зная деформирующую силу F = mg и абсолютную деформацию l, определим энергию упругой деформации
W |
F |
|
, где |
mg l0 |
. |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
ES |
|
Очевидно, W |
mg 2 l |
. |
|
2ES |
|||
|
|
Подставляя числовые данные, получим значение искомых величин:
|
n |
1,25 109[Па] 2,0 10 |
4[м3 ] |
5,1; |
|||||
|
5,0 103[кг] 9,8[м/с2 |
] |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
5,0 103[кг] 9,8 [м/с2 ] |
|
|
1,1 10 3 ; |
|||
|
|
2,2 1011[Па] 2,0 10 4[м2 |
] |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
W |
(5,0 103[кг] 9,8 [м/с2 ])2 |
0,50[м] |
14 Дж. |
||||||
|
2 2,2 1011[Па] 2,0 10 |
4[м2 |
] |
||||||
|
|
|
|||||||
З а д а ч а 3.3
Предел упругости отпущенной стали равен 572 МПа. Будет ли деформация упругой или пластической, если стальная проволока длиной 3,00 м и площадью поперечного сечения 1,20 мм2 под действием растягивающей силы удлиняется на 8,00 мм? Под действием какой силы происходит такая деформация? Модуль Юнга для стали Е = 196 ГПа.
114
Дано: предел упругости y = 5,72·108 Па; длина проволоки l = 3,00 м;
абсолютное удлинение проволоки |
l = 8,00 мм = 8,00·10-3 м; площадь |
поперечного сечения проволоки |
S =1,20 мм2 = 1,20·106 м2; модуль |
Юнга Е = 1,96·1011 Па. |
|
Определить вид деформации (упругая или пластическая), F – силу, вызывающую заданное удлинение.
Решение
Для определения вида деформации в проволоке найдем
напряжение в |
ней |
и сравним его с пределом |
упругости |
y. |
|||
Напряжение найдем по закону Гука: |
= Е . Учитывая, что |
l , |
|||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
E |
l |
|
1,96 1011[Па] 8,00 10 3[м] |
5,23 108 Па. |
|
||
l |
3,00[м] |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
Сравнивая |
полученное значение |
напряжения |
с пределом |
||||
упругости |
5,72 108 Па, видим, |
что напряжение в проволоке |
|||||
меньше предела упругости ( < упр); следовательно, деформация в проволоке упругая.
Учитывая полученное значение напряжения, находим силу, вызывающую деформацию проволоки:
F 
S 5,23 108[Па] 1,20 10 6[м3 ] 6,27 102[Н].
З а д а ч а 3.4
Предел прочности кирпича на сжатие составляет 60,0 МПа. Какой максимальной высоты можно построить кирпичное здание при запасе прочности 8,00?
Решение
115
По определению запас |
прочности |
n |
|
допустимое |
||||||||
|
||||||||||||
напряжение |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Напряжение в стене создается собственным весом. Следовательно, |
||||||||||||
|
|
|
mg |
|
hSg |
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
S |
|
|
S |
n |
|
||||
Искомая высота стены h |
p |
|
; h = 55 м. |
|
|
|
|
|||||
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а 3.5
Стальная балка закреплена между двумя стенами при температуре 10 С. С какой силой концы балки будут давить на стены при температуре 35 С? Площадь сечения балки S = 50 см2. Модуль упругости стали Е = 2,1·1011 Па.
Решение
Сила F = S, согласно закону Гука
l1 E ,
где |
l2 |
l1 – изменение длины стержня. |
||
|
l можно найти из соотношения |
|
||
|
|
l2 |
l1(1 |
, |
где |
– |
коэффициент |
линейного |
расширения (для стали |
1,2 10 5 1 );
град
l1 и l2 – длины образца при температуре t1 и t2.
116
l1 |
; |
|
E ; |
E |
. |
Следовательно, F |
E |
S |
. |
|
|
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
F 2,1 1011 |
1,2 10 5 |
50 10 4 25 |
3,15 105 Н. |
||
З а д а ч а 3.6
Из скольких стальных проволок N диаметром d = 3 мм должен состоять стальной трос, рассчитанный на подъем груза массой m = 1 т с ускорением а = 1 м/с2? Плотность стали = 7800 кг/м3. Предел прочности на разрыв р = 500 МПа. Запас прочности троса должен быть n = 1,5.
Решение
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем |
доп в каждой проволоке: |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Fн1 |
, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
|
|
|
где S1 |
d |
2 |
– сечение проволоки. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fн1 |
Fн |
|
|
P |
. |
|||
|
|
|
|
N |
N |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
При подъеме P m g a , Р |
|
– сила тяжести, которую |
|||||||||
выдерживает весь трос. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
117
Следовательно |
|
4P |
|
4m(g a) |
. |
|
|||
|
d 2 N |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
d 2 N |
|
||||
Поскольку n |
d 2 N |
p |
|
, то N |
|
4mn g a |
. |
||
4m g |
a |
|
|
d 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
Произведем вычисление: N |
4 103 |
1,5 9,8 |
1 |
5 . |
|||
3,14 |
3 10 |
3 2 |
|
6 |
|||
|
|
|
|||||
|
|
500 10 |
|
||||
З а д а ч а 3.7
Посередине однородной балки массой m1 = 1,5 т и длиной L = 20 м установлен механизм массой m2 = 20 т. Какое минимальное сечение S должны иметь опоры, удерживающие балку, если они изготовлены из бетона, а запас прочности n = 6? Насколько сожмутся опоры, если высота опор l0 = 5,0 м? Как изменятся S и l, если механизм сместить на расстояние х = 5,0 м к правому концу балки? р
бетона = 20·106 Па.
Решение
При равновесии сумма сил, действующих на балку:
N1 N 2 m1 g m2 g 0 ;
|
|
|
p |
S m |
m g |
|
6 m |
m g |
||
|
|
|
|
|||||||
N1 |
доп |
S |
|
1 |
2 |
S |
1 |
2 |
||
6 |
|
|
|
2 |
2 |
p |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
118
6 1,5 |
20 |
103 |
10 |
3,225 10 |
2 м2. |
2 |
20 106 |
|
|||
|
|
|
|||
По закону Гука сила упругости в опорах
F |
E |
S |
; |
|
|
||
|
|
l0 |
|
в то же время
F |
m1 |
m2 |
g |
. |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
Приравняв правые части последних выражений, найдем l. Произведем вычисления:
l |
1,5 |
20 |
103 |
9,8 5 |
0,83 10 |
3 м 0,83 мм. |
|
2 20 109 |
3,225 10 2 |
||||||
|
|
|
|||||
Запишем момент сил относительно точки О:
m1g 10 m2g 15
N2 
20 ;
|
m1g 10 m2 g 15 |
5 |
|
N2 |
|
|
1,575 10 Н. |
20 |
|
||
|
|
|
|
Момент сил относительно точки О1
119
20 10 5 |
1,5 10 10 |
5,75 104 |
|
|
m2 g 5 m1g 10 N1 20 N1 |
|
|
Н. |
|
|
20 |
|||
|
|
|
|
|
Найдем сечения балок S/ и S// после того, как сместим механизм на 5 м:
|
|
S / |
|
|
|
|
6 1,575 105 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1,575 105 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
0,047 м2 |
4,7 10 2 |
м2; |
||||||||
6 |
20 106 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
S // |
|
|
|
|
6 5,75 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5,75 104 |
|
S // |
|
|
|
|
|
|
|
0,017 м2 |
1,7 10 2 |
м2; |
|||||||||
|
20 106 |
|
|||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
l1 и l2 найдем из закона Гука: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1,575 105 E |
l S / |
|
|
l |
1,575 105 5 |
|
|
|
0,83 мм; |
|
|||||||||||
|
|
l |
|
|
20 109 0,047 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5,75 104 |
E |
|
l S // |
|
|
l |
5,75 104 5 |
|
|
|
0,83 мм; |
|
|||||||||||
|
l |
|
|
20 109 0,017 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
S / |
|
4,7 10 2 |
|
1,47 ; |
|
S // |
|
|
1,7 10 2 |
|
|
0,53. |
|
|||||
|
|
|
|
|
S |
3,2 10 2 |
|
|
S |
3,2 10 2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 
2 
.
З а д а ч а 3.8
Сферический баллон с внутренним диаметром d = 0,5 м и толщиной стенок h = 1 см заполнен сжатым воздухом под давлением, которое обеспечивает трехкратный запас прочности. Каково давление р в баллоне, если предел прочности р материала баллона 60 МПа? Атмосферное давление Ра = 105 Па.
Решение
120