Основы физики твердого тела для строителей
.pdf
допустимое напряжение выбирают так, чтобы оно составляло лишь некоторую часть предела прочности.
Число, показывающее, во сколько раз предел прочности р превосходит допустимое (фактически действующее) напряжение
доп, называют запасом прочности п:
n 
.
Провести четкую границу между пластичными и хрупкими телами невозможно. Даже в одном и том же теле можно наблюдать либо пластичность либо хрупкость. На характер деформации влияют различные факторы, такие как температура, тип напряженного состояния, скорость деформации, окружающая среда и др. Повышение температуры, как правило, способствует пластичности, при понижении температуры возрастает хрупкость. Влияние напряженного состояния на характер деформирования показывают опыты с хрупкими материалами. Так, например, мрамор при линейном напряженном состоянии (сжатие или растяжение) – хрупкое тело, но при деформации в условиях объемно-напряженного состояния он приобретает пластичность.
3.3. Сложное упругодеформированное состояние
При одноосном растяжении (сжатии) стержня на некоторых площадках одновременно действуют нормальные и касательные напряжения, значения которых зависят от угла наклона к оси стержня этих площадок (рис. 3.4). Имеются также площадки (сечения), в которых касательные напряжения отсутствуют. На этих площадках нормальные напряжения имеют экстремальные значения: максимальные в сечениях, перпендикулярных оси стержня ( = 0), и минимальные в сечении, параллельном оси стержня ( = 90 ).
91
Рис. 3.4. Компоненты нормальных и касательных напряжений, действующих на элемент объема
Площадки, в которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными. Нормальные напряжения, действующие по этим площадкам, также называются главными.
Одноосное растяжение (сжатие) стержня является простейшим видом деформации тела, при котором лишь одно из главных напряжений не равно нулю. Такой вид напряженного состояния называют линейным. На практике встречаются виды деформаций, когда в окрестности какой-либо точки тела действуют два и даже три главных напряжения. Напряженное состояние в точке в этих случаях называют соответственно плоским и объемным.
3.4. Обобщенный закон Гука и потенциальная энергия деформации
Определим деформации 1 и 2 в направлении главных
напряжений при плоском напряженном состоянии. Плоское напряженное состояние реализуется в тонких пластинах со свободными от внешних воздействий основаниями, которые деформируются нагрузками, симметричными относительно срединной плоскости и парал-лельными ей. Плоское напряженное состояние в каждой точке может быть представлено как растяжениесжатие в двух взаимно перпендикулярных направлениях напряжениями 1 и 2. Напряжение 1 вызывает продольную
92
11 |
E |
(3.4) |
|
и поперечную деформацию (в направлении напряжения)
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
E . |
|
(3.5) |
Напряжение 2 вызывает деформации |
|
|
||||||||||||
|
22 |
|
|
|
|
E , |
12 |
|
E . |
(3.6) |
||||
Суммируя деформации одного направления, получим |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
( |
|
2 ); |
|
||
1 |
|
11 |
|
|
12 |
E |
1 |
(3.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
1). |
|
|||
2 |
|
22 |
|
21 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|||
Аналогично для объемного напряженного состояния |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
|
|
3 ) ; |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
E |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
|
1) ; |
(3.8) |
||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|||||||
|
|
|
E |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
( |
|
|
|
2 ) . |
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
E |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь 3 и 3 – третье главное напряжение и главная деформация. Уравнения (3.7) и (3.8) представляют собой закон Гука соответственно для плоского и объемного напряженного состояний. Если известны значения главных деформаций, то несложно вычислить изменение объема элемента при деформации. Например, для кубика с длиной ребра 1 мм объем до деформации V0 = 1 мм3, а
после деформации его объем
93
V (1 |
)(1 |
)(1 |
) 1 |
, |
т.к. произведения деформаций малы по сравнению со значениями самих деформаций.
Относительное изменение объема
V V 
1 
2 
3 .
С учетом равенств (3.4)–(3.7) найдем
V |
1 |
2 |
. |
|
|
|
|
||
|
|
E |
||
|
|
|
|
|
Вычислим потенциальную энергию упругого растянутого (сжатого) стержня.
Для того чтобы деформировать тело, нужно совершить работу А. За счет этой работы деформированное тело приобретает потенциальную энергию W, которая затем может быть полностью возвращена телом при снятии нагрузки.
В пределах упругой деформации можно считать, что
l
W A 
Fdx,
0
где dx – абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе
деформации от 0 до |
l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно закону Гука |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F |
kx E |
S / l , |
|
||||
поэтому |
W |
A |
E S |
xdx |
1 |
|
E S |
( 2 , |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
l |
2 |
|
l |
|
||
т.е. потенциальная энергия упругодеформированного стержня пропорциональна квадрату деформации ( l)2.
Энергия единицы объема w (или средняя удельная работа деформации) материала при упругих деформациях равна
94
wW 1 ES(s l)2 , V 2 2l S l
где V = Sl – объем стержня.
С учетом закона Гука = Е получаем, что
1
w или w 2E . 2
Следовательно, если для конструкторских разработок потребуется материал, работающий только в упругой области и
поглощающий при этом много энергии (например, механическая пружина), то этот материал следует искать среди тех, которые имеют высокий предел упругости и низкий модуль упругости.
При простом растяжении
w1 |
1 |
; |
|
|
|||
2 |
|||
|
|
в случае плоского напряженного состояния
w |
1 |
( |
) ; |
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
при объемном напряженном состоянии
w |
1 |
( |
) . |
|
|||
3 |
2 |
|
|
|
|
|
Используя обобщенный закон Гука, найдем
|
|
w |
1 |
( |
2 |
); |
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
2E |
|
|
|
w3 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
2E |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
3.5. Концентрация напряжений
Приведенные в предыдущих параграфах формулы для определения напряжений и деформаций справедливы лишь для сечений, уда-ленных на достаточное расстояние от зон резкого
95
изменения формы и сопряжения (соединения) элементов конструкций.
Исследования показали, что в зонах резких изменений в форме элементов конструкций (около отверстий, надрезов, сопряжений, неоднородных по физико-механическим свойствам) возникают повышенные напряжения, т.е. имеет место концентрация напряжений. Например, при растяжении пластины с двусторонним надрезом (рис. 3.5) напряжение по сечению распределяется неравномерно. Напряжения в сечении, вычисленные по формуле сопротивления материалов, – номинальные напряжения н (показаны
штриховой линией) оказываются ниже фактических максимальных напряжений max.
а |
б |
Рис. 3.5. Эпюры напряжений при растяжении гладкого (а) и надрезанного (б) образцов
На практике концентрацию напряжений учитывают с помощью теоретического коэффициента концентрации напряжений K или K .
Коэффициентом концентрации напряжений называется число, показывающее, во сколько раз напряжение около концентратора превышает номинальное (т.е. в гладкой пластине) напряжение:
K |
max |
, K |
max |
. |
|
|
|||
|
|
|
н |
|
Максимальное напряжение находят из соотношений
96
max |
K |
, |
|
|
|
max |
K |
н , |
где н и н – соответственно |
номинальные нормальные и |
|
касательные напряжения в расчетном сечении.
Укаждого концентратора напряжений имеется радиус кривизны R
ввершине надреза и характерный размер, которым может быть половина толщины оставшегося материала, полудлина центральной трещины, длина односторонней трещины или высота уступа (рис.
3.6).
Рис. 3.6. Различные концентраторы напряжений. (Указаны характерные размеры)
В таком случае коэффициент концентрации напряжений или деформаций в общем виде составляет
ax |
|
ax |
1 (0,5 2) |
l R . |
|
|
|
При этом K0 2 l R относится к односторонней трещине.
В случае достаточно широкой пластины и круглого отверстия коэффициент концентрации напряжений равен трем. В случае эллиптического отверстия коэффициент концентрации напряжений ра-вен 1 + 2а/b, где а и b – длина и ширина полуосей эллипса.
Концентрация напряжений оказывает существенное влияние на прочность элементов конструкций. А.А. Гриффитс предположил, что трещины – это сильно вытянутые эллипсы. Соотношения полуосей а/b для трещины, например, длиной 10 мкм и шириной 0,1 мкм,
97
равно 100 : 1, в этом случае коэффициент концентрации напряжений будет равен 201. При подобной концентрации напряжений теоретическая прочность стекла (14000 МПа) должна снизиться примерно до 70 МПа, что близко к прочности обычного стекла.
Физическую картину того, что происходит вследствие концентрации напряжений у вершины (кончика) трещины, иллюстрирует схема, показанная на рис. 3.7.
Рис. 3.7. Упрощенная схема атомного строения вещества при наличии трещины: 1 – трещина; 2 – перегруженные атомные связи
Если трещина перерезала несколько межатомных связей, то в результате концентрации напряжений существенно возросла нагрузка, передаваемая на атомную связь у самой вершины трещины. В таких условиях перегруженная связь (показана несколькими параллельными линиями), как правило, не выдерживает и разрывается, что приводит к перегрузке следующей связи и т.д. Таким образом, трещина служит как бы орудием, при помощи которого сравнительно небольшая внешняя нагрузка разрушает сильнейшие межатомные связи, приводя к полному разделению образца материала на части.
3.6. Упругий гистерезис
Упругий гистерезис – это различие в значениях деформаций в теле при одном и том же механическом напряжении в зависимости от значения предварительной деформации тела.
98
На рис. 3.8 показана схематическая кривая деформации, типичная для ГПУ-кристаллов (гексагонально-плотноупакованная структура). Кривая состоит из двух частей: начального участка, соответствующего области упругой деформации, и последующего участка пластической деформации. Деформация, которая произошла в пластической области, необратима. Если образец, деформированный до точки О, на этой кривой разгрузить, то напряжения и деформации при разгружении изменяются по пунктирной линии ОО . Остаточная деформация соответствует точке О . Если образец нагрузить повторно, то кривые между точками О и О
не совпадают (рис. 3.9). Кривая разгружения несколько смещена относительно кривой повторного нагружения.
Рис. 3.8. Кривая деформации, |
Рис. 3.9. Петля гистерезиса при разгружении |
типичная для ГПУ кристаллов |
и повторном нагружении в пластической |
|
области |
Таким образом, деформация не является однозначной функцией напряжения. Кривые нагружения и разгружения образуют петлю гистерезиса. Подобное поведение при разгружении и повторном нагружении характерно для всякого пластически деформируемого кристаллического материала и представляет особый случай эффекта Баушингера.
3.7. Эффект Баушингера
Кривые «напряжение–деформация», рассмотренные в п. 3.6, получены при испытаниях, в процессе которых напряжения
99
увеличивались монотонно. Предположим теперь, что в некоторой точке кри-вой «напряжение–деформация» направление приложенного напряжения было изменено на обратное, т.е. вместо растяжения стали производить сжатие образца, или, если образец испытывали на сдвиг, то направление сдвига изменили на противоположное. Типичная кри-вая напряжение–деформация при изменении знака напряжения показана на рис. 3.10.
Рис. 3.10. Кривая «напряжение–деформация», иллюстрирующая эффект Баушингера
Пунктирной линией на этой фигуре изображена кривая деформации (показанная ранее на рис. 3.8) при разгружении и повторном нагружении образца в том же направлении. Сплошная кривая показывает ход деформации в том случае, если повторное нагружение производится в обратном направлении. По оси ординат на этом гра-фике отложены абсолютные значения напряжения. Общая деформа-ция образца при нагружении в обратном направлении меньше остаточной деформации разгруженного образца. Однако для того, чтобы облегчить сравнение кривой, полученной при повторном растяжении, с кривой, полученной при сжатии, последняя построена в зависимости от разности деформаций сжатия и остаточной деформации разгруженного образца, взятой с противоположным знаком. Можно увидеть, что при изменении знака напряжения образец деформируется значительно легче, чем в случае простого повторного нагружения образца в том же направлении. Это различие в поведении при пластической деформации известно как эффект Баушингера.
100