Основы проектирования энергосистем. В 2 ч. Ч. 1

сельскохозяйственных потребителей

3.6. З а д а ч и

Приведенные в пособии задачи разработаны Н.М. Сычом [25].

З а д а ч а 3.1

Прогнозирование электропотребления методом экстраполяции. Требуется изучить и апробировать способ построения

функциональной зависимости электропотребления от времени с помощью метода наименьших квадратов на основе данных временного ряда потребления за предыдущие годы.

Известна предыстория электропотребления в виде временного ряда, представленного в табл. 3.3 за период Т с интервалом пять лет. Требуется оценить ожидаемое электропотребление на уровне Т + 1 лет, если предположить, что закон изменения потребления электроэнергии в данном регионе остается прежним.

Таблица 3.3

Временной ряд электропотребления, млрд кВт∙ч

194

Для построения аналитической зависимости электропотребления от времени использовать метод наименьших квадратов. Задачу требуется решить двумя методами.

1. Электропотребление Wt в функции от времени представить прямой линией:

Коэффициенты a и b зависимости (3.3) найти вручную с целью изучения методики построения аналитических зависимостей электропотребления от времени с помощью метода наименьших

195

квадратов. При этом с целью упрощения ручных расчетов допускается использовать из временного ряда ретроспективы табл. 3.3 лишь три показателя за любые годы, предшествующие прогнозируемому.

Правильность решения задачи проверить на ПЭВМ с помощью компьютерной программы, построенной на изучаемом в этой задаче математическом аппарате. Данная задача считается решенной, если результаты ручных расчетов близки к выходным данным, полученным на ПЭВМ.

2. По временному ряду предыстории построить аналитические зависимости на ПЭВМ с помощью программы MNK:

Определить среднеквадратичную погрешность S формул (3.4) и (3.5) по выражению

где Т – период ретроспективы, лет; t – порядковый номер года, лет;

Wt – фактическое электропотребление на год t; Wt' – то же, найденное по формулам (3.4) и (3.5).

Сделать заключение, какая из формул, (3.4) или (3.5), дает меньшую среднеквадратичную погрешность и рекомендуется к использованию. По этой зависимости определить ожидаемое электропотребление на Т + 1 год.

Краткие теоретические сведения

196

«От живого созерцания – к абстрактному мышлению, и от него – к практике», – так определяется диалектический закон познания. Одним из отображений этого закона являются методы прогнозирования различных ситуаций. В данной задаче рассматривается прогнозирование энергопотребления.

Использование экстраполяции в прогнозировании имеет в своей основе предположение о том, что процесс изменения

где f1( A, t) – детерминированная основа (тренд, тенденция) прогнозирования;

f2 (b, t) – ограничения на случайную составляющую;

А, В – некоторые векторы параметров, сохраняющие свои значения на периоде упреждения прогноза Т;

N – случайная составляющая с нулевым математическим ожиданием.

Модель (3.8) наиболее распространена при решении практических задач прогнозирования, и задача сводится к выбору

вида функции f1( A, t) и ее параметров.

Если зависимость (3.8) определена, то задача математического прогнозирования формулируется следующим образом. Имеется

зависимость некоторой величины Wt от величины t в области T(t,

197

T). Требуется определить значение Wt' , соответствующее времени Т

, находящемуся за пределами области Т, т.е. область функции (3.8) расширяется до величины T + dT. Здесь dT – период упреждения. Для получения правдоподобного прогноза период упреждения не должен превышать 30–40 % области (t, T).

Ниже рассмотрены практические методы определения функции типа (3.8) по данным ретроспективы.

Допустим, что известен ретроспективный ряд электропотребления за период Т. Требуется определить функцию

(3.8).

Поступаем следующим образом. Величины электропотребления, соответствующие временному ряду в области T(t = 1, 2, ... , T + dT), нанесем на плоскость в координатных осях Wt, t. Если расположение точек весьма разбросано и трудно выявить тренд, то прибегаем к математическому приему, позволяющему сгладить исходную информацию. Этот процесс называется сглаживанием.

Наилучший результат сглаживания получается для средних точек группы. Поэтому желательно выбрать нечетное количество точек в сглаживаемой их группе. Сами точки будут скользящими по

координате t. Например Wt1 , Wt 2 , Wt3 сглаживают среднюю точку Wt 2 , по Wt 2 , Wt3 , Wt 4 сглаживает точку Wt3 и т.д. Крайние левую и правую точки ретроспективного ряда Wt1 и Wt сглаживают по

специальным формулам. Можно сглаживать по трем, пяти и т.д. точкам. Для сглаживания по трем точкам формулы сглаживания имеют вид

средней t0 точке;

198

Wt 1 и Wt' 1 – то же в левой от средней точке;

Wt 1 и Wt' 1 – то же в правой от средней точке.

Формулы Wt' 1 и Wt' 1 уравнений (3.9) применяем по левому и

правому краям интервала соответственно, а Wt'0 – для остальных

точек, расположенных между двумя крайними точками.

Для рядов со значительной амплитудой помехи можно проводить многократное сглаживание. В качестве критерия достаточности итераций сглаживания можно использовать величину

E max Wti' Wti' 1 2,

где δЕ – положительное число, выбранное из соображений точности представления данных и точности последующих алгоритмов обработки. При прогнозировании эту величину можно принять

равной 2–3 % от Wt . Здесь i – номер итерации при сглаживании: i = 1,

2, … , n.

Линейное сглаживание является достаточно грубой процедурой. Для более точного сглаживания применяется операция нелинейного сглаживания или метод взвешенных скользящих средних. В последнем случае ординатам точек, входящих в скользящую группу, приписываются различные веса в зависимости от их интервала от середины сглаживания.

Метод нелинейного сглаживания заложен в используемую программу, если задавать не искомую степень полинома, а допустимую погрешность сглаживания δЕ.

Результатом операции сглаживания ряда ретроспективы является его тренд (тенденция, вид функции). По тренду необходимо подобрать наиболее подходящий вид функции. Для целей экстраполяции наиболее часто применяют следующие виды функций:

прямая линия

199

Графики этих функций можно отыскать в справочниках по математике. Вид функции при прогнозировании выбирается на основе сравнения их графиков с трендом исследуемого временного ряда.

Для отыскания коэффициентов в структуре выбранной формулы обычно используется метод наименьших квадратов, дающих наиболее точные результаты. По этому методу оценка параметров функции определяется условием

200

где Wt– электропотребление в году t, взятое из сглаженного ретроспективного ряда;

f1( A,t) – то же, найденное по принятому аналитическому

выражению из числа приведенных формул (3.10)–(3.17) при неизвестном векторе А параметров, т.е. А = [a, b, c, d, ...]. Реализация условия (3.18) в общем виде приводит к составлению системы уравнений

решение которой позволяет определить постоянные коэффициенты функции, т.е. вектор постоянных А.

Система уравнений (3.19) легко решается, если она линейна. Однако не все виды функций из ряда (3.10)–(3.17) дают линейную систему уравнений (3.18). Например, степенная и все последующие виды функций приводят при их использовании к нелинейной системе уравнений (3.19). Поэтому ее реализация будет затруднительной и потребует специального математического аппарата. Чтобы избежать этого, при использовании такого рода функций их приводят к линейному виду. Данная процедура называется выравниванием и широко используется в математике.

При выравнивании функций применяется их логарифмирование и замена переменных.

Приведем примеры. Пусть временной ряд предполагается представить в виде степенной функции (3.13). Ее логарифмирование дает

lg y lg a blg t .

201

Произведем замену переменных:

y lg y; a lg a; t lg t .

В результате получим линейную функцию

использование которой в условии (3.18) приведет к линейной системе уравнений (3.19). Однако предварительно, как это следует из (3.20), нам необходимо будет прологарифмировать временной ряд данных ( y lgWt ) и саму абсциссу времени t, т.к. t lg t . В процессе

решения системы уравнений (3.19) найдем постоянные a и b. Фактической величине прогноза при использовании уравнения (3.20) будет соответствовать антилогарифм найденной величины y.

Не существует рекомендаций по однозначному выбору наилучшего вида функции для описания выбранного ретроспективного тренда. Приходится использовать несколько функций, по своему виду напоминающих тренд ретроспективных данных. Наилучшая из фор-мул оценивается по критерию (3.18).

Рекомендуется следующий порядок решения задачи.

Задаться критерием сглаживания и сгладить временной ряд вручную по формулам (3.18). При принятой точности сглаживания осуществить сглаживание временного ряда на ПЭВМ с помощью программы MNK. Результаты сглаживания оформить в виде табл.

3.4.

Таблица 3.4

Исходный и сглаживаемый временные ряды

t, лет

Wt, млрд. кВт ч, исход.

Wt, млрд. кВт ч,

202

сглаж. вручную

Wt, млрд. кВт ч, сглаж. на ПЭВМ

Значения исходного и сглаживаемого рядов нанести на плоскость в координатах Wt, t. Желательно исходные точки и тренд для всех трех случаев вычертить разными цветами. Для дальнейшего рассмотрения в основу принять временной ряд, сглаженный на ЭВМ с помощью программы.

Задаться тремя любыми точками временного ряда из последней строки табл. 3.4 и по ним найти постоянные коэффициенты функции (3.3) с помощью метода наименьших квадратов. В целях самопроверки эту же задачу решить на ЭВМ по компьютерной программе.

Поставить аналитические зависимости (3.4) и (3.5) на ПЭВМ с помощью программы. По критерию (3.6) отобрать лучшую зависимость. По отобранной формуле оценить ожидаемое электропотребление на Т + 1 год.

Пример прогнозирования электропотребления методом экстраполяции

Составим экстраполяционную функцию для прогнозирования электропотребления по варианту 1 задания.

Исходный и сглаженный временные ряды электропотребления представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Исходный и сглаженный временные ряды за ретроспективный период (электропотребление задано в млрд. кВт ч)

203