Основы научных исследований. Математическое моделирование технологических процессов. В 2 ч. Ч. 1

этого при использовании ПФЭ и ДФЭ коэффициенты регрессии уравнения рассчитывают по формуле

N

1 а д

Ц=1

где bj - значение г-ro коэффициента регрессии 0 = 0, 1, 2, к);

X iu - значение г-го фактора в w-м опыте в кодированном виде;

Уи - значение параметра оптимизации в и-м опыте;

N - число опытов в матрице планирования.

Врезультате получают модель, имеющую следующий общий вид:

У— Ьо + ЪхХ \ + Ь2Х 2 +... + Ь{Х {.

П р и м е р. В реализуемой матрице планирования получены следующие результаты (таблица 9).

Таблица 9 - Результаты опытов

По формуле (4) рассчитываем коэффициенты регрессии ис­ комой модели. Для примера рассчитаем коэффициент b/. Для этого мы должны взять из таблицы 7 значения фактора Х 1и в

кодированном виде + 1 или - 1 и перемножить на соответст­ вующие значения Yu, взятые из таблицы 9. Подставив эти зна­

чения, получим:

ъх - —[(+1)300 + (-1)280 + (-1)320 + (-1)290 + (+1)315 +

8

+ (+1)305 + (+1)335 + (-1)280].

50

Таким образом, полученная линейная модель имеет следующий вид:

Y = 303,1 + 10,6^ - 0,6Х2+ 6,9Х3 - 5,6X 4■

4.3.6. Статистический анализ модели

Успехов без неудач не бывает.

Афоризм

Целью анализа является проверка пригодности модели для ее ис­ пользования при описании исследуемого объекта (процесса, сплава, технологии и т.д.), иначе, ее адекватности.

Этот анализ состоит из двух этапов. На первом проверяют стати­ стическую значимость коэффициентов регрессии. Обычно это де­ лают с помощью статистического критерия Стьюдента (/-критерия). Для этого рассчитывают доверительный интервал коэффициентов:

где ta f - значение ^-критерия для уровня значимости а и числа сте­

пеней свободы f ] ; критерий Стьюдента taj берут из таблицы П5;

Sfr - среднеквадратичная ошибка;

а - уровень значимости - величина, характеризующая, какова вероятность того, что полученный результат неверен. В техниче­ ских экспериментах а обычно принимают равным 0,05, или в про­ центах 5 %, иногда 0,1 или 0,01.

Среднеквадратичную ошибку в определении коэффициентов ре­ грессии вычисляют по формуле

51

Коэффициенты регрессии сравнивают с Ab t и те значения,

которые оказываются по абсолютной величине меньше довери­ тельного интервала, исключают нз уравнения. То есть считают, что соответствующие факторы в исследованных пределах слабо влияют на параметр оптимизации.

На втором этапе окончательно полученное уравнение проверяют на адекватность, т.е. его пригодность для описания объекта иссле­ дования. Последовательность проверки такова:

- по полученной модели поочередно для всех опытов матрицы планирования определяют расчетные значения параметра оптими­

зации ( Урлсч). Для этого в уравнение подставляют значение факто­ ров в кодированном виде;

—вычисляют оценку дисперсии неадекватности по формуле

где / 2 = Лг - к - число степеней свободы; к' - число коэффициентов модели, включая 60.

Определяют расчетное значение F-критерия по формуле

^2 ррасч _ ‘-’неад

1 Sy

Полученное значение F-критерия (критерия Фишера) сравнива­ ют с табличным, которое выбирают из таблицы П6 с учетом уров­ ня значимости а и числа степеней свободы f и f 2. В случае если расчетное значение окажется не больше табличного, модель при­ знают адекватной. Это значит, что ее можно использовать для опи­ сания объекта исследования в изученных пределах изменения фак­ торов. Таким образом, если надо получить значение параметра оп­ тимизации Y при интересующих значениях факторов, то для этого

52

достаточно подставить их значения (в кодированном виде) в полу­ ченное уравнение. Формула кодирования факторов (3) приведена в п. 4.3.2.

П р и м е р . Рассчитываем доверительный интервал коэф­ фициентов регрессии Aftj. Для этого вначале определяем S l7,\

* V ~ ^ = ± 1 ,6 2 .

Из таблицы П5 выбираем для а = 0,05 и fi = 2 значение кри­ терия Стьюдента, равное 4,3. Определяем

Abt =± 4,3 ■1,62= ± 7,0.

Таким образом, в полученном уравнении коэффициенты Ьг и Ь* оказались статистически незначимы. Коэффициент Ьз весьма

близок к доверительному интервалу {расхождение 1,4 %), по­ этому решено его все же включить в окончательное уравнение, которое приобретает следующий вид:

Теперь проверяем адекватность полученной модели в целом.

Для этого подставляем в полученное уравнение последовательно для всех опытов значения X, в кодированном виде, которые бе­ рем из таблицы 8. Например,

Y = 303,1 + 10,6 (+1) + 6,9(-1) = 307.

Аналогично определяем все остальные Y\ (от ¥2 до Гз). Для

определения дисперсии неадекватности составляем расчетную таблицу 10.

53

Тогда по таблице П6 для а = 0,05; f 2 - 5 u f , = 2 находим таб­ личное значение критерия Фишера, равное 19,3. Таким образом, условие адекватности модели

рРйСЧ ^ рТА&)\

выполняется, и ею можно пользоваться для расчета значений твердости стареющего медного сплава данного состава в зави­ симости от условий термообработки. Для этого надо в уравне­ ние (5) подставить значение фактора в кодированном масшта­ бе. При этом следует помнить, что полученная модель описы­ вает процесс термообработки сплава только в изученных

пределах варьирования факторов. Например, необходимо опре­ делить, какую твердость приобретет сплав при следующих па­ раметрах термообработки:

Х1 = 810°С; Х2 —120 с; Х3 = 325 °С; Х4 = 50мин.

54

Определяем значения факторов по формуле (3). Коэффициенты Ьг и 64 статистически незначимы, поэтому

изменение факторов Х% и X* в пределах интервалов их варьиро­ вания можно не учитывать.

Подставляем:

Y = 303,1 +10,6 (+ 0,4) + 6,9(-0,5) = 310,8.

После учета Sy и округления Y = 310,8 ± 3,6, т.е. значение твердости должно попасть в пределы 307-314 НВ.

4.3.7. Интерпретация результатов

Всякая форма есть выражение какого-то внутреннего содержания.

Р. Роллан

Полученная адекватная модель позволяет рассчитать значения параметра оптимизации для любой точки изученного факторного пространства.

Кроме того, полученную зависимость можно представить графи­ чески в видевлияния отдельных факторов на параметр оптимиза­ ции. При этом обычно строят зависимости Y =f ( X ) при условии,

что все остальные факторы фиксируют на постоянном уровне. Предположим, получено уравнение регрессии

Представим графически зависимость Y =f ( X j) доя случая, когда все остальные факторы находятся на нижнем уровне. Тогда подстав­ ляем в данное уравнение значение фактора Х3 в кодированном виде (со знаком «-»). Затем в преобразованное (упрощенное) уравнение подставляем последовательно значения фактора X] на нижнем, ос­ новном и верхнем уровнях, т.е. - 1, 0, +1 и получаем искомый график.

55

Дпя того чтобы восхождение действительно шло по градиенту мо­ дели, значения факторов необходимо изменять пропорционально вели­ чинам соответствующих коэффициентов регрессии с учетом их знаков.

Последовательность реализации данного этапа следующая:

1)от кодированных значений факторов переходят к натуральным

ивычисляют значения произведений коэффициентов на соответст­

вующие интервалы варьирования ЪиАХи ;

2) для одного из факторов выбирают шаг для движения по гради­ енту и вычисляют шаги для остальных факторов, беря их пропор ­

ционально произведениям ЪиАХи ;

3)рассчитанные значения шагов последовательно прибавляют или вычитают (в зависимости от знака коэффициента регрессии) к ос ­ новному уровню и тем самым получают ряд мысленных опытов. Если в силу каких-либо ограничений (например, температура закал­ ки превышает солидус сплава) далее изменять некоторые факторы оказывается невозможным, их фиксируют на достигнутом уровне, про-должая движение по остальным факторам;

4)часть полученных опытов реализуют, и если результаты удов ­ летворяют исследователя или достигнут экстремум, то решение за­ дачи прекращают.

В противном случае ставят новый план, в качестве которого вы­ бирают лучший опыт реализованной задачи либо переходят к изуче­ нию области экстремума более сложными, чем линейная, моделями,

Пр и м е р. В решаемой в качестве примера задаче требова­ лось достичь твердости деталей 350 НВ. Ни в одном из опытов матрицы планирования этот уровень твердости достигнут не был. Поэтому производим крутое восхождение к области опти­ мума. Для этого выполняем перечень операций 1-3. Сводим по­ лученные расчеты в таблицу 11.

Так как факторы Ъ2 и Ь4 статистически незначимы, то надо решить, что делать с факторами Х2 и X*. Логика рассуждений здесь может быть различной, часто, например, в этом случае оставляют эти факторы на основном уровне. В нашем случае можно решить иначе. Сучетом того, что по абсолютному зна­ чению коэффициент Ь2 близок к нулю, оставляем значение фак­

тора Х2 на основном уровне. Коэффициент Ь4 близок к Abj, при-

чем имеет отрицательное значение, поэтому фактор Х4 остав­ ляем на нижнем уровне.

Таблица 11 - Крутое восхождение к области оптимума

Теперь проводится процедура выбора шага для движения по факторам Х\ и Х$. Допустим, шаг по температуре старения удобно выбрать равным 10 °С. Шаг по фактору Х\ должен быть

• ААГ3 на выбранный шаг. Он будет равен 345,0/10 = 34,5. Де­

лим 265,0 на 34,5 и получаем шаг для Ху равный +7,7. Для удоб­ ства округляем его до +8,0.

Рассчитываем условия проведения опытов крутого восхож­ дения, добавляя шаг к основному уровню фактора.

Реализацию опытов крутого восхождения имеет смысл начи­ нать с того опыта, в копюром мы хотя бы по одному фактору выходим за исследованную область факторного пространства. В данном случае это опыт 15. Опыты 12-14 входят в уже исследо­

58

ванное факторное пространство, и их результаты могут быть рассчитаны по имеющейся модели этого пространства.

Нам повезло! Модель оказалась адекватной. Так бывает не все­ гда. Рассмотрим возможные выходы из ситуации, когда модель не­ адекватна.

4.3.9. Принятие решений при неадекватной модели

Умный в гору не пойдет - умный гору обойдет.

Народный фольклор

Вариантов решений - множество. Поэтому остановимся на не­ скольких, которые наименее трудоемки и дешевы. Для этого прове­ дем хотя бы элементарный анализ того, что мы уже получили:

1) расчетный коэффициент Фишера значительно превышает кри­ тический. Это может быть потому, что большинство факторов не работает (коэффициенты bt статистически незначимы), т.е. модель

плохо описывает даже тот ограниченный участок поверхности от­ клика, который мы исследовали вначале.

Это может свидетельствовать о том, что:

-плохо выбрали нулевую точку (основной уровень);

-интервалы варьирования факторов слишком узки или широки;

-поверхность отклика не так проста, как казалось;

2)коэффициент Фишера близок к критическому.

Дела обстоят не так уж плохо. А теперь внимательно посмотрим на расчетные формулы, которые использовали, чтобы понять, что можно изменить, не производя дополнительных опытов или произ­ водя их минимум.

Изменим уровень значимости (а) - возьмем его более грубым (например 0,1 вместо 0,05). Изменяются критерий Стьюдента и со­ ответственно доверительный интервал коэффициентов регрессии Abt .

Возможно включение новых факторов, которые стали статистиче­ ски значимы. Если это сработало, то следует смириться с тем, что модель грубее будет предсказывать моделируемый процесс. Надо только учесть, что изменится и критерий Фишера.

59