Внутренняя энергия и теплоемкость кристалла. Закон Дебая

С учетом (4.12) внутренняя энергия кристаллического твердого тела равна

где U0 = 3N 83 εmax – энергия нулевых колебаний атомов в кристалле.

Возьмем один моль вещества, тогда N = NA , и производная от U по T даст молярную теплоемкость кристалла:

Величину θ, определяемую условием εmax = kθ, называют характеристической температурой Дебая. По определению

Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний.

Введем также переменнуюx = εkT . Тогда выражение для теплоемкости примет вид:

где xmax = εkTmax = Tθ .

Запишем также в этих обозначениях выражение для внутренней энергии кристалла

В общем случае вычисление интегралов в выражениях (4.16) и (4.17) представляет большую трудность, однако, существуют два предельных случая, где вычисление их возможно.

1) При Т << θ верхний предел интеграла в (4.17) будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности ( xmax ≈ ∞ ). Тогда этот интеграл будет представлять собой некоторое число, а именно

41

Внутренняя энергия U в этом случае будет равна:

а молярная теплоемкость окажется пропорциональной кубу температуры:

Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая. При достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо.

Тогда для внутренней энергии получается выражение:

фигурирующее в законе Дюлонга и Пти.

Рассмотренные случаи согласуются с графиком зависимости теплоемкости кристалла от температуры, показанным на рис. 4.1.

Формула Дебая (4.18) хорошо передает ход теплоемкости с температурой для тел с простыми кристаллическими решетками, т.е. для химических элементов и некоторых простых соединений.

42