(σr |
) |
= |
a |
= |
3 +ν |
ρϖ 2 (b2 |
+ a2 |
− a2b2 |
− a2 ) = 0, |
|
|
r |
|
8 |
|
|
|
a2 |
|
||
(σr |
) |
|
|
= |
3 +ν |
ρϖ 2 (b2 |
+ a2 |
− |
a2b2 |
−b2 ) = 0. |
= |
b |
8 |
b2 |
|||||||
|
r |
|
|
|
|
|
||||
Максимальное радиальное напряжение возникает в точке r = 
ab и
действует на внутренней границе, где оно равно
3+ν
σr = 8 ρϖ2 (b−a)2.
Максимальное окружное напряжение действует на внутренней границе, где оно равно
σθ = |
3 +ν |
ρϖ 2 (b2 + a |
2 + a2b2 |
− |
1+3ν |
a2 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
3 +ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
3 |
+ν |
ρϖ |
2 |
(2b |
2 |
+ a |
2 |
|
2 −2ν |
|
= |
3 |
+ν |
ρϖ |
2 |
(b |
2 |
+ a |
2 |
1−ν |
), |
||
|
8 |
|
|
|
|
|
) |
|
4 |
|
|
|
|
3 +ν |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 +ν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim(σθ )= |
3 + ν |
ρϖ2b2 . |
a→0 |
4 |
|
Таким образом, когда радиус отверстия, а стремится к нулю, максимальное окружное напряжение стремится к значению, вдвое большему того, которое действует в центре сплошного диска и определяется формулой (6.4.1).
Таким образом, введение малого кругового отверстия в центре сплошного вращающегося диска приводит к концентрации напряжений: удваивает максимальное напряжение.
6.5. Круглое отверстие. Задача Кирша
Рассмотрим пластинку, подверженную всестороннему или одноосному растяжению величины S в направлении оси Y. Если в пластине проделано
42
маленькое круговое отверстие, то распределение напряжений вблизи отверстия изменится, однако, в соответствии с принципом Сен-Венана, можно сделать вывод, что эти изменением можно пренебречь на расстояниях, достаточно больших по сравнению с радиусом отверстия r = a.
6.5.1. Всестороннее растяжение
Требуется найти решение, бигармонического уравнения, удовлетворяющего граничным условиям на бесконечности:
σr |
→σ, |
при r → ∞ , |
||
τ |
rθ |
= 0, |
||
|
|
|
||
и на границе отверстия:
σrr = 0,
τrθ = 0.
Нетрудно проверить, что функция
F(r) = σ4 (r2 −2a2 ln(r))
удовлетворяет бигармоническому уравнению. Соответствующие компоненты напряжений определяются формулами:
|
|
|
1 |
∂F |
|
1 |
|
∂ |
2 |
F |
|
|
a |
2 |
|
|||||
σ |
|
= |
+ |
|
|
|
− |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||
rr |
r |
∂r |
r |
|
∂θ |
|
= σ 1 |
r |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∂ |
2 |
F |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
||||
σ |
|
= |
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
θθ |
∂r |
2 |
= σ 1 |
r |
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
τ |
|
= − |
∂ 1 |
∂F |
= |
1 ∂F |
+ |
1 ∂2 F |
= 0. |
|||||
rθ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r2 ∂θ |
r ∂r∂θ |
|||||||||||
|
|
∂r r |
∂θ |
|
|
|
||||||||
43
Кроме того, при r →∞ , выполняются граничные условия:
σrr →σ,
τrθ → 0.
На границе отверстия выполняются граничные условия:
σrr = 0,
τrθ = 0.
Окружные напряжения можно определить по формуле:
σθθ = 2σ.
Таким образом, круглое отверстие в условиях всестороннего растяжения является причиной двукратной концентрации напряжений.
6.5.2.Одноосное растяжение
Вслучае одноосного растяжения вдоль оси y соответствующие компоненты напряжений в полярной системе координат определяются формулами:
|
|
|
|
1 ∂F 1 ∂2 F σ |
|
|
|
|
a2 |
|
|
σ |
|
|
a2 |
a4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
σ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − |
4 |
2 + 3 |
4 )cos(2θ), |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
rr |
r |
|
∂r |
|
r |
|
∂θ |
2 |
1 |
r |
− |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
∂2 F |
|
|
|
σ |
|
|
a2 |
|
σ |
|
|
|
|
|
|
a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
σ |
|
= |
|
|
|
2 |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
(1 |
+ 3 |
4 )cos(2θ), |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
θθ |
∂r |
|
2 |
1 |
r |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
τ |
|
|
= − |
|
∂ |
1 |
∂F |
= |
|
1 ∂F |
+ |
1 ∂2 F |
= |
σ |
(1 |
+ 2 |
a2 |
−3 |
a4 |
)sin(2θ). |
||||||||||||||||||||||||
rθ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂r |
|
|
|
|
∂θ |
|
r 2 ∂θ |
r ∂r∂θ |
2 |
r2 |
r4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
На границе отверстия выполняются граничные условия:
σrr = 0,
τrθ = 0.
44
Причем окружные напряжения можно определить по формуле:
σθθ = σ + 2σ cos( 2θ).
Не трудно видеть, что круглое отверстие, в условиях одноосного растяжения, является причиной трехкратной концентрации напряжений.
Упражнение 1. Найти максимальное и минимально окружное напряжение в случае одноосного растяженияσ x вдоль оси ОХ на бесконечности.
Упражнение 2. Найти максимальное окружное напряжение в случае одноосного растяжения вдоль оси OY с напряжением σ y на бесконечности.
Упражнение 3. Найти максимальное окружное напряжение в случае двухосного растяжения σ x , σ y вдоль оси ОХ и OY.
Упражнение 4. Пусть напряжение, в случае одноосного растяжения вдоль оси ОХ, на бесконечности равно σ x . Какое напряжение вдоль оси OY следует приложить, чтобы максимальное окружное напряжение было наименьшим?
45