τxy = 0,

σy = 0.

Тогда нормальные напряжения на площадке с нормалью N найдутся по формуле: σ N = σ x cos 2 α , а касательные напряжения: τN = σx sin 2α .

2.3. Деформированное состояние в точке

Происходящие при нагружении тела перемещения его точек можно задать при помощи совокупности трех функций: u(x,y,z), v(x,y,z) и w(x,y,z), определяющих перемещения вдоль координатных осей x, y и z, соответственно. Можно показать, что деформации (линейные и угловые) в случае малых перемещений, выражаются через функции перемещений:

εx = ∂∂ux ;

εy = ∂∂vy ;

εz = ∂∂wz ;

где εi − линейная деформация вдоль i−той оси координат; εij − половина угловой деформация в плоскости i0j;

(i, j = x, y, z).

Правило знаков принимается следующее: для линейных деформаций − растяжению соответствует положительная деформация; для угловых деформаций положительное ее значение соответствует уменьшению прямого угла между

17

положительными направлениями осей. Матрица εij называется матрицей тензора деформаций.

2.4. Энергия деформации упругого тела

Важное значение в механике твердого тела имеет понятие об энергии деформации. Полная энергия Э состоит из потенциальной энергии U деформации тела (потенциала внутренних сил) и энергии (потенциала) П внешних сил:

Э = U + П.

Условно будем считать, что в начальном, недеформированном состоянии Э = 0, рис. 2.3 (а).

Рис. 2.3. Деформация тела

Следовательно, полнаяэнергия Э представляет собой изменение энергии внешних и внутренних сил при переходе тела из начального – (а) в деформированное состояние – (б). Энергия любой системы сил измеряется работой, которую могут совершить эти силы при возвращении тела из конечного

18

в начальное, нулевое состояние. Составим вначале выражение для потенциала внутренних сил U. Поскольку деформации в разных точках тела разные, то и энергия деформации в объеме тела также распределена неравномерно. Введем

UV , где V –

элементарный объем. В случае упругого материала, и линейного напряженного состояния (рис. 2.3 (в)) dU выражается площадью диаграммы деформирования

(рис. 2.3 (г)) dU =0,5σxεx. Обобщая эту формулу на случай объемного напряженного состояния, получим:

19