8.3. Плоская задача

Формула Гурса позволяет выразить любую бигармоническую функцию ϕчерез две аналитические функции:

ϕ =ψ1 + xψ 2 + yψ 3 = Re( zϕ( z) + χ(z)).

Из различных решений этого дифференциального уравнения в частных производных мы можем получить различные решения двумерных задач при различных граничных условиях. Из представления для напряжений следуют формулы Колосова:

Пример. Задача о трещине в бесконечной полуплоскости (рис. 8.1). Рассмотрим бесконечную пластину с трещиной 2a при одноосном

растяжении.

56

Граничные условия имеют вид:

на поверхности разреза x ≤ a , y = 0 :

σyy = 0 и τ xy = 0 ,

кроме того, на бесконечности:

σ yy → σ , τ xy → 0 , при y → ∞ .

Выбирая

Можно показать, что

Φ′( z ) → σ4 , при z → ∞ ,

Ψ′( z ) → σ2 , при z → ∞.

Тогда по формулам Колосова, при z → ∞ , получим

σ xx + σ yy = σ ,

σ xx − σ yy + 2iτ xy = −σ .

Откуда следует, что граничные условия на бесконечности выполняются.

57