8. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТФКП
8.1. Основные сведения по ТФКП
Рассмотренные плоские задачи по определению поля напряжений в окрестности кончика трещины, как и подавляющее большинство других плоских задач на концентрацию напряжений, проще решать с помощью функций комплексного переменного (если аналитическое решение вообще возможно, в противном случае необходимо обращаться к приближенным численным методам; для таких задач особенно эффективен метод конечных элементов).
Напомним основные сведения по теории функций комплексного переменного. Комплексная переменная Z состоит из вещественной Re и мнимой Im частей:
Z = x + yi = Re Z + ImZ.
Её можно также представить в полярных координатах:
Z = x + iy = r(cos Θ + i sin Θ)= r eiϑ .
Функция комплексного переменного может быть разделена на вещественную и мнимую части:
f (z)= u(x, y)+ i v(x, y),
где u(x, y) и v(x, y) – функции x и y . Функция называется аналитической в некоторой точке, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Можно показать, что вещественная и мнимая части любой аналитической функции комплексной переменной удовлетворяют уравнению Лапласа, т. е. они являются гармоническими функциями:
52
∂2u |
+ |
∂2u |
= 0, |
∂x2 |
|
∂y2 |
|
∂2 v |
+ |
∂2 v |
= 0, |
∂x2 |
|
∂y2 |
|
8.2. Формулы для комплексных потенциалов в случае антиплоской деформации
Введем функцию
ϕ(x, y) =Gw(x, y),
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
τ xz |
= |
|
∂ ϕ |
, |
|||
∂ x |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
τ yz |
= |
|
∂ ϕ |
, |
|||
|
∂ y |
||||||
|
|
|
|
|
|||
∂2ϕ |
+ |
∂2ϕ |
= 0. |
||||
∂x2 |
∂y 2 |
||||||
|
|
|
|||||
Функция ϕ(x, y) удовлетворяет гармоническому уравнению, следовательно,
может быть представлена, как действительная часть комплексной аналитической
1 _______
функции ϕ(x, y) = Re(Φ(z)) = 2 (Φ(z) + Φ(z)) .
Тогда
τxz = ∂ϕ∂(xz) = 12 (Ф′(z) dxdz + Ф′(z) dxdz ) = 12 (Ф′(z) + Ф′(z)),
τyz = ∂ϕ∂(yz) = 12 (Ф′(z) dydz + Ф′(z) dydz ) = 12 (iФ′(z) - iФ′(z)),
τxz − iτуz = 12 ((Ф′(z) + Ф′(z) - i(iФ′(z) - iФ′(z)) = Φ′(z).
53
Формулы для представления напряжений и перемещений для антиплоской задачи через комплексный потенциал:
τ xz − iτ yz = Φ′(z),
w(x, y) = |
1 |
Ф + |
|
(z))(z). |
|
Ф |
|||||
2G |
|||||
|
|
|
|
Рассмотрим теперь граничные условия. Напомним, что согласно (5.11):
X =σxl +τxy m +τxz n ≡ 0,
Y =τxyl +σ y m +τ yz n ≡ 0,
Z =τxzl +τ yz m +σz n =τxzl +τ yz m.
Сформулируем теперь задачу.
Определить функцию Φ ′( z ) аналитическую в области D, ограниченной контуром Г, при этом должны выполнятся следующие граничные условия:
|
|
|
|
|
|
|
|
τxzl +τyz m = Z(x, y) |
(x,y)Γ, |
|
|
где τ xz − iτ уz |
= Ф′(z), |
а Z(x,y) – заданная функция. |
|
||||||||
|
Пример. Трещина, параллельная оси ОХ, в бесконечной плоскости. На |
||||||||||
бесконечности, |
параллельно оси OY, действуют напряжения |
τzy =τ . Берега |
|||||||||
трещины свободны от усилий. |
|
|
|
||||||||
|
Постановка задачи. Требуется найти функцию аналитическую в области, |
||||||||||
представляющую собой плоскость с разрезом. |
|
||||||||||
|
При этом должны выполняться следующие граничные условия: |
||||||||||
на |
верхнем |
и |
нижнем берегу |
разреза l=0 и |
m=1, Z(x,y)=0, |
||||||
y |
= 0 , |
|
x |
|
|
≤ |
a , должны выполняться граничные условия: |
|
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τyz |
= 0. |
|
|
54
Кроме того, на бесконечности:
τ yz → τ , при y → ∞ ,
В качестве решения задачи возьмем аналитическую функциюΦ(z) в виде:
Φ (z) |
= −iτ |
z 2 |
− a 2 . |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
τxz − iτ уz |
= Φ ′(z) |
= |
− iτz |
|
, |
|
z 2 -a 2 |
||||||
|
|
|
|
|||
Φ ′(z) → -i τ, при z |
→ ∞ . |
|
||||
Теперь нетрудно проверить выполнение граничных условий на бесконечности.
Кроме того
τxz −iτyz = −zi2τ-az2 .
На границе разреза y=0 выполняются граничные условия:
τ yz = 0 .
Наибольшее главное напряжение в точке можно представить в виде:
|
|
− |
τ |
|
τ x2 + y2 |
|
||
σ1 |
= τzx2 +τyz2 = |
|
i z |
|
= |
|
. |
|
z2 - a2 |
4 ((x - a)2 + y2 )((x + a)2 + y2 ) |
|||||||
|
|
|
(8.2.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
55