Основы метрологии и контроль качества в строительстве

На практике определение составляющих погрешности искомой величины удобнее производить, пользуясь следующими формулами:

3. Объединение (суммирование) составляющих погрешности по формуле

С учетом (3.43)–(3.45) можно записать

Величины Fx , Fh , ..., Fw можно рассматривать как весовые

коэффициенты для каждой из погрешностей измерений аргументов или как коэффициенты влияния аргументов на результат y. Значение суммарной относительной погрешности δy косвенного измерения выражается зависимостью

Следует иметь в виду, что составляющие погрешности объединяются геометрическим суммированием (формула (3.49)) только в том случае, если аргументы x, h, …, w не коррелированны, то есть являются статистически независимыми.

Корреляция и регрессия (см. тему 8). В отличие от функциональной зависимости двух величин X и Y, когда каждому значению x однозначно соответствует определенное значение y, при их статисти-

71

ческой (вероятностной) зависимости, каждой паре значений xi и yi соответствует определенная вероятность. Степень зависимости таких величин называют корреляцией. Форму корреляционной связи часто описывают функцией (или кривой) регрессии, которая в аналитическом представлении может быть линейной, квадратичной, экспоненциальной и т. д. Линейную регрессионную зависимость записывают в виде

где a0 и a1 – коэффициенты.

Кривую, а в рассмотренном примере прямую, регрессии строят таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений значений yi от y(xi) была бы минимальной, – так называемый метод наименьших квадратов (МНК).

На рис. 3.8 в качестве примера приведены данные долговременных наблюдений угла наклона монолитной колонны несущего каркаса высотного здания и окружающей температуры.

Рис. 3.8. Совместные временные диаграммы угловых смещений монолитной колонны высотного здания и температуры

72

Отчетливо видно, что положение на оси времени локальных максимумов и минимумов для пар отсчетов приблизительно совпадает, то есть в поведении рассматриваемых параметров присутствует заметный синхронизм. Эти признаки указывают на коррелированность результатов измерений углов наклона колонн и температуры. Если каждую пару коррелированных величин отобразить графически в координатах рассматриваемых величин, то все точки данных будут группироваться вокругнекоторойпрямой– линиирегрессии (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Диаграмма рассеяния и регрессионная зависимость угла наклона колонны от температуры

(коэффициент корреляции угла и температуры r = 0,93)

Степень «жесткости» корреляционной связи двух величин оценивают корреляционным отношением. Частным случаем корреляционного отношения, когда связь между случайными величинами линейна, является коэффициент корреляции r пар величин. В общем случае для величин q и z коэффициент корреляции r(q, z) рассчитывается для согласованных пар результатов (qi, zi) по формуле

где n – количество согласованных пар результатов измерений.

73

Коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1. При «жесткой» функциональной связи величин коэффициент корреляции равен единице (минус единице), при отсутствии статистической зависимости величин коэффициент равен нулю26.

В зависимости от значения коэффициента корреляции выделяют сильнокоррелированные величины, к ним практически следует отнести те, для которых модуль коэффициента корреляции │r(q, z)│ > 0,6–0,7, и слабокоррелированные– при│r(q, z)│ < 0,6–0,7.

При обработке данных косвенных измерений процедуру учета корреляции аргументов часто упрощают, выделяя группу слабокоррелированных и группу сильнокоррелированных погрешностей. Для группы слабокоррелированных погрешностей (условно принимая r(q, z) = 0) составляющие погрешности суммируют по правилу геометрического сложения, используя формулу (3.49). Для сильнокоррелированных погрешностей, считая │r(q, z)│ = 1, производят алгебраическое суммирование составляющих погрешностей. Окончательное значение результирующей погрешности вычисляют как геометрическую сумму сильно- и слабокоррелированных составляющих погрешности.

26 При расчете погрешностей взаимная корреляция величин учитывается введением дополнительных слагаемых в формулы (3.49) и (3.51). Рассмотрим формулу (2.12). Очевидно, что вариация длины арматурного образца будет приводить и к соответствующей вариации его массы. Если это не учитывать, то расчет погрешности определения диаметра будет давать завышенные значения. Для двух параметров – массы m и длины l – формула расчета погрешности диаметра стержня будет иметь вид

d dm2 dl2 2rm,l dm dl ,

где δdm и δdl – составляющие относительной погрешности диаметра, обусловленные погрешностями определения массы и длины;

rm,l – коэффициенткорреляциимассыидлины испытательныхобразцов. Например, если составляющие относительной погрешности диаметра будут равны 1 %, а коэффициент их корреляции будет близок к единице, то относительная погрешность определения диаметра с учетом корреляции

массы и длины будет близка к 0 %:

d 0,5 0,01 2 0,5 0,01 2 2 1 0,5 0,01 0,5 0,01 0 %.

74

4. Результат записывается по форме

3.6.Правила округления результата измерения

1.Округление производится только один раз при получении окончательного результата27.

2.Округление начинают с округления погрешности результата измерения.

3.Погрешность результата измерения округляют до двух значащих цифр28, если первая значащая цифра округляемой погрешности не более трех.

Погрешность результата измерения округляют до одной знача-

щей цифры, если первая значащая цифра округляемой погрешности больше трех29; при этом иногда оставляют второй цифрой 0 или 5.

27 Универсального правила округления промежуточных результатов вычислений не существует. Точнее, на основе подробного анализа расчетной формулы и величин аргументов можно определить допустимую степень округления промежуточных результатов, но этот анализ может оказаться значительно более затратным, чем расчет с максимально возможной точностью представления промежуточных результатов. Особенно «опасны» формулы, в которых присутствуют операции вычитания близких по значению величин. Например, X = (A + B)/(A – B), где A и B – промежуточные результаты вычислений: A = 10,383; B = 10,347.

Для «точных» значений A и B X = 20,730/0,036 = 575,8. Если A и B округлить до трех значащих цифр, то получим A = 10,4; B = 10,3, X = 20,7/0,1 = 207. Второй результат получился в 2,78 раза меньше, чем первый, то есть погрешность составила почти 180 %! Промежуточные результаты вычислений всегда желательно сохранять с максимально возможной точностью, что при использовании компьютера в инженерных расчетах не представляется обременительным.

28Все цифры десятичной записи числа, начиная с первой ненулевой слева, называются значащими цифрами этого числа. Нули в конце числа всегда считаются значащими, в противном случае их не пишут. Так, число 0,080530 содержит пять значащих цифр: 8, 0, 5, 3, 0.

29Указанный уровень округления связан в значительной степени с тем, что полученное при измерениях значение погрешности само имеет погрешность. В основе расчетного значения случайной составляющей погрешности

75

4.Оценка результата измерения округляется так, чтобы она заканчивалась цифрой того же разряда, что и значение погрешности. Если оценка результата заканчивается нулями, то нули отбрасываются только до того разряда, который соответствует младшему разряду в значении погрешности.

5.Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше пяти, то остающиеся цифры не меняются. Если эта цифра равна или больше пяти, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.

Например, результат определения высоты здания с помощью

теодолита H = 35,2576 м при погрешности H = 0,0232 м. После округления H = 0,023 м, H = 35,258 м; результат измерения можно записать в виде H = (35,258 0,023) м. В случае если погрешностьH = 0,461 м, то после округления результат измерений следовало бы записать в виде H = (35,3 0,5) м.

6. Если при округлении младшая из остающихся цифр равна нулю, то этот ноль является значащей цифрой и в записи результата

должен оставаться. Например, X = 7,9644, X = 0,4733. после округления результат можем записать в виде X = 8,0 0,5. Запись в виде

X = 8 0,5 будет неправильной.

7. Если результат записывается в экспоненциальной форме, то множитель порядка должен быть одинаковым для точечной оценки и для погрешности и выноситься за скобки. Например, запись

X = 27190334 5,1214·103 в исправленном виде будет выглядеть следующим образом: X = (27190 5)·103.

8. Цифра старшего разряда оценки результата измерения должна отличаться от нуля, если она не единственная.

определения величины X используется среднее квадратическое отклонение

sx, среднее квадратическое отклонение которого s при n единичных отсчетах величины x может быть найдено по формуле

При n = 25 величина s составит 1/7 от sx, при n = 50 величина s составит 1/10 от sx. Поэтому уже вторая значащая цифра в десятичном представлении погрешности является сомнительной.

76

В табл. 3.6 приведены примеры исправления записей результатов измерений.

Приведенные правила округления ориентированы на рекомендации ГОСТ Р 8.736–2011 [4]. В литературе можно встретить несколько отличающиеся правила округления погрешностей, в частности, иногда рекомендуется округлять их всегда в большую сторону, ограничиваясь при этом двумя значащими цифрами.

4. КОНЦЕПЦИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Важной составляющей процесса экономической и научной интеграции международного сообщества является гармонизация стандартов и других нормативных документов, в том числе в области метрологии, с целью устранения барьеров в торговом, промышленном, научном и культурном сотрудничестве.

В 1993 году по инициативе семи международных организаций:

–Международного бюро мер и весов (BIPM);

–Международной электрической комиссии (IEC);

–Международной организации по стандартизации (ISO);

–Международной организации законодательной метрологии

(OIML);

–Международного союза по чистой и прикладной химии

(IUPAC);

–Международного союза по чистой и прикладной физике

(IUPAP);

–Международной федерации клинической химии (IFCC)

77

была предложена новая концепция для показателя точности результатов измерений, которую положили в основу разработанного документа «Руководство по выражению неопределенности измерения [3, 28, 43]; в дальнейшем указанный документ будем обозначать как

Руководство.

Главной целью документа являлось предоставление универсального метода для выражения и оценивания неопределенности результата измерения, применимого ко всем видам измерений и всем типам данных, используемых при измерениях.

После издания в 1993 г. Руководство постепенно приобрело статус международного регламента выражения качества измерений, который привнес согласованность в научные и технологические измерения и всемирное единство в оценке и выражении неопределенности в измерениях. В настоящее время происходит внедрение положений Руководства в отечественные нормативные документы30.

Одной из причин, стимулировавших развитие нового подхода, вероятно можно рассматривать существующее несоответствие принятого понятия погрешности и установившегося порядка ее оценки для результатов измерений. Напомним, погрешность измерений – это разница между результатом измерения и истинным (действительным) значением величины. Заметим, что при измерениях действительное значение величины не известно31. А если бы было известно, то зачем производить измерения, если мы уже имеем «идеальный» результат? Кроме того, результат измерений может оказаться (случайно) очень близким к действительному значению измеряемой

30В Республике Беларусь концепция «неопределенности» измерений входит в практику строительной сферы, главным образом, через внедрение стандартов Евросоюза.

31Термины «истинное (действительное) значение» и «погрешность»

вклассическом понимании более уместны для процедуры поверки средств измерений. В этом случае имеет место сопоставление «действительного» значения величины эталонного образца с результатами измерений этой величины поверяемым средством измерений. Поэтому заменять понятие «погрешность средства измерения» на «неопределенность средства измерения», по-видимому, не следует. В практической работе целесообразно использовать два показателя точности: неопределенность результатов измерений и погрешность средств измерений.

78

величины, то есть иметь фактически очень малую погрешность. И, в то же время, доверия этот результат может не вызывать.

Получается, что практически оценить погрешность измерений в соответствии с приведенным выше определением невозможно: определение погрешности существует само по себе, а найденные погрешности – сами по себе. Возникла необходимость устранения этого противоречия – либо изменить определение погрешности, либо поменять порядок ее расчета.

Руководством введено в обращение понятие «неопределенности» как характеристики качества измерений. Концепция неопределенности заключается в следующем. Базовые понятия классической теории точности – истинное значение, действительное значение и погрешность измерения – не вводятся (при этом подразумевается, что истинное (действительное) значение величины существует, поскольку признается, что целью измерения является нахождение этого значения). Неопределенность измерения понимается как сомнение, неполное знание значения измеряемой величины после проведения измерений. Этот же термин относится и к количественным характеристикам этого неполного знания. Формальное определение термина и понятия «неопределенность измерения», разработанное для использования в Руководстве, следующее: неопределенность (измерения) есть параметр, связанный с результатом измерения, который характеризует дисперсию значений, которые могли быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Примечание. Параметром может быть, например, стандартное отклонение (или данное кратное ему) или полуширина интервала, имеющего установленный уровень доверия.

Далее это понятие уточняется: неопределенность – параметр, связанный с результатом измерения и характеризующий рассеяние значений, которые могли бы быть приписаны измеряемой величине. В математической статистике известны два вида параметров, характеризующих рассеяние некоррелированных случайных величин: СКО и доверительный интервал. Они и принимаются в качестве характеристик неопределенности с наименованиями «стандартная неопределенность» и «расширенная неопределенность». При этом, как и следовало ожидать, оказалось, что стандартная неопределенность является полным аналогом СКО погрешности измерений, а расширенная неопределенность – полным аналогом доверительных

79

границ погрешности измерений. И в этом указанная концепция сомкнулась с традиционной постановкой задачи оценивания точности измерений32.

Неопределенностьизмерения может быть следствием двух причин:

1)рассеяния результата измерения при многократном повторении измерительной процедуры, что является объективным законом природы;

2)отсутствия необходимой информации, то есть недостаточности каких-то сведений, знаний, что характерно не только для измерений.

Аналогично погрешностям, неопределенности измерений могут быть классифицированы по различным признакам.

1. По способу выражения их подразделяют на абсолютные и относительные. Абсолютная неопределенность измерения – неопределенность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Относительная неопределенность результата измерений – отношение абсолютной неопределенности к результату измерений.

2. По источнику возникновения неопределенности измерений, подобно погрешностям, можно разделять на инструментальные, методические и субъективные.

3. По характеру проявления погрешности разделяют на систематические, случайные и грубые. В Руководстве отсутствует классификация неопределенностей по этому признаку. В самом начале документа указано, что перед статистической обработкой рядов измерений все известные систематические погрешности должны быть

из них исключены. Поэтому деление неопределенностей на систематические и случайные не вводилось33.

32Концепцию «неопределенности» не следует противопоставлять концепции «классической теории погрешностей» уже хотя бы потому, что

вобеих используется один и тот же математический аппарат и конечный результат – «оценки качества измерений» – может быть представлен в одной и той же форме. Сегодня во многих странах в качестве характеристики качества результата измерений используется только понятие «неопределенность». В Республике Беларусь, России и ряде других стран СНГ представление результата пока возможно как в терминах «погрешность», так и в терминах «неопределенность».

33В некотором строгом смысле, систематическую погрешность вообще нельзя считать погрешностью, поскольку она известна (или может быть определена), а значит может быть устранена поправкой. Невыявленная

80