Основы метрологии и контроль качества в строительстве

сможем только со значительной степенью неопределенности. Теория вероятностей и математическая статистика предлагают вероятностный подход к определению погрешностей измерений. В инженерной практике случайную составляющую погрешности и общую погрешность измерений выражают доверительным интервалом (см. рис. 3.3). Доверительный интервал – интервал значений ФВ, который с выбранной доверительной вероятностью Рд накрывает истинное значение измеряемой величины.

Рис. 3.2. Схема влияния различных типов погрешностей измерений на результат измерений и оценку его неопределенности

51

Доверительный интервал

Рис. 3.3. Погрешности и доверительный интервал величины:

x – точечная оценка результата измерения; xи – измеренное значение величины X; xист – истинное (действительное) значение величины X; x – абсолютная погрешность измерения величины Х; с – систематическая погрешность измерения величины Х; д1, д2 – левая и правая составляющие доверительного интервала

Законы распределения вероятностей случайной величины. Нормальный закон распределения

Как уже указывалось, случайные погрешности проявляют себя при многократных измерениях. Для описания случайной величины, а таковой будет являться случайная погрешность, в теории вероятностей используется закон распределения плотностей вероятности случайной величины, в соответствии с которым случайная величина характеризуется несколькими детерминированными параметрами. Получить закон распределения плотностей вероятности случайной величины можно только на основе генеральной совокупности случайной величины20. Приблизительное представление о законе распределения можно получить, используя часть генеральной совокупности – выборку, в которой проявляются закономерности, присущие генеральной совокупности.

Во многих практических случаях закон распределения плотностей вероятности случайной величины принимается априори (без проверки) из перечня некоторых наиболее распространенных. К таким относятся: нормальный закон распределения (Гаусса), равномерный и треугольный законы распределения, законы распределения Пуас-

20 Генеральная совокупность – совокупность всех значений случайной величины. В большинстве практических случаев ее получить невозможно, так как она будет представлять собой бесконечное множество значений.

52

сона, Пирсона, Бернулли, экспоненциальный и некоторые другие законы распределения21.

Для наглядного отображения поведения исследуемой случайной величины, представленной выборкой своих значений, строят график – гистограмму или полигон частот, по которым можно ориентировочно определить эмпирический закон распределения и его основные параметры.

Рассмотрим пример построения гистограммы на примере обработки данных испытаний на разрыв партии образцов стальной арматуры. Испытано на разрыв 60 образцов арматурной стали; для

каждого образца определен условный предел текучести Ri = 0,2. Все значения полученного вариационного ряда попали в интервал от Rmin = 1040 МПа до Rmax = 1250 МПа.

1.Производится ранжирование вариационного ряда размером n по возрастанию – все результаты располагаются последовательно по мере их возрастания; первым будет значение 1040 МПа, последним – 1250 МПа.

2.Определяется количество интервалов гистограммы (карманов) k. Существуют разные рекомендации для определения k. Некоторые

из них носят эвристический характер, иные имеют теоретическое обоснование. Известно эмпирическоеправило (формула) Стерджеса

21 Существуют статистические способы проверки соответствия выбранного эмпирического закона распределения и имеющихся экспериментальных данных измерений, в частности, по критерию Пирсона [4] и критерию Колмогорова.

53

4. Рассчитывается заполнение интервалов (карманов) nj, подсчитывается количество значений вариационного ряда, попавших в соответствующий интервал. Значения, оказавшиеся на границе смежных интервалов, включают в левый интервал.

5. Рассчитывается относительная частота значений k и плотность распределения событий Pk:

В табл. 3.2 приведены данные примера расчетов параметров гистограммы, на рис. 3.4 по этим данным построена гистограмма. Высота прямоугольников гистограммы принимают равной плотности распределения событий (или относительной частоте), ширина основания – размеру интервала. Площадь Ф фигуры, образованной гистограммой, равна сумме площадей каждого прямоугольника:

54

Рис. 3.4. Гистограмма распределения значений условного предела текучести стали (штриховой линией показан график «эквивалентного» нормального

закона распределения)

Если увеличивать размер n вариационного ряда, то размер карманов h гистограммы будет стремиться к нулю, а количество карманов k – к бесконечности. «Ступени» гистограммы будут стано-

55

виться все более мелкими, и в пределе график гистограммы примет вид гладкой кривой, отображающей дифференциальный закон распределения f(x) плотности вероятности анализируемой величины X. Площадь фигуры Ф, ограничиваемой сверху указанной кривой, а снизу осью абсцисс, рассчитываемая по формуле

будет равна вероятности появления любого значения величины, то есть – единице.

Интегрирование функции распределения в пределах аргумента от x1 до x2 дает значения вероятности попадания величины x в указанный интервал, значение доверительной вероятности для доверительного интервала x1 … x2:

Если какую-либо случайную величину x можно рассматривать как сумму большого числа других случайных величин, каждая из которых вносит в сумму небольшой вклад, то независимо от того, какому закону распределения подчиняются отдельные слагаемые xi , их сумма будет иметь распределение, близкое к нормальному, описываемому формулой Гаусса22:

Как видно из формулы (3.13), нормальный закон распределения плотности вероятности случайной величины имеет два детерминированных параметра: xm – математическое ожидание величины X,

и – среднее квадратическое отклонение (СКО) величины X. График функции нормального распределения (рис. 3.5) симметричен относительно оси, проходящей через ее максимум, для аргумента

22 Приведенная формулировка получила название центральной предельной теоремы.

56

x = xm. Точкам перегиба скатов функции соответствуют значения аргумента <xm – > и <xm + >.

Рис. 3.5. Характерный вид графиков функций дифференциальной формы нормального закона распределения плотности вероятности величины x

В метрологической практике применяется функция F(x) интегральной формы нормального закона распределения, описываемая соотношением

Характерный вид графиков функции интегральной формы нормального закона распределения плотности вероятности приведен на рис. 3.6.

Функцию закона распределения плотности вероятности удобнее анализировать в безразмерном виде. Для этого все размерные величи-

ны, входящие в формулу (3.12), выразим в единицах , то есть

57

Нормальный закон распределения приобретает вид

Рис. 3.6. Графики функций интегральной формы нормального закона распределения плотности вероятности величины x

Рассмотрим два важных для практики измерений случая определения доверительной вероятности: для симметричного доверительного интервала (рис. 3.7, а) и для несимметричного (одностороннего) доверительного интервала (рис. 3.7, б).

В первом случае tд2 = –tд1. Доверительная вероятность Pд для данного доверительного интервала будет отображаться на рис. 3.7, а площадью, ограниченной кривой функции φ(t), осью аргумента t и границами доверительного интервала. Симметрия графика функции φ(t) и границ доверительного интервала делает справедливыми соотношения

58

где Ф(tд) – интеграл вероятностей; tд – коэффициент доверия.

Рис. 3.7. Графическое представление симметричного (а) и несимметричного (б) доверительных интервалов

Левая и правая части д доверительного интервала в единицах величины x определяются по формуле

Интеграл вероятностей Ф(t) не может быть выражен через элементарные функции. Его значения, полученные численными методами, приводятся в математических справочниках. Некоторые значения Ф(t), часто используемые на практике, приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Значения интеграла вероятности и доверительной вероятности для нормального закона распределения

59

Из табл. 3.3 следует, что для доверительной вероятности Pд = 0,95, которая часто принимается в практике инженерных измерений, ширина доверительного интервала составляет д = tд = 1,96 .

Для несимметричного доверительного интервала tд2 ≠ –tд1. Характерным для практики оценки свойств строительных материалов является случай, когда правая граница доверительного интервала отсутствует, то есть tд2 = ∞ (рис. 3.7, б). В этом случае доверительную вероятность можно представить в виде суммы двух составляющих, одна – доверительная вероятность для интервала xд–0, вторая – для интервала 0–∞:

Доверительная вероятность для интервала xд–0 составляет ½ доверительной вероятности Pд для симметричного доверительного интервала xд–xд* (см. рис. 3.7, б).

Пример. Определить левую границу несимметричного доверительного интервала для доверительной вероятности Pд = 0,95. Из формулы (3.19) следует

Таким образом, левая граница доверительного интервала tд будет совпадать с левой границей симметричного интервала для довери-

тельной вероятности Pд = 2·0,45 = 0,90. С учетом данных табл. 3.3 и формулы (3.18) для абсолютных значений величины x получим

Границы доверительных интервалов иногда называют квантильными оценками величины. Квантиль – значение, которое величина x не превышает с заданной вероятностью. Например, 2,5 %-й квантиль совпадает с левой границей, а 97,5 %-й квантиль – с правой границей симметричного доверительного интервала для Pд = 0,95. С левой границей несимметричного (одностороннего) интервала

60