Основы метрологии и контроль качества в строительстве

На рис. 7.30 приведена радарограмма сканирования участка взлет- но-посадочной полосы и ее расшифровка.

Рис. 7.30. Радарограмма георадара «ОКО» с антенным блоком АБ-1700 (вверху); расшифровка радарограммы (внизу)

Использование георадара «ОКО» для контроля монолитного бетона эффективно для крупноразмерных изделий. Лучшей разрешающей способностью обладает радиолокатор «Раскан» (табл. 7.2

и рис. 7.31).

201

Таблица 7.2

Технические параметры радиолокатора «Раскан-2»

В ЭВМ типа IBM PC информация вводится через специальный интерфейс в автоматическом режиме, через порт принтера. Прибор серии «РАСКАН» обеспечивает обнаружение протяженного объекта диаметром 0,05 мм и длиной 20 мм в толще бетона на глубине 50 мм, формируя подповерхностное изображение исследуемой области на экране монитора компьютера.

Рис. 7.31. Антенный блок (датчик) прибора «Раскан-3» (по материалам сайта http://www.rslab.ru)

Для обнаружения дефектов в строительных конструкциях более важным параметром радара, чем максимальная глубина зондирования, становится минимальная глубина обнаружения дефекта. Снижение этой величины до значений 2…5 см представляет собой непро-

202

стую техническую задачу, так как электромагнитный импульс проходит это расстояние за время порядка 2–3·10–10 секунды. Сегодня применяются два подхода в ее решении: на основе использования зондирующих электромагнитных импульсов малой длительности 0,1–1 нс (георадар «ОКО»), аналогично тому, как эта задача решается в акустических дефектоскопах, и использование непрерывных сверхвысокочастотных (СВЧ) колебаний с широкополосной перестройкой по частоте и регистрацией разницы частот (частоты биений) излучаемого и отраженного от дефекта сигналов.

8. ПОСТРОЕНИЕ ГРАДУИРОВОЧНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ КОСВЕННЫХ МЕТОДОВ ИСПЫТАНИЙ

В основе всех косвенных методов испытаний (измерений) лежит процедура функционального преобразования косвенных параметров метода в параметр, который подлежит оценке (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Функциональное преобразование косвенных параметров

В практике испытаний функциональная связь косвенных параметров и оценочного параметра получила название градуировочной зависимости. В общем случае градуировочная зависимость может иметь несколько косвенных параметров (аргументов) X1–Xs, но если принимать во внимание только методы испытаний, стандартизированные к настоящему времени, то, как правило, речь идет об одном косвенном параметре64. Например, для метода упругого отскока косвенный параметр один – индекс отскока, для метода отрыва со скалыванием бетона – сила отрыва, для ультразвукового импульсного метода – скорость распространения акустического импульса в бетоне.

64 Исключение могут составлять комбинированные методы испытаний, которые объединяют в себе несколько – обычно два – косвенных параметра.

203

Рассмотрим последовательность построения градуировочной зависимости для однопараметрового метода. Исходные данные для построения получают в результате совместных измерений пар значений косвенного параметра X, например, индекса отскока и оценочного параметра Y – «кубиковой» прочности бетона. Массив пар значений X и Y можно отобразить на плоскости X–Y в виде точек (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Диаграмма рассеяния пар отсчетов и построенная линейная градуировочная зависимость для однопараметрового косвенного метода испытаний

Задача построения градуировочной зависимости заключается в подборе такой функции y* = F(x), которая «наилучшим образом» описывает зависимость Y от X. На первый взгляд, задача тривиальная, поскольку математический анализ позволяет решить такую задачу точно, взяв в качестве градуировочной зависимости степенной полином, максимальный показатель степени которого на единицу меньше, чем количество экспериментальных точек. Например, если точек две, то достаточно полинома степени 1, то есть прямой линии, которая пройдет через обе точки. Если точек пять, то задача будет решена полиномом степени 4. Но смысла в таком «точном» решении мало, поскольку очевидно, если повторить измерения пар значений X и Y, то новые точки окажутся в других местах плоскости, хотя положение всего «облака» возможных точек экспериментальных данных в целом остается неизменным.

204

Из этого следует вывод: градуировочная зависимость не должна «стремиться» соответствовать каждой точке массива экспериментальных данных. Она должна отражать то общее свойство, что присуще всем повторным выборкам экспериментальных данных.

Линейная градуировочная зависимость

Рассмотрим задачу «наилучшей» аппроксимации массива пар значений xq и yq, q = 1, …, n линейной функцией

Решение задачи заключается в нахождении коэффициентов a0, a1, обеспечивающих наилучшее приближение y*(xq) к yq. Существуют разные критерии для оценки этого приближения. Классический подход к определению параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК)65, в соответствии с которым критерием качества приближения является достижение минимума суммой квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции y*(xq) от измеренного значения yq для значений аргумента xq [25]. Записать его можно в виде

Опуская промежуточные выкладки, приведем готовые выражения для a0 и a1:

65Наряду с методом наименьших квадратов возможен и другой подход

копределению параметров линейного регрессионного уравнения по данным эксперимента – метод максимального правдоподобия.

205

Уравнение регрессии (8.1) всегда дополняется показателем тесноты связи величин X и Y. Дело в том, что одинаковые значения коэффициентов a0 и a1 могут быть получены при различной степени разброса пар значений xq и yq. При использовании линейной регрессии таким показателем является линейный коэффициент корреляции rXY, который можно рассчитать по следующим формулам:

Линейный коэффициент корреляции rXY может принимать значения в пределах от –1 до +1. Чем ближе абсолютное значение rXY к единице, тем сильнее линейная связь внутри пар xq и yq. При rXY = ±1 имеем строгую функциональную связь X и Y 67.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r2XY, называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии Y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии Y. Соответственно величина 1 – r2XY характеризует долю дисперсии Y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

66 Для ковариации существует и другой вариант расчетной формулы:

1 n

cov n q 1 xq xср yq yср .

67 Близость линейного коэффициента корреляции rXY к нулю еще не означает отсутствие связи между величинами. При другой (нелинейной) модели связь между величинами может оказаться достаточно тесной.

206

После того, как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и его отдельных параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение регрессии переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной Y.

Чтобы иметь общее суждение о качестве аппроксимационной модели по относительным отклонениям для каждой пары измеренных величин, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

Значимость уравнения регрессии в целом оценивается на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике он рассматривается как инструмент статистического анализа, в частности как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

С позиций дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной Y от среднего значения yср может рассматриваться как сумма двух составных частей – «объясненной» и «необъясненной»:

характеризующая влияние неучтенных в регрессионной модели факторов.

207

Основные показатели дисперсионного анализа приведены в табл. 8.1.

Чем меньше остаточная дисперсия S2ост, тем более адекватной является рассчитанная регрессионная модель, тем меньшее влияние не учитываемых моделью факторовпроявляется в исходных данных.

n – число пар данных испытаний; m – число параметров при переменной X

Объем экспериментальных данных рекомендуется выбирать таким, чтобы количество пар значений переменных в 7–8 раз превышал число рассчитываемых параметров при переменной X. Для линейной регрессии при переменной X один параметр – a1, поэтому для нее следует брать не менее 7 пар значений параметров X и Y. Если аппроксимирующая функция будет полиномом 2-й степени вида y*(x) = a0 + a1x + a2x2, то минимальный объем экспериментальных данных – 14–16 пар значений переменных.

Отношение факторной дисперсии к остаточной является величиной F-критерия Фишера:

S 2

F S 2ф . (8.7)

ост

208

Значение F-критерия Фишера, рассчитанное по формуле (8.7),

сравнивают с табличным значением Fтабл (прил. И, табл. И1). Табличное значение Fтабл выбирается по его трем параметрам: – уров-

ню значимости и двум коэффициентам k1 = m и k2 = n – m – 1. Если расчетное значение F-критерия больше табличного, то уравнение регрессии признается в целом статистически значимым.

В случае линейной регрессии m = 1, для F-критерия можно записать

Величину F-критерия можно выразить через коэффициент детерминации r2XY:

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и его отдельных параметров. Для этого для каждого из параметров определяют его стандартную ошибку:

ma0 и ma1.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии ma1 определяется по формуле

где Sост – остаточное среднее квадратическое отклонение

209

Для оценки существенности коэффициента регрессии ma1 его сравнивают с его же стандартной ошибкой, то есть определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента:

ta1 a1 ma1 ,

которое сравнивается с табличным значением при уровне значимости α и числе степеней свободы (n – 2). Доверительный интервал для коэффициента регрессии a1 определяется как a1 ± tтабл ma1.

Стандартная погрешность коэффициента ma0 определяется по формуле

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется по величине его погрешности

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется по формуле

tr rmr .

Рассмотрим пример. По данным совместных испытаний методом упругого отскока и на прессе 11 бетонных образцов-кубов для каждого получена пара значений (табл. 8.2) индекса отскока I и прочности при одноосном сжатии fc,I. Используя указанные данные, построим градуировочную зависимость для метода упругого отскока в форме уравнения линейной регрессии (8.1).

Таблица 8.2

Данные испытаний бетонных образцов

210