Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы метода конечных элементов в мехатронике. В 2 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

dy(a)

dN0

p(a)

p(x)dx

yN0q(x)dx N0 f (x)dx;

dx dx

k 1 dy dNk

k 1

p(x)dx

yNk q(x)dx

Nk f (x)dx,

k 1,n 1;

k 1

dy(b)

dy dNn

p(b)

p(x)dx

yNnq(x)dx

Nn f

(x)dx.

xn 1

Подставим в уравнения системы функцию

y(x)

, учитывая при

этом соотношение (5.4):

dy(a)

p(x)dx

p(a) y0

y0 N0 y1N1 N0q(x)dx

N0 f (x)dx;

dNk 1

dNk

p(x)dx

k 1

dNk

dNk 1

dNk

yk 1

p(x)dx

dx dx

yk 1Nk 1 yk Nk Nk q(x)dx

xk 1

yk Nk yk 1Nk

1 Nk q(x)dx

k 1

Nk f (x)dx,

1,n 1;

k 1

dy(b)

dNn 1

dNn

p(b)

yn 1

p(x)dx

xn 1

dx dx

yn 1Nn 1 yn Nn Nnq(x)dx

Nn f (x)dx.

xn 1

Представляя далее интегралы от сумм как суммы интегралов и вынося постоянные yk , k 0,n, за знаки интегралов, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно yk:

dy(a)

p(a) y0

p(x)dx N02q(x)dx

x0 dx

x1 dN

p(x)dx

N1N0q(x)dx

N0 f (x)dx;

dNk 1 dNk

yk 1

p(x)dx

Nk 1Nk q(x)dx

xk 1

dNk 2

xk 1

yk (

p(x)dx

q(x)dx

(5.7)

k 1

xk 1 dNk 1

dNk

xk 1

yk 1

p(x)dx

Nk 1Nk q(x)dx

xk 1

Nk f (x)dx,

1,n 1;

xk 1

(b)

dNn 1 dNn

p(b) yn 1

p(x)dx

Nn 1Nnq(x)dx

xn 1

dNn

p(x)dx

Nn q(x)dx

Nn f (x)dx.

xn 1

Теперь из этой системы уравнений можно вычеркнуть первую и последнюю строки, получающиеся при применении метода Галеркина к исходному уравнению с базисными функциями, отвечающими узлам, где заданы значения решения, и использовать задан-

ные граничные значения y0 y0 c и yn yn d в оставшихся

уравнениях. Таким образом получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей:

x2 dN

p(x)dx

q(x)dx y2

p(x)dx

dx dx

x1 dN

N2N1q(x)dx

N1 f (x)dx

p(x)dx

N0N1q(x)dx ;

k 1

xk 1

p(x)dx

k 1

q(x)dx

(

p(x)dx

k 1

dx dx

xk 1

xk 1 dNk 1 dNk

xk 1

q(x)dx yk 1

p(x)dx

Nk 1Nk q(x)dx

xk 1

Nk f (x)dx,

2,n 2;

xk 1

xn 1 dNn 2 dNn 1

xn 1

yn 2

p(x)dx

Nn 2Nn 1q(x)dx

xn 2

dNn 1

p(x)dx

q(x)dx

f (x)dx

n 1

xn 2

n 1

p(x)dx

Nn 1Nnq(x)dx .

xn 1

xn 1 dx dx

Численно решить эту систему уравнений можно методом про-

гонки [10, 11].

После определения всех узловых значений аппроксимирующей функции y(x) с помощью соотношения (5.3) можно найти прибли-

женные значения искомой функции y(x) в любой точке отрезкаa,b . Заметим, что вычеркнутые из системы (5.7) уравнения можно

использовать для определения значений производной ddyx в точках x a и x b .

П р и м е р

Реализация решения в пакете MathCAD

A0 0 16.525

X2														X				2
		(dN(x 1))2 p (x) dx 16.428														2	(N(x 1))	2	q(x) dx 0.097
																	(N(x 1))		q(x) dx 0.097
X0
													X0
						Xj 1								Xj 1
A	j	1 j 1					(dN(x j ))2 p (x) dx										(N(x j ))2 q (x) dx
	j	1 j 1
						Xj 1										Xj 1
A					Xj 1												Xj 1
A	j	1 j				dN(x j 1) dN(x j ) p (x) dx													N(x j 1) N(x j ) q (x) dx
	j	1 j
					Xj												Xj
A						Xn 1													Xn 1
A	n 2 n 3							dN(x n 2) dN(x n 1) p (x) dx												N(x n 2) N(x n 1) q (x) dx
	n 2 n 3
						Xn 2													Xn 2
A						Xn											Xn	(N(x n 1))2 q (x) dx
A	n 2 n 2						(dN(x n 1))2 p (x) dx											(N(x n 1))2 q (x) dx
	n 2 n 2
						Xn 2											Xn 2
				X2							X1										X1
					f (x) N(x 1) dx c																	N(x 0) N(x 1) q (x) dx
B					f (x) N(x 1) dx c							dN(x 0) dN(x 1) p (x) dx										N(x 0) N(x 1) q (x) dx
0
			X0							X0										X0
j 2 n 2
				X j 1
Bj 1						f ( x) N ( x j ) dx
				X j 1
					Xn										Xn									Xn
B						f (x) N(x n 1) dx						d													N(x n 1) N(x n) q (x) dx
B		2				f (x) N(x n 1) dx						d					dN(x n 1) dN(x n) p (x) dx								N(x n 1) N(x n) q (x) dx
n		2
				Xn 2										Xn 2									Xn 1
		16.525				8.342		0		0			0				0		0	0		0				2.592
		8.342				17.125		8.635		0			0				0		0	0		0				0.276
				0		8.635		17.705	8.919				0				0		0	0		0				0.29
				0		0		8.919	18.265			9.193					0		0	0		0				0.303
				0		0		8.919	18.265			9.193					0		0	0		0				0.303
A				0		0		0	9.193			18.809					9.46		0	0		0			B 0.316
				0		0		0		0		9.46					19.338	9.72		0		0				0.329
				0		0		0		0			0				9.72	19.852		9.973		0				0.341
				0		0		0		0			0				9.72	19.852		9.973		0				0.341
				0		0		0		0			0				0	9.973		20.354		10.22				0.352

				0		0		0		0			0				0		0	10.22		20.843				1.415

Y lsolve(A B)
YT 0.365 0.412	0.432	0.427 0.396 0.339 0.255 0.144 2.615 10 3
	n 2	Yi N(x i 1) d N(x n)
yp(x) c N(x 0)		Yi N(x i 1) d N(x n)
Given	i 0
Given

d2 y(x) ( p (x))		d p (x)	d y(x) q (x) y(x)		f (x)
dx2		dx	dx
y(a)	c		steps	105
y(b )	d		steps	105
y(b )	d
y Odesolve (x b steps )
	n 1	yp Xi 2
	y Xi	yp Xi 2		9.127 10 4
	i 1
Сравнение результатов дано на рис. 5.3.
	0.6
	0.4
y(x)
yp (x) 0.2
	0
	0.2		2		2.5	3	3.5
	1.5		2		2.5	3	3.5
					x
			Рис. 5.3. Сравнение результатов

Лабораторная работа № 6

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПРИМЕРЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Цель работы: решить уравнение Лапласа

	u		2u	2u	0 f (x) ,	(6.1)
	u	x2		y2	0 f (x) ,	(6.1)
		x2		y2
в области D с границей С при заданных граничных условиях
	u(x, y) f1(x, y) ,				(x, y) C1 ,	(6.2)
	u (x, y) f2 (x, y) ,				(x, y) C2 ,	(6.3)
	n
где C1 C2	C , f1(x, y) , f2 (x, y)			– заданные функции;

n – внешняя нормаль к части границы C2 .

Решение реализовать численно методом конечных элементов.

За д а н и е

1.Методом конечных элементов решить смешанную краевую задачу для уравнения Лапласа в области ABCD, показанной ниже на рис. 6.1. Здесь AD и BC – дуги окружностей радиусов R и 1 соответственно, φ – заданный угол.

На рис. 6.1 показана также рекомендуемая нумерация конечных элементов. Граничные условия задаются в вариантах индивидуальных заданий (приведены в таблице).

Рис. 6.1. Рекомендуемая нумерация КЭ при решении задачи

Варианты индивидуальных граничных условий к заданию

№

варианта

un 0 un 0 un 0 u ln r

u ln r

un 0 u ln r

un 0 un 0

BC	CD	DA	R	φ

un 1	u ln R	un 1/ R	3	30
un 1	un 0	u ln R	3	30
u 0	un 0	un 1/ R	3	30
un 1	un 0	un 1/ R	3	30
un 1	un 0	u ln R	3	30
u 0	u ln r	un 1/ R	2,5	25
u 0	un 0	un 1/ R	2,5	25
un 1	u ln r	u ln R	2,5	25
un 1	u ln r	un 1/ R	2,5	25
u 0	un 0	u ln R	2,5	25
un 1	u ln R	un 1/ R	2	10

Окончание таблицы

№

варианта

un 0 un 0 u ln r

u ln r

un 0 u ln r

un 0

BC	CD	DA	R	φ

un 1	un 0	u ln R	2	10
u 0	un 0	un 1/ R	2	10
un 1	un 0	un 1/ R	2	10
un 1	un 0	u ln R	2	10
u 0	u ln r	un 1/ R	1,5	15
u 0	un 0	un 1/ R	1,5	15
un 1	u ln r	u ln R	1,5	15
un 1	u ln r	un 1/ R	1,5	15
u 0	un 0	u ln R	1,5	15

2. Вычислить погрешность

(uточ(xi , yi ) ui )2 ,

i 1

где m – число узлов, в которых найдено значение функции u(x, y);

uточ ln(r);

r – радиус-вектор точки (x, y).

3.Найти значение функции V Vx2 Vy2 в узле с координатами

0,(1 R) / 2 . Сравнить с точным значением Vточ 2 / (1 R). Считать, что Vx ux , Vy uy .

Основные понятия. Краткие теоретические сведения

Пусть требуется решить уравнение Лапласа (6.1) в области D с границей С при заданных граничных условиях в виде условий Дирихле (6.2) и Неймана (6.3).

Для решения задачи методом конечных элементов область D разбивают на отдельные участки – конечные элементы (КЭ). Чаще всего в качестве КЭ выбирают треугольные или четырехугольные области. В соответствии с этим и конечные элементы называются треугольными или четырехугольными элементами. На каждом элементе неизвестную функцию аппроксимируют многочленом некоторой степени от переменных x и y. В зависимости от степени многочлена конечные элементыназываются линейными, квадратичнымиит. д.

Рассмотрим применение МКЭ с линейными треугольными элементами к решению задачи (6.1)–(6.3).

Разобьем область D (рис. 6.2) на треугольные подобласти и пронумеруем все получившиеся треугольные элементы: D1, D2 , ..., DM

и их вершины P1, P2 , ..., P , P , P , ..., Pl . Эту нумерацию вершин бу-

дем называть глобальной, а сами вершины треугольников, как и ра-

нее, – узлами конечных элементов.

	D	Pα
	D
		Dj
C	Pβ	Pγ
	Pβ

Рис. 6.2. Сравнение результатов расчетов решения исходной задачи

Рассмотрим один произвольный элемент Dj с вершинами P ,P ,P и границей C j . Кроме глобальной нумерации введем локальную нумерацию узлов. Пусть узел P с глобальным номером имеет локальный номер 1, узел P – номер 2 и узел P – номер 3. Локаль-

ную нумерацию узлов следует проводить на каждом элементе против часовой стрелки (рис. 6.3).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.2025768.48 Кб0Основы маркетинга.pdf
#
29.11.20251.73 Mб1Основы математического моделирования.pdf
#
29.11.20253.05 Mб0Основы материаловедения в энергетике.pdf
#
29.11.20252.32 Mб0Основы международного менеджмента.pdf
#
29.11.20252.07 Mб0Основы менеджмента.pdf
#
29.11.20251.46 Mб0Основы метода конечных элементов в мехатронике. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
29.11.20254.3 Mб2Основы метрологии и контроль качества в строительстве.pdf
#
29.11.2025988.95 Кб1Основы механики разрушения.pdf
#
29.11.20251.91 Mб0Основы молекулярной физики.pdf
#
29.11.20253.17 Mб0Основы монтажа электрооборудования.pdf
#
29.11.20254.39 Mб1Основы надежности систем электроснабжения.pdf