Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы метода конечных элементов в мехатронике. В 2 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

dN0

, x0 x x1,

x ;

x xi 1,

dNi x

xi 1 x xi ,

xi xi 1

i 1,n 1,

xi x xi 1,

i 1

;

dNn x

x xn 1,

, xn 1 x xn .

n 1

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Теперь, следуя методу Галеркина, приравняем к нулю скалярные произведения R(x), Nk (x) , k 0,n, тогда в силу линейности уравнения (4.1) получим систему линейных алгебраических уравнений относительно yi , i 0,n :

b
R(x), Nk (x) R(x)Nk (x)dx 0,	k	0,n	.
a

Учитывая, что y0 известно, первое уравнение системы можно исключить из рассмотрения, а в остальные подставить y0 c.

Уравнения системы можно упростить. Поскольку согласно (4.3)– (4.5) базисные функции Nk (x), k 1,n 1, отличны от нуля только на двух соседних элементах, содержащих узел xk , а функция Nn (x) – только на элементе [xn 1; xn ], интегрирование по отрезку [a;b] мож-

но заменить интегрированием по указанным элементам. Тогда система уравнений примет окончательный вид:

xk 1		R(x)Nk (x)dx 0,	k
		R(x)Nk (x)dx 0,	k	1,n 1,
x			(4.12)
	xk 1		(4.12)
	n	R(x)Nn (x)dx 0.
		R(x)Nn (x)dx 0.
xn 1

Следует отметить, что в силу (4.8), матрица этой системы линейных алгебраических уравнений имеет ленточную структуру.

После решения системы (4.12) определяются значения аппроксимирующей функции y(x) в узлах x xi , i 1,n. Затем, используя

соотношение (4.7), можно найти приближенное значение искомой функции y(x) в любой точке отрезка [a;b] .

Рассмотренный метод решения задачи (4.1), (4.2) называется ме-

тодом конечных элементов.

Пр и м е р

Спомощью МКЭ решить задачу Коши для ОДУ первого порядка

ddyx y 0

в области 0 x 1 с граничным условием y(0) 1.

Р е ш е н и е

Разобьем отрезок [0; 1] точками x0 0, x1, x2 , ... , xn 1 на n ко-

нечных элементов равной длины x 1/ n. Приближенное решение задачи будем отыскивать в виде

y(x) yi Ni (x),

i 0

где базисные функции Ni (x) задаются соотношениями (4.3)–(4.5). Согласно граничному условию y0 1.

Невязка

dy(x)

dNi (x)

R(x)

y(x)

Ni (x)

i 0

где производные

dNi (x)

определяются соотношениями (4.10). При-

равняем нулю скалярные произведения:

dNi (x)

k 1,n.

R(x), Nk (x)

Ni (x) Nk (x)dx 0,

0 i 0

Заметим, что уравнение R(x), N0 (x) 0 не рассматривается, так

как известно, что y0 1.

Учтем далее, что базисные функции Nk (x),

k						нуля только на соседних элементах [xk 1; xk ]
k	1,n 1, отличны от					нуля только на соседних элементах [xk 1; xk ]
и [xk ; xk 1], а функция						Nn (x) – только на элементе [xn 1; xn ] , тогда
эту систему линейных уравнений можно записать в виде
		xk 1		n	dNi (x)
		xk 1		n	dNi (x)			k 1,n;
				yi			Ni (x) Nk (x)dx 0,	k 1,n;
		x				dx
		x		i 0		dx
			xk 1	n	dNi (x)
			n	n	dNi (x)
				yi			Ni (x) Nn (x)dx 0.
						dx
				i 0		dx
		xn 1

Согласно (4.8) в суммах, которыми представляются функция y(x)

и ее производная на каждом элементе, сохраняются только два слагаемых. Этот факт, а также возможность поменять местами порядок интегрирования и суммирования в уравнениях позволяют записать систему в виде

	k 1		xk 1	dNi (x)
	k 1	yi	xk 1	dNi (x)		k 1,n 1;
		yi			Ni (x) Nk (x)dx 0,	k 1,n 1;
i k 1				dx
i k 1			x	dx
			k 1
	n		xn	dNi (x)
	n	yi	xn	dNi (x)
		yi			Ni (x) Nn (x)dx 0
i n 1				dx
i n 1			xn 1	dx
			xn 1

или

dNk 1

(x)

xk 1

dNk (x)

yk 1

Nk 1

(x) Nk (x)dx yk

k 1

xk 1

dNk 1

(x)

yk 1

Nk 1(x) Nk (x)dx 0,

k 1,n 1;

dNn 1

(x)

dNn (x)

Nn 1

yn 1

(x) Nn (x)dx yn

xn 1

xn 1 dx

(x) Nk (x)dx

(x) Nn (x)dx 0.

Подставив выражения (4.3)–(4.5) и (4.9)–(4.11) в левые части уравнений системы иосуществив интегрирование, окончательно получим

2					1			1				1			1		;
															1
	3	y1						6	y2				2 x		6	y0
	3				2 x			6					2 x		6
						1	1					2			1

	yk 1			yk						yk 1				yk		yk 1			k 2,n 1;
										yk 1				yk		yk 1		0,	k 2,n 1;
			2 x				6					3			6
			2 x				6					3			6
			1		x						1	x
			1		x						1	x
			2		6	yn 1					2	3		yn 0.
			2		6						2	3

Отметим, что матрица этой системы линейных уравнений имеет трехдиагональный вид, а значит, при численном решении ее можно использовать метод прогонки.

Решая задачу при n = 5, т. е. разбивая отрезок от нуля до единицы [0;1] на пять конечных элементов и полагая, что x 0,2 , полу-

чим следующее приближенное решение:

y(x) N0 (x) 1,2488N1(x) 1,4997N2 (x)1,8557N3 (x) 2,2441N4 (x) 2,7620N5 (x),

где числовые коэффициенты представляют собой значения функции y(x) в узлах xi 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;1.

Вычисляя дискретную L2[0;1] погрешность (см. лабораторную работу № 3), получим

(6)	6	y(xi ) y(4) (xi )	2 1/2
(6)		y(xi ) y(4) (xi )		0,065.
	i 1

На рис. 4.2 сплошной линией показан график функции y ex , пунктирной – график функции y y(x) , крестиками – вычисленные значения y0 (x).

Рис. 4.2. Сравнение результатов расчетов решения исходной задачи

Повторив все вычисления, разбивая отрезок [0;1] на десять ко-

нечных элементов точками xi 0;1 i, i 0;10, получим следующее приближенное решение:

y(x) N0 (x) 1,0987N1(x) 1,2205N2 (x) 1,3428N3 (x) 1,4899N4 (x)

1,6409N5 (x) 1,8190N6 (x) 2,0049N7 (x) 2,2210N8 (x)

2,4495N9 (x) 2,7120N10 (x).

Погрешность вычисления составила

(11)11

i 1

1/2

y(xi ) y(4) (xi ) 2 0,020.

Сравнение результатов двух вариантов расчетов показывает, что с ростом числа конечных элементов погрешность уменьшается. Однако следует подчеркнуть, что применение метода Галеркина с базисными функциями в виде многочленов (см. лабораторную работу) дает более точные результаты.

Лабораторная работа № 5

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Цель работы: научиться решать численно, методом конечных элементов, краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка.

За д а н и е

1.Методом конечных элементов решить краевую задачу для уравнения Штурма–Лиувилля на заданном отрезке [a,b] при заданных

граничных условиях.

2. Найти приближенное решение y(x), разбивая отрезок [a,b] на

10 и 20 конечных элементов.

3. Решить задачу с помощью компьютерного математического пакета MathCAD (Matlab, Maple, Mathematics) и сравнить получен-

ные результаты, вычисляя дискретные (11) и (21) погрешности (см. лабораторную работу № 3).

4. Вычислить значения производной ddyx в точках x a и x b .

5.Построить графические зависимости y(x) , y(x) .

6.Проанализировать сходимость вычислительного процесса. Варианты заданий приведены в таблице.

Номера вариантов задания

№			p(x)				q(x)				f(x)		a	b	y(a)	y(b)
вар.			p(x)				q(x)				f(x)		a	b	y(a)	y(b)
вар.
1			arctgx			lnlnx					lnx		3	7	0,49	–0,12

2			1 e x				ex/3			sin2 (x / 4)			0	4	0,7	0
3			ex		cos(x / 3)						ex/2		–2	1	–0,27	0,4
4			1+ x		1+ e x2						3 1 x		0	1,5	2,6	–0,12
5			1 x			1 x					x		1,5	3,5	0,29	–0,17
5			1 x			2 x					x		1,5	3,5	0,29	–0,17
						2 x
6	cos(x /10)				1						1		2,4	4	0,66	–0,36
6	cos(x /10)				x2 x 1						(1 x)		2,4	4	0,66	–0,36
					x2 x 1						(1 x)
7		1 sin2 x			arctg(x)						sin(x)		0,5	4	–1,5	0,64
8			1/ x				1 x				1/ x2		1	7	1,2	–0,29
9			x			1					1		1,5	2,5	0	0,98
9			x		1				x		1 x2		1,5	2,5	0	0,98
					1				x		1 x2
10		1		cos(x /10)						cos(x /10)			–2	0	2	0,1
10		x2 x 1		cos(x /10)						cos(x /10)			–2	0	2	0,1
		x2 x 1
11		x2 x 1					x	1			x		2	3	–0,5	0,71
11		x2 x 1		2				1			x		2	3	–0,5	0,71
				2
12		ln(x 5)					1 x			2 / (1 x)			0	2,5	0,78	–0,12

13		cos(x / 2)		2 – cos(x)						sin(x / 2)			0	2	0,18	–0,37

14	1/ (ex2 1)					1 x2					x2		–1	3	0,49	–0,17
15			1 x	cos(x /10)						cos(x)			π	4	0	0,74
15			2 x	cos(x /10)						cos(x)			π	4	0	0,74
			2 x
16			e x2 /2				1/ x				e x		1	2	–0,89	0,67
17			1		arctg				x	1 x x		2	3	5	–0,61	0,49
17			ex2 1		arctg				x			2	3	5	–0,61	0,49
			ex2 1
																57

Окончание таблицы

№			p(x)			q(x)	f(x)	a	b	y(a)	y(b)
вар.

18				1		esin x	x	2	4	0,95	0,88
	1			x

19				1		ex	arctg x	–1	1	0,76	–0,20
		x2 1

20				e	x	1	sin(x)	0	1	0,16	0,44
						1 2cos2 x

Основные понятия. Краткие теоретические сведения

Пусть на отрезке [a,b] требуется найти решение уравнения Штур- ма–Лиувилля, представленного в виде

	q(x)y f (x)	(5.1)
p(x) y

и удовлетворяющего граничным условиям

y(a) c,

y(b) d.

(5.2)

Предполагается, что p(x) , q(x) , f (x) – непрерывные функции,

известные изначально, c и d – постоянные. После дифференцирования первогослагаемого вуравнении(5.1) его можно записатьввиде

p(x) d2 y p (x) dy q(x) y f (x). dx2 dx

Согласно методу конечных элементов разобьем отрезок [a,b]

точками (узлами) xi a b n a i, i 0;n, на заданное число n ко-

нечных элементов и приближенное решение задачи (5.1), (5.2) будем искать в виде

y(x) y(x) yi Ni (x), x [a,b], (5.3)

i 0

где базисные функции Ni (x) задаются соотношениями (4.3)–(4.5), yi , i 0;n, – неизвестные значения аппроксимирующей функции

y(x) в узлах xi .

Краевым условиям при x a и y b можно удовлетворить не-

посредственно заданием соответствующих значений в крайних узлах. Однако удобнее составить уравнения метода Галеркина без первоначального задания граничных значений функции y(x) , а затем

учесть эти условия при решении окончательной системы уравнений. Таким образом, на данном этапе все значения y0 , y1, ... , yn бу-

дем рассматривать как неизвестные.

Отметимтакже, чтопоскольку функции Ni (x), i 1,n 1, отличны от нуля только на двух соседних элементах xi 1, xi и xi , xi 1 , то на каждом элементе функцию y(x) можно записать в виде суммы

только двух слагаемых, учитывающих вклад двух базисных функций, отличных от нуля на этом элементе:

y(x) yi 1Ni 1		(x) yi Ni (x),				x xi 1, xi ,		i		(5.4)
y(x) yi 1Ni 1		(x) yi Ni (x),				x xi 1, xi ,		i	1,n 1.	(5.4)

Теперь определим невязку:
		d	2
		d		y		dy
	R(x) p(x) dx2				p (x) dx		q(x) y f (x)

и запишем ее скалярные произведения на базисные функции Nk (x), i 1,n 1:

		b	b		2
	R, Nk R(x) Nk (x)dx			d	y(x)	p(x)Nk (x)dx
	R, Nk R(x) Nk (x)dx					p(x)Nk (x)dx
		a	a		dx2		(5.5)
b		b				b	(5.5)
b		b				b
	dy(x)

	dx	p (x)Nk (x)dx	y(x)q(x)Nk (x)dx f (x)Nk (x)dx.
a	dx	a				a
							59

Следует отметить, что в силу линейности функции Nk (x) произ-

водные второго порядка от этих функций равны нулю. Проинтегрировав по частям в первом интеграле правой части выражения (5.5), можно понизить порядок производной, входящей в подынтегральное выражение:

y(x)

p(x)Nk

(x)dx

dy(b)

p(b)Nk (b)

dy(a)

p(a)Nk (a)

dx2

(5.6)

b dy

dNk

b dy

k 1,n 1.

p(x)dx

p (x)Nk (x)dx,

a dx

В соотношении (5.6) Nk (a) Nk (b) 0 при

N0 (b)

1,n 1 ,

Nn (a) 0, N0 (a) Nn (b) 1,

т. е. слагаемые,

не содержащие ин-

тегралы, сохраняются при k 0

и k n.

Подставляя (5.6) в (5.5) и приравнивая скалярные произведения

нулю, получим систему уравнений

dy(a)

b dy

dN0

p(a)

p(x)dx

yN0q(x)dx N0 f (x)dx;

a dx

dy dNk

p(x)dx yNk q(x)dx

Nk f (x)dx,

k 1,n 1;

a dx dx

dy(b)

dNn

Nn f (x)dx.

p(b) dx dx p(x)dx

yNnq(x)dx

Учитывая, что функции Nk (x),

1,n 1, отличны от нуля только

на двух соседних элементах xk 1, xk

и xk , xk 1 , а функции N0 (x)

и Nn (x)

– только на первом и последнем элементах соответственно,

интегрирование по всему отрезку [a,b] можно заменить интегрированием по указанным элементам. Тогда система примет вид

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.2025768.48 Кб0Основы маркетинга.pdf
#
29.11.20251.73 Mб1Основы математического моделирования.pdf
#
29.11.20253.05 Mб0Основы материаловедения в энергетике.pdf
#
29.11.20252.32 Mб0Основы международного менеджмента.pdf
#
29.11.20252.07 Mб0Основы менеджмента.pdf
#
29.11.20251.46 Mб0Основы метода конечных элементов в мехатронике. В 2 ч. Ч. 1.pdf
#
29.11.20254.3 Mб2Основы метрологии и контроль качества в строительстве.pdf
#
29.11.2025988.95 Кб1Основы механики разрушения.pdf
#
29.11.20251.91 Mб0Основы молекулярной физики.pdf
#
29.11.20253.17 Mб0Основы монтажа электрооборудования.pdf
#
29.11.20254.39 Mб1Основы надежности систем электроснабжения.pdf