Основы высшей математики

Примеры решения задач

3.5. Вычислить интеграл ∫x cos xdx. Решение. Примем u = x, dv = cos xdx. Тогда

du = (u ')dx = (x ')dx = dx. v −∫dv = ∫cos xdx = sin x.

Подставив в формулу интегрирования по частям, получим

∫x cos xdx = x sin x −∫dx sin x = x sin x −∫sin x dx =

=x sin x +cos x +C.

Задачи для самостоятельного решения

Задание 3.4. Вычислить интегралы.

3)− 15 x cos5x + 251 sin 5x +C. 4) x ex −ex +C. 5) − x2e−x −2xe−x −2e−x +C.

6)xln22x − (ln22x )2 +C.7) x ln x − x +C.8) 12 x2 ln x − 14 x2 +C. 9) 23 x32 ln x − 94 x32 +C.

51

3.5. Вычисление определенных интегралов

Если функции u = u(x) и v = v(x) непрерывны вместе со своими производными на [a; b], то имеет место формула Ньютона–

Лейбница

Примеры решения задач

π

3.6. Вычислить интеграл ∫3 cos xdx .

π

6

Решение. Так как ∫cos xdx = sin x , то

52

53

Задачи для самостоятельного решения

Задание 3.5. Вычислить определенные интегралы.

(Ответ. 1) π4 . 2) 4e. 3) 1− 2e . 4) 83 . 5) π6 . 6) − π6 − 19 . 7) 5 −1. 8) arctg 3 −arctg 2. 9) 2ln 2 − 34).

54