Основы высшей математики

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, x =1. (Ответ. 1).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

						arcsin(						) '					arcsin(							)								1				'
б)						arcsin(				x		) '					arcsin(					x		)								1				'
б)	y' = e												= e												arcsin x2											=

				arcsin(						)						1									1		'		arcsin(										)	1					1			−1
				arcsin(				x		)						1									1		'		arcsin(								x		)	1					1			−1
	= e																						x2				= e																		2		x	2 .
	= e																						x2				= e																				x	2 .
													1					1		2																				1− x
													1	− x2

						Задачи для самостоятельного решения
	Задание 2.4. Найти производные y ' следующих функций:
1.	y = cos 4x.								2.				y = e(3x+5).												3.		y = arcsin								x			.		4. y = ln7								x .
1.	y = cos 4x.								2.				y = e(3x+5).												3.		y = arcsin											.		4. y = ln7								x .
										π																								2
																											10
5.														6.													10			.		7.				y = 3 x5 −4x2 +3.
5.	y = arctg x +								4				.	6.				y = (x2 + x −5)												.		7.				y = 3 x5 −4x2 +3.
									4
8.	y =							.						9.				y = sin ex.														10.						y = tgx2 + tg2x.
8.	y =		arcctgx					.						9.				y = sin ex.														10.						y = tgx2 + tg2x.
													1																		π											y				ctg3x
	y =				2x +3 −								1																		π															ctg3x
11.															.			12.			y			= sin 2x					+					x.						13.				=		2x −3			.
11.											sin x				.			12.			y			= sin 2x					+		3			x.						13.				=					.
											sin x																				3
14.	y = arctg2x ex.															15.			y = sin 3x .												16.						y = e7x −2arccos3x.
	y = cos2 x ln (x2 −1).																							cos9x										ln (2x −5)
17.																											18.		y =					ln (2x −5)										.
17.																											18.		y =				arccos(x +1)											.
																																	arccos(x +1)
19.	y =	5sin 3x					.																				20.		y =						4x +1						.
19.	y =	1+ tgx					.																				20.		y =				2 −cos 2x								.
		1+ tgx																															2 −cos 2x
	Задание 2.5. Найти производные y ' следующих функций:
	y = tg3 (e2x ).																																			y = arcsin2 (ex + x).
1.	y = tg3 (e2x ).													2.				y = earctg								x2 −5x		.				3.				y = arcsin2 (ex + x).
4.	y = sin (ln (x3 −3x2 +4)).																										5. y = cos ln arcsin																1				.
4.	y = sin (ln (x3 −3x2 +4)).																										5. y = cos ln arcsin															x +1					.
																																										x +1

Задание 2.6. Найти значение производной y '(x) следующих функций в точке x = x0 :

2.	y = 5(x +1)2					x2 +16,			x = 0. (Ответ. 1).
									0
3.	y = 1 sin x tg2x,						x	= π	. (Ответ. 1).
	2						0	2
	2							2
4.	y =	e2x+1	,	x	=		0. (Ответ. 2е).
4.	y =		,	x	=		0. (Ответ. 2е).
		cos3x		0
		cos3x
			2.5. Производные неявных функций
Пусть функция					y = y(x) задана уравнением F(x, y) = 0. В этом
случае говорят, что функция у задана неявно.
Производная				y′ = y′(x) может быть найдена из уравнения Fx′ = 0 ,
где	F = F(x, y)			рассматривается как сложная функция от перемен-

ной х.

Примеры решения задач

2.5. Найти производную yx' от неявно заданной функции

x cos y − y3 +sin 2x +1 = 0.

Решение. Продифференцируем обе части равенства

(x cos y − y3 +sin 2x +1)' = 0'.

cos y − x sin y y '+3y2 y '+2cos 2x = 0.

Выразим y ' : cos y +2cos 2x = x sin y y '−3y2 y '.

cos y +2cos 2x = y '(x sin y −3y2 ) y ' = cos y +2cos 2x . x sin y −3y2

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2.7. Найти производные yx' от неявно заданной функции:

1. x3 + y4 − x		= 0.	5. 3x +2y = 6x+y.
	y

2.ex sin y −ey cos x = 0 .6. ln (3x +2y)− xy +1 = 0.

3.sin (x + y)+ x arcsin y = 0. 7. x3 + y2 −2xy −3x +4y −5 = 0.

4. exy = x + y.	8.	x	+sin xy = 0.
		y

2.6. Приложения производной

Геометрический смысл производной: y '(x0 )= tgα = k – угловой

коэффициент касательной к линии y = y (x) в точке x0 .

Механический смысл производной: если путь тела при прямоли-

нейном неравномерной движении	описывается функцией s (t), то
скорость тела будет описываться	v(t)=(s (t))' , а ускорение тела
a (t)= (v(t))' = (s (t))" .

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2.8. Тело движется прямолинейно и неравномерно. Путь тела описывается функцией s (t)= tt2++43 . Найти скорость тела в

момент времени t = 2. (Ответ. 1736 ).

Задание 2.9. Тело движется прямолинейно по закону s (t)= 2t3 −3t +4 . Найти ускорение тела в момент времени t = 4.

(Ответ. 4 ).

Задание 2.10. Тело движется прямолинейно по закону s (t)= 3t3 −4t2 +1. Найти скорость тела в момент, когда ускорение

равно 0. (Ответ. −169 ).

Задание 2.11. В тонком неоднородном стержне масса (в граммах) распределяется по закону m(l)= 4l2 −2l +5 , где l – расстояние от

начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня. (Ответ. 30).

Задание 2.12. В колебательном контуре заряд меняется по закону

	π
q (t)= cos 3t +	, где t – время (в сек). Найдите величину силы то-
	6
ка в контуре в момент времени t = π . (Ответ.		−	3			).
			3		3
				2
	6
2.7. Уравнение касательной к графику функции,
	точки экстремума
Уравнение касательной к графику функции		y (x) в точке					x = x0
вычисляется по формуле
	y = y (x0 )+ y '(x0 ) (x − x0 ).						(2.4)

Примеры решения задач

2.6. Написать уравнение касательной к кривой, заданной неявной функцией x2 + y3 −3xy −2x + y −1 = 0 в точке М(2; -1).

Решение. Найдем производную yx' неявно заданной функции

(x2 + y3 −3xy −2x + y −1)' = 0'.

2x +3y2 y '−3y −3xy '−2 + y ' = 0 y ' = −2x +3y −2 . 3y2 −3x +1

Подставив вместо x и у координаты точки М, найдем значение производной в данной точке: y ' M = 92 . Полагая x0 = 2, y0 = −1

найдем уравнение касательной: y = −1+ 92 (x −2) y = 92 x −10.

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2.13. Написать уравнение касательной к графику функции y = y (x) в точке x = x0 :

1.y = x3 + 3x , x0 = −2. (Ответ. y =11, 25x +13 ).

2.y = 4x −2x+1, x0 = 0. (Ответ. y = −1).

		π			π		y = −x +	π			3
3. y = sin	2x −		,	x0 =		. (Ответ.			+			).
		3			2			3		2

Задание 2.14. Написать уравнение касательной к кривой, заданной неявной функцией в точке M (x0 , y0 ):

1. x3 +2xy − y2 −1 = 0, M (1; 2). (Ответ. y = 3,5x −1,5 ).

2. (x +1)sin y −5x +3y −2 = 0, M (−1; 1).

(Ответ. y =1+ 5 −3sin1(x +1)).

3. −2cos(xy)+ y +1 = 0, M (0; 1).

(Ответ. у = 1).

Задание 2.15. Найти точки экстремума функций

1. y = 2x3 − x2 −4x +5. (Ответ. x = − 23 – точка максимума; х = 1 – точка минимума).

2. y = x +10 − x . (Ответ. x = 9 – точка максимума).

3. y =1− x2 . (Ответ. x = 2 +

x −2

точка минимума).

4. y = x e1−2x2 . (Ответ. x = 12 минимума).

3 – точка максимума; x = 2 −3 –

– точка максимума; x = − 12 – точка

5. 4. y = x ln2 x . (Ответ. x = e−2 – точка максимума; x =1– точка минимума).

Тема 3. ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Таблица интегралов, правила интегрирования

Пусть t =t (x); dt =t '(x)dx , тогда

∫dt = t +C.

∫costdt =sin t +C.

2. ∫tndt =

tn+1

+C; n ≠ −1.

8. ∫

= tgt +C.

n +1

cos

∫t−1 = ∫ dt

= ln

+C.

∫

= −ctgt +C.

sin2 t

∫et dt = et

+C.

10.

∫

t −a

+C.

t2 −a2

t +a

∫atdt =

+C.

11.

∫

t +a

+C.

t −a

ln a

−t

∫sin tdt =−cost +C .

12.

∫

= ln

t +t2 ±a2

+C.

2 ±a2

13. ∫

= arcsin

+C.

−t

Правило интегрирования:

∫(α f (x)±βg (x))dx =α∫ f (x)dx ± β∫g (x)dx.

(3.1)

Примеры решения задач

3.1. Вычислить неопределенный интеграл:

	2				2			1

∫				+3 x −1 dx = ∫				+ ∫3x2 dx −∫dx =
		2	x		sin	2	x
sin

= 2∫ dx2

+3∫x2 dx −∫dx = 2(−ctgx)

− x +C =

+3 x3

sin

= −2ctgx +2x

− x +C.

3.2. Вычислить интеграл: ∫

x3 +4x −5

dx .

Решение.

x3 +4x −5

∫(

x +4x−1dx −5x−2

)

dx =

−

dx =

∫

4ln x

−

5x−1

+C =

4ln x −

+C.

−1

3.3. Вычислить интеграл: ∫ctg2xdx..

Решение.

2xdx

cos2 x

1−sin2 x

∫

ctg

∫

dx =

∫

dx =

∫

−

dx =

sin

= ∫

−1 dx = −ctgx − x +C.

sin

Задачи для самостоятельного решения

Задание 3.1. Вычислить неопределенные интегралы:

1.∫(3cos x +5ex )dx.

2.∫ 4 −sin x dx.

7.	∫		dx	.		13.	∫	dx	.

		1− x2						4 + x2
		1− x2						4 + x2
8.	∫		dx		.	14.	∫	dx		.
8.	∫				.	14.	∫			.
			9 − x2					x2 −10

+2x

∫

. 15.

∫

dx.

3 x

13 − x2

+10

(

∫

+3 dx.

10.

∫

16.

4 − x2

∫

)

10 − x2

11.

∫

17.

∫

−5cos x dx.

9 + x2

−10

cos2 x

12.

∫

18.

∫

−sin x dx.

17 + x2

x2 +10

sin2 x

Задание 3.2. Вычислить интегралы:

1. ∫ x3x+2 dx.

2. ∫ x2 + x −4dx. x

3. ∫ x2 −4 +x2 +4dx. x4 −16

4.∫ x2 −1 dx.

x2 +1

5.∫tg2xdx.

6.∫sin 2x cos 2xdx.

3.3. Интегрирование методом замены переменной

Примеры решения задач

3.4. Вычислить неопределенный интеграл ∫cos7xdx. Решение. Сделаем замену u = 7x . Тогда

du = (7x)'dx du = 7dx. Преобразуем выражение
∫cos 7xdx =∫cos 7x 7dx	=	u = 7x;	= ∫cosu du	=	1	∫cosudu =
∫cos 7xdx =∫cos 7x 7dx	=	u = 7x;	= ∫cosu du	=	1	∫cosudu =
7		du = 7dx	7		7
= 1 (−sin u +C)= 1 sin 7x +C.
7	7

Задачи для самостоятельного решения

Задание 3.3. Вычислить неопределенные интегралы:

1. ∫sin 5xdx.

8. ∫

15.

∫

−49x2

ln x

+ 2

∫

2. ∫cos 3x

−

dx.

16.

∫

1+7x

e2x −9

∫e2x+3dx.

10. ∫cos2 x(−sin x)dx.

17.

∫tgxdx.

4. ∫

dx.

18. ∫ctg(3x +1)dx.

3x −15

11. ∫

2x2 +5

dx.

5. ∫(7x −8)9 dx.

12. ∫sin (ex )exdx.

19. ∫

3x −1

dx.

xdx

x2 + 4

∫

13.

∫

20. ∫

x −

arctg2x

dx.

1+ 4x2

x +4

+ 4

∫

14.

∫

sin xdx

9 + 4x2

1+ 2cos x

(Ответ.

1) − 15 cos5x +C. 2) 13 sin

(3x − π4 )+C. 3) 12 e2x+3 +C.

2 (

(7x −8)10 +C.6)ln (x +4)+C.7) 1 arctg

3x −15)

+C.5)

+C.

+7x

+C.10) cos3 x +C.

+C.9)

x + 1+

7x2

19 −7x

11) 2

(2x2

+5)

+C. 12) cos(ex )+C. 13)

12 ln

x2 +4

+C.

3 2

14) −

+C. 15) 2

+C. 16) −

1 ln

ex +3

+C.

1+2cos x

ln x +2

ex −3

x2 +4)+ 12 arctg

17) −ln (cos x)+C.

18)

13 ln (sin (3x +1))+C.

19)

23 ln (

+C.

20) 81 ln (1+4x2 )− 13 (arctg2x)

+C).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20251.65 Mб0Основы анатомии, физиологии и гигиены.pdf
#
29.11.202526.68 Mб0Основы архитектурного рисунка. Ч. 1.pdf
#
29.11.20251.74 Mб2Основы базовой подготовки в баскетболе.pdf
#
29.11.20253.64 Mб0Основы бизнеса на иностранном языке.pdf
#
29.11.20255.02 Mб4Основы военной психологии и педагогики.pdf
#
29.11.20251.4 Mб0Основы высшей математики.pdf
#
29.11.20251.56 Mб0Основы геоэкологии и геоинформационных систем. Базовые средства ArcView GIS 3.x.pdf
#
29.11.20251.06 Mб0Основы геоэкологии и геоинформационных систем. Построение пространственных моделей средствами ArcView GIS и Spatial Analyst.pdf
#
29.11.20252.72 Mб0Основы идеологии белорусского государства.pdf
#
29.11.2025823.21 Кб1Основы инженерных изысканий.pdf
#
29.11.20254.71 Mб0Основы информатики, компьютерной графики и педагогические программные средства.pdf