Основы высшей математики

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(C u)' =C u '

(u v)' =u ' v +v ' u

(u ± v)' = u ' ± v '

u ' v −v ' u

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

4.(α a) b c =α a b c , α R.

5.(i, j, k )=1.

Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

V , если тройка векторов a,b,c - правая,

(a,b,c) =

−V ,если тройка векторов a,b,c - левая.

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен Vпир = 16 a b c .

Если векторы

заданы своими

координатами

= (x1, y1, z1 ),

= (x2, y2, z2 ),

= (x3, y3, z3 ), то

их смешанное

произведение вычисляется по формуле

(

) =

(1.15)

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произве-

дения ((a,b,c) = 0 ).

Смешанное произведение может обращаться в нуль в одном из следующих трех случаях:

1.Один из векторов a, b, c равен 0.

2.sinϕ = 0 , тогда a || b .

3.cosθ = 0, следовательно, вектор c лежит в одной плоскости с векторами a и b .

Примеры решения задач

1.22. Найти смешанное произведение векторов a = 3i + j −k, b = 2i −3k, c = i + j +k.

Решение. Векторы a, b, c заданы разложением по ортам осей:

= ax i + ay

+ az

;

= bx i +by

+bz

;

= cx i + cy

+ cz

Используя формулу (1.15), получаем

−1

(

) =

−3

= −10.

1.23. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках

A(5;5;6), B (4;5;4), C (4;3;3), D (2;2;2).

Решение. Найдем векторы AB, AC, AD, совпадающие с ребрами пирамиды и имеющими общую вершину А.

AB = (−1;0;−2), AC = (−1;−2;−3), AD = (−3;−3;−4).

Так как V =

, то

пир

−1

−2

V =

7 .

−1

−2

−3

−8 −6 +12 +9

пир

−3

−4

1.24. Доказать, что точки A(3;−4;1), B (2;−3;7), C (1;−4;3),

D (4;−3;5) лежат в одной плоскости.

Решение. Если точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, то и векторы AB, AC, AD лежат в одной плоскости, т.е. эти векторы ком-

планары, и значит (AB, AC, AD )= 0 . Найдем координаты этих век-

торов. AB = (−1;1;6), AC = (−2;0;2), AD = (1;1;4). Тогда

(						)=	−1	1	6

		,		,			−2 0		2	= 2 −12 +8 +2 = 0.
	AB		AC		AD
							1	1	4
А это значит, что точки								A(3;−4;1), B (2;−3;7), C (1;−4;3),

D (4;−3;5) лежат в одной плоскости.

1.25. Даны

вершины

пирамиды точки A(0;−2;5), B (6;6;0),

C (3;−3;6),

D (2;−1;3). Найти длину высоты, опущенной из верши-

ны С на грань ABD.

1 SABD

Решение. Так как V =

, то h =

SABD

АВ

Найдем векторы: AB = (6;8;−5), AC = (3;−1;1), AD = (2;1;−2).

Объем пирамиды, построенной на этих векторах равен

Vпир =	1	(						)=	1	6	8	−5		15 .

				,		,				3	−1	1	=
			AB		AC		AD
	6								6	2	1	−2		2

Вычислим площадь основания пирамиды, которым является треугольник ABD, используя свойства векторного произведения.

			1					1	i		j		k		1
S		=	1	AB	,	AD	=	1	6	8		−5		=	1	−11i +2	j	−10	k	=
	ABD		2					2							2
	ABD
									2	1		−2

= 12 (−11)2 +22 +(−10)2 = 12 225 = 152 (кв.ед.).


Тогда искомая h =	CO		3V		3		5
		=		=			12	= 3 ед.
							12

			SABD		5
					5
						12

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1.49. Выяснить, компланарны ли векторы a, b, c , если

= i +2

−

= 9i −11

+13

= 2i +4

−2

=8i −3

= 2

−

= i +2

3)a = (−2;−1;1), b = (4;−4;1), c = (4;−6;2).

4)a = (1;1;1), b = (1;0;1), c = (0;1;1).

(Ответ. 1), 3) – компланары; 2), 4) – не компланары).

Задание 1.50. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , если

=8i +3

−2

= 3

−

= 4i.

= i −5

= −5i +2

= −3i −2

−2

3)a = (5;−3;2), b = (−6;3;4), c = (−8;6;−5).

4)a = (−1;3;4), b = (2;5;2), c = (1;2;3).

(Ответ. 1) 12; 2) 179; 3) 33; 4) 27.

Задание 1.51.	Даны	вершины пирамиды точки A(3;2;1),
B (4;0;−1), C (	2;−1;0),	D (4;2;5). Вычислить длину высоты тре-

угольной пирамиды, опущенной из вершины D.

(Ответ. 1252 ).

Задание 1.52. Определить длину высоты параллелепипеда

ABCDA1B1C1D1 , если AB = (−1; 2; 5), AA1 = (2; 1; −1), AD = (4; −3; 2).

(Ответ. 65870 ).

Задание 1.53. Объем пирамиды с вершинами в точках A(4;1;2),

B (6;3;7), C (2;3;1), D (x;−4;8) равен 5113 куб.ед. Найти х.

(Ответ. x1 = −5; x2 = 46 13 .

Задание 1.54. Объем треугольной пирамиды равен 9 куб.ед. Три ее вершины находятся в точках A(4;−1;2), B (5;1;4), C (3;2;−1).

Найти координаты четвертой вершины D, если она находится на оси Oz.

(Ответ. D (0; 0; 3)).

Задание 1.55. Объем тетраэдра V = 5, три его вершины находятся в точках A(2; 1; −1), B (3; 0; 1), C (2; −1; 3). Найти координаты

четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.

(Ответ. D1 (0; 8; 0), D2 (0; −7; 0).

Задание 1.56. Убедившись, что векторы a = 7i +6 j −6k,

b = 6i +2 j +9k можно рассматривать как ребра куба, найти его третье ребро.

(Ответ. ±(6i −9 j −2k )).

Тема 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

2.1. Таблица производных, правила дифференцирования

f (x)

f '

u (f (x))

u '

–

u '

n xn−1

n un−1 u '

sin x

cos x

sin u

cosu u '

cos x

−sin x

cosu

−sin u u '

tgx

tg u

u '

cos2 x

cos2 u

ctgx

−

ctg u

−

u '

sin2 x

sin2 u

eu u '

ax ln a

au ln a u '

ln x

ln u

1 u '

loga x

loga u

u '

x ln a

u ln a

arcsin x

arcsin u

u '

1− x2

1−u2

arccos x

−1

arccosu

−1

u '

1− x2

1−u2

arctg x

arctg u

u '

1+ x2

1+u2

arcctg x

−1

arcctg u

−1

u '

1+ x2

1+u2

Правила дифференцирования

2.2. Вычисление табличных производных

Примеры решения задач

2.1. Найти производную y ' от функций:

а) y = 5tgx −2x +17 .

y ' = 5(tgx)'−(2x )'+(17 )' = 5 cos12 x −2x ln 2. б) y = arcsin x x .

y ' = (arcsin x)' x12 + x12 ' arcsin x =

−1

arcsin x.

1− x2

в) y =

sin x

(ln x)

ln x

−

cos x ln x −

sin x

y ' =

(sin x)' ln x

' sin x

(ln x)2

2.2.

Найти

значение

производной

функций

y = x5 +

−10 в

3 x

точке x0 =1.

Решение. Найдем производную функции

y ' = (x5 )' +3 x−13 ' −(10)' = 5x4 +3 −13 x−43 .

Найдем значение y ' в точке x0 =1: y '(1)= 5 14 +3(−13 ) 1−43 = 5 −1 = 4.

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2.1. Найти производные

1.y = x3 − x35 +2tgx.

2.y = x12 +3arcctg x −6.

3.y = x44 + x44 −54x +6.

4.y = 3x − 3x +2arcsin x.

5.y = ex −2arctgx +56.

6.y = 2log2 x +3x −12ctg x

7.y = (sin x −5x ) (x3 +1).

8.y =(2x7 +3ln x) (tgx +cos x).

9.y = (4 +arcctgx) (log3 x −1).

y ' от функций:
	1
10. y = arccos x x −			+1 .
10. y = arccos x x −			+1 .
		x

11. y = (2sin x −3cos x) 3x.

	4		3	(2ctgx +7).
12. y =		− x

	4 x3
	4 x3

13. y =		x		.
	1−cos x

14. y = 2x −7cos x . arctgx

15. y = 4sin x .

3x3 +5x

y= arccos x = 3x2 .

16.ex +1

17.y = 5 +3x +2arccos x. 1−tgx

18. y =	ex +2	−2x sin x.
	2 −cos x

Задание 2.2. Найти значение производной y '(x)от функции у в точке x = x0 .

1.	y = −	5 x6 + 2x3 − x; x		=1. (Ответ. 0).
		6	0
		6
2.	y = 2x +ln 2 x3 −		12;	x = 2. (Ответ. 16ln2).
				0

3.y = x3 + 2 ; x0 = −1. (Ответ. – 4/3).

x3 −2

4.y = arccosx2 +1x ; x0 =1. (Ответ. π −1).

2.3. Производные высших порядков

Производная второго порядка вычисляется по формуле:

y" =(y ')'. (2.1)

Производная n-го порядка вычисляется по формуле:

								y(n) =(y(n−1) )' .			(2.2)
				Примеры решения задач
2.3. Найти	значение							второй		производной	функции
y = 1 x3 − x2 + 4x −1 в точке								x = −2.
3
Решение.		1	x	3	− x	2			2	−2x + 4.
Решение.	y ' =	3	x		− x		+ 4x −1 ' = x			−2x + 4.
		3
	y" =(x2 −2x + 4)' = 2x −2.

Значение второй производной в точке x = -2: y"(−2)= 2(−2)−2 = −6.

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2.3. Найти значение второй производной y" от функции

ув точке x = x0 .

1.y = 3x , x0 = 0. (Ответ. (ln 3)2 ).

2.y = cos x, x0 =π. (Ответ. 1).

3.y = x sin x, x0 = 0. (Ответ. 2).

4.y = 1+xx2 , x0 =1. (Ответ. − 12 ).

2.4. Производные сложной функции

Если y = f (u) и u = g(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции от функции (сложной функции) y = f (ϕ(x)) равна произведению производной данной функции у по

промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента и по независимой переменной х:

y′x	= yu′ u′x	(2.3)
Примеры решения задач
2.4. Найти производную y '	от функций:a) y = sin 2x tg (x − π6 );

б) y = earcsin(x ).

Решение. a) y ' = (sin 2x)' tg (x − π6 )+(tg (x − π6 ))' sin 2x =

=cos 2x (2x)' tg (x − π6 )+ cos2 (1x − π6 ) (x − π6 )' sin 2x =

=2cos 2x tg (x − π6 )+ cos2 (1x − π6 ) sin 2x.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20251.65 Mб0Основы анатомии, физиологии и гигиены.pdf
#
29.11.202526.68 Mб0Основы архитектурного рисунка. Ч. 1.pdf
#
29.11.20251.74 Mб2Основы базовой подготовки в баскетболе.pdf
#
29.11.20253.64 Mб0Основы бизнеса на иностранном языке.pdf
#
29.11.20255.02 Mб4Основы военной психологии и педагогики.pdf
#
29.11.20251.4 Mб0Основы высшей математики.pdf
#
29.11.20251.56 Mб0Основы геоэкологии и геоинформационных систем. Базовые средства ArcView GIS 3.x.pdf
#
29.11.20251.06 Mб0Основы геоэкологии и геоинформационных систем. Построение пространственных моделей средствами ArcView GIS и Spatial Analyst.pdf
#
29.11.20252.72 Mб0Основы идеологии белорусского государства.pdf
#
29.11.2025823.21 Кб1Основы инженерных изысканий.pdf
#
29.11.20254.71 Mб0Основы информатики, компьютерной графики и педагогические программные средства.pdf