Основы высшей математики

которая под их действием перемещается прямолинейно из точки

M1 (7;1;3) в точку M2 (10;4;4).

Решение. Равнодействующая сил равна

F= F1 + F 2 + F3 = (1;4;24),

авектор перемещения M1M2 = S = (3;3;1). Тогда работа (см. формулу (1.10)) равна

A = F S =1 3 +4 3 +24 1 =39.

Ответ. 39.

Задачи для самостоятельного решения

b = j −5k .Вычислить:

1) a b; 2) a i; 3) b j; 4) (a +b)k; 5) (a −2b)(k +i −3 j).

(Ответ. 1) −10; 2) 3; 3) 1; 4) −4; 5) 28.

Задание 1.21. Даны векторы a = m i +3 j +4 k и

b = 4i +m j −7k . При каком значении m векторы a и b перпендикулярны? (Ответ. 4).

вычислить:1)(3a −2b,b +3c),2) a +2b −3c 2 .

(Ответ.1)–72; 2) 373).

Задание 1.23. Даны вершины ∆ABC : A(1;2;1), B (3;−1;7),

C (7;4;−2). Вычислив внутренние углы треугольника, убедиться, что этот треугольник – равнобедренный.

21

Задание 1.24. Даны три вектора a = i −2 j +2k , b = 2i + j −2k , c =10i +4 j +2k . Найти: 1) прa b, 2) прa (b +c), 3) прa+b c, 4)прa (2a −3c).

Задание 1.29. Даны два вектора a = (8;4;1), b = (2;−2;1). Найти

вектор c , компланарный векторам a и b , перпендикулярный к век-

тору a и равный ему по длине, образующий с вектором b тупой угол.

(Ответ. c = (− 52 ; 112 ; − 42 )).

22

Задание 1.31. Найти такое число α , чтобы косинус угла между векторами a = i +2 j +2k и b = 3i + j был равен 125 .

(Ответ α = ± 475 ).

Задание 1.32. Определить работу силы F , если F =15H , кото-

рая действуя на тело, вызывает его перемещение на 4 м под углом π3

к направлению действия силы.

(Ответ. 30 Дж).

Задание 1.33. Вычислить работу, производимую силой F = 3i −2 j −5k , если точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2;−3;5) в положение B (3;−3;−1).

(Ответ. 33).

Задание 1.34. Тело движется прямолинейно под действием силы

23

Задание 1.36. Под действием силы F = (2;4;6) точка перемещается параллельно вектору S = (3;2;−1) на отрезок, равный длине

вектора S . Вычислить работу силы F и угол, составленный векторами силы и перемещения.

(Ответ. A = 8, cosϕ = 2 7 ).

Задание 1.37. Даны точки A(1;−2;5), B (3;−1;4), C (1;2;2),

D (−1;1;3). Показать, что четырехугольник ABCD – параллелограмм и вычислить его углы.

(Ответ. arccos 1021 , π −arccos 1021 ).

Задание 1.38. Найти вектор b , ортогональный вектору a = i +2 j −k и удовлетворяющий условиям: (b,i)= 3; (b, j)= 2.

(Ответ. b = 3i + j +5k ).

Задание 1.39. Дан вектор a = 5i +2 j +3k . Найти вектор b , удовлетворяющий условиям: (b,i)= 2; (b, k )= −1, (a,b)=3.

(Ответ. b = 2i −2 j −k ).

1.4. Векторное произведение векторов

24

2. Вектор a, b перпендикулярен к плоскости векторов a и b ,

т.е. c a, c b .

3. Векторы a, b и c образуют правую тройку векторов.

Основные свойства векторного произведения

1.a ×b = −(b×a).

2.(λa)×b = λ(a ×b)= a ×(λb).

3.a ×(b +c)= a ×b +a ×c .

4.a ×b = 0 a b – необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a и b .

5.a ×b = S , где S – площадь параллелограмма, построенного на

векторах a и b , имеющих общее начало в точке О (рис. 2).

c = a ×b

b

0

S

a

Рис. 2

Если a = (x1, y1, z1 ) и b = (x2, y2, z2 ), то векторное произведение a ×b в координатной форме имеет вид:

25

= (y1z2 − y2z1 )i +(x2z1 − x1z2 ) j +(x1y2 − x2 y1 )k.

Площадь треугольника, построенного на векторах a и b , опреде-

С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий момент M силы F , приложенной к точке В тела, закрепленно-

Примеры решения задач

1.17. Заданы векторы a1 = (3;−1;2) и a2 = (1;2;−1). Найти координаты вектора 2a1 −a2, 2a1 +a2 .

Решение. Найдем координаты векторов 2a1 −a2, 2a1 +a2 .

2a1 −a2 = 2(3;−1;2)−(1;2;−1)= (5;−4;5), 2a1 +a2 = 2(3;−1;2)+(1;2;−1)= (7;0;3).

= −12i +20 j +28k.

Значит, координаты искомого вектора (−12; 20; 28).

1.18. Вычислить площадь параллелограмма, три вершины которого находятся в точках A(4;3;2), B (2;3;4), C (1;1;1).

26

Решение. Пусть a = AB = −2i +2k, b = AC = −3i −2 j −k. Пло-

щадь параллелограмма равна модулю векторного произведения:

Следовательно площадь параллелограмма

S = a ×b = 42 +(−8)2 +42 = 96 = 46 (кв.ед.).

Ответ. 46 (кв.ед.).

1.19. Даны вершины треугольника A(4;3;2), B (2;3;4), C (1;1;1). Определить длину высоты, опущенной из точки В на сторону АС, и вычислить площадь ABC .

Ответ. 5; 12,5.

27

1.20. Найди модуль момента силы F = 3i +2 j +k относительно точки A(1;2;−1), если B (2;−1;3) – точка приложения силы F .

Решение. Момент M силы F относительно точки А равен S ×F ,

1.21. Три силы F1 = (2;4;6), F2 = (1;−2;3), F3 = (1;1;−7) прило-

жены в точке A(3;−4;8). Определить величину момента равнодей-

ствующей этих сил относительно точки B (4;−2;6). Решение. Найдем равнодействующую трех сил

F = F1 +F2 + F3 = (2 +1+1; 4 −2 +1; 6 +3 −7)= (4;3;2).

Определим координаты вектора BA :

BA = (3 −4; −4 +2; 8 −6)= (−1; −2; 2).

Следовательно, BA×F = (−10)2 +102 +52 = 225 =15.

Ответ. 15.

28

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1.40. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы a = 2i +3 j −k и b = i − j +k .

(Ответ.38 ).

Задание 1.41. Дан треугольник с вершинами A(4;−14;8), B (2;−18;12), C (12;−8;12). Найти длину его высоты, опущенной

x i = 3,

x×i = −2k.

(Ответ. x = (3; 2; 0)).

Задание 1.44. Найдите вектор x , зная, что он ортогонален векторам a = (2; 3; −1) и b = (1; −1; 3) и удовлетворяет уравнению

x (2i −3 j +4k )= 51.

(Ответ. (24;−21;−15)).

Задание 1.45. Сила F = 2i −4 j +3k приложена к точке A(4;5;−2). Найдите момент силы относительно начала координат.

(Ответ M = (7; −16; −26) ).

Задание 1.46. Сила P = (2; 2; 9) приложена к точке A(4;2;−3).

Определить величину момента этой силы относительно точки

B (2;4;0).

(Ответ. M = 28 ).

29

Задание 1.47. Даны силы M = (2;−1;3), N = (3;2;−1),

P = (−4;1;3), приложенные в точке C (−1;4;−2). Определить ве-

личину момента равнодействующей этих сил относительно точки

A(2;3;−1).

(Ответ. M = 66 ).

Задание 1.48. Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C, D. Вычислить: а) площадь грани ACD; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра АВ и вершины С и D, если

1.5. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов a,b,c называется число [a,b]c , которое получается скалярным умножением векторного

произведения двух векторов a и b на третий вектор c , и обозначает-

ся a b c или (a, b, c) .

Свойства смешанного произведения

При круговой перестановке множителей смешанное произведение не изменяется; при перестановке, нарушающих их круговой порядок, смешанное произведение меняет свой знак.

1.a b c = c a b =b c a = −b a c = −c b a = −a c b.

2.[a, b] c = a [b, c].

3. (α1a1 +α2 a2, b, c) =α1 (a1, b,c)+ α2 (a2, b,c); α1, α2 R.

30