Основы высшей математики

Если вектор AB имеет начало в точке A(xA, yA, zA ) и конец в точке B (xB , yB , zB ), то его координаты

AB = (xB − xA, yB − yA, zB − zA ).

11

Следовательно, cosα = aax ; cos β = aay ; cosγ = aaz ;

Решение. По определению суммы векторов получаем:

AC = AB + BC = AB + AD = a +b;

AC1 = AB + BC +CC1 = AB + AD + AA1 = a +b +c.

По определению разности двух векторов находим:

D1B1 = A1B1 − A1D1 = AB − AD = a −b; B1C = BC − BB1 = AD − AA1 = b −c.

Теперь найдем D1B и DB1 .

D1B = D1D + DA + AB = −AA1 − AD + AB = a −b −c. DB1 = DA + AB + BB1 = −AD + AB + AA1 = a −b +c.

1.7. Даны векторы a = (1;−2;3), b = (2;1;−4). Найти векторы

c = a +b; d = a −b, p = 3a +2b; q = 5a −4b.

Решение.

c = a +b =(1;−2;3)+(2;1;−4)= (1+2;−2 +1;3 −4)=(3;−1;−1);

12

d = a −b = (1; −2; 3)−(2; 1; −4)= (1−2; −2 −1; 3 −(−4))= (−1;−3; 7);

p= 3a +2b = 3(1; −2; 3)+2(2; 1; −4)=

=(3 1+2 2; 3 (−2) +2 1;3 3 +2 (−4))=(7;−4; 1);

q= 5a −4b = 5(1; −2; 3)−4(2; 1; −4)=

=(5 1−4 2; 5 (−2) −4 1;5 3 −4 (−4))= (−3;−4;−31).

1.8.Вычислить периметр треугольника АВС с вершинами в точках

A(8;0;7); B (10;2;8); C (10;−2;8).

Решение. Найдем длины сторон AB, BC, AC.

AB = AB = (10 −8)2 +(2 −0)2 +(8 −7)2 = 22 +22 +12 = 3; BC = BC = (10 −10)2 +(2 −2)2 +(8 −8)2 = (−4)2 = 4;

AC = AC = (10 −8)2 +(−2 −0)2 +(8 −7)2 = 22 +(−2)2 +12 = 3.

Значит, периметр треугольника p = 4 +3 +3 =10.

D (0;0;0)в одной плоскости.

Решение. I способ. Если векторы DA, DB, DC лежат в одной плоскости (компланарны), то и точки A, B,C, D лежат в одной плос-

13

что только l1, l2, l3 образуют базис и найти координаты вектора a в

этом базисе.

Решение. Вычислим определитель, составленный из координат векторов l1, l2, l3 .

14

1) a −b; 2) d −a; 3) a −b +c; 4) a −b −c; 5) − 13 d.

15

5)1 ;− 4 ; 1 .

9 5 21

Задание 1.8. Найти координаты точки В, если известны коорди-

Показать, что ABCD – трапеция.

Задание 1.10. Двумерный вектор a образует с осью Ох угол α и имеет длину а. Определите координаты вектора a , если: 1) α = 00, a = 3; 2) α = 900, a = 2; 3)α =1350, a = 3; 4) α = −1200, a = 5;

5) α = −300, a = 4. (

Задание 1.11. Трехмерный вектор a составляет с координатными осями Ox и Oy углы α = 600 и β=1200 . Вычислить его координаты, если a = 2.

(Ответ. a1 = (1; −1; 2 )или a2 = (1; −1; −2 )).

Задание 1.12. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = (3; −5; 8), b = (−1; 1; −4).

(Ответ. 6; 14).

Задание 1.13. Даны точки A(1;0;k ), B (−1;2;3), C (0;0;1). При

каких значениях k треугольник АВС является равнобедренным? (От-

вет. 3,75; 2).

16

Задание 1.14. Даны точки A(4;4;0), B (0;0;0), C (0;3;4),

D(1;4;4). Докажите, что ABCD – равнобочная трапеция.

Задание 1.15. Даны точки A(−1;2;3), B (−2;1;2) и C (0;−1;1).

Найдите точку равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) xOy; б) yOz; в) zOx.

(Ответ. a) (38 ;178 ;0); б) (0;1; 32); в) (− 13 ; 0; 17 6). ).

Задание 1.16. Даны точки O (0;0;0), A(4;0;0), B (0;6;0) и

C (0;0;2). Найти: а) координаты центра и радиус окружности, описанный около ∆ AOB ; б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра ОАВС. (Ответ. а) (2;3;0), 13; б) (2;3;−1). ).

Задание 1.17. Даны векторы a = (3; −2; 1), b = (−2; 3; 1). Найти: a) a +b ; б) a + b ; в) a − b ; г) a−b .

(Ответ. a) 6; б) 214; в) 0; г) 52 )).

Задание 1.18. В некотором базисе заданы векторы:a = (1; 1; 2), l1 = (2; 2; −1),l2 = (0; 4; 8),l3 = (−1; −1; 3). Убедитесь, что l1 , l2 , l3 образуют базис и найдите в нем координаты вектора a .

(Ответ. a = (1;0;1)).

Задание 1.19. Доказать, что векторы a = (5; 4; 1), b = (−3; 5; 2), c = (2; −1; 3) образуют базис, и найти координаты вектора d = (7;23; 4) в этом базисе. (Ответ. d = (3;2;−1)).

17

1.3. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов a и b называется число,

равное произведению длин этих векторов на косинус угла ϕ между ними: