Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы высшей математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 2»

С.Ю. Лошкарева О.П. Очеретняя

ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Методическое пособие к практическим занятиям

Минск

БНТУ

2011

УДК 51(075.8)

ББК 22.1я7

Л 81

Рецензенты:

В.В. Карпук, Н.А. Шавель

Лошкарева, С.Ю.

Л 81 Основы высшей математики: методическое пособие к практическим занятиям / С.Ю. Лошкарева, О.П. Очеретняя. – Минск: БНТУ,

2011. – 55 с.

ISBN 978-985-525-681-7.

В методическом пособии приводятся примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения по курсу «Основы высшей математики».

УДК 51(075.8) ББК 22.1я7

	© Лошкарева С.Ю, Очеретняя О.П., 2011
ISBN 978-985-525-681-7	© БНТУ, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
ТЕМА 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ВЕКТОРЫ.........................................	5
1.1. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.
Решение СЛАУ методом Крамера.......................................	5
Примеры решения задач ..........................................................	6
Задачи для самостоятельного решения...................................	8
1.2. Линейные операции над векторами.
Координаты вектора............................................................	10
Примеры решения задач ........................................................	12
Задачи для самостоятельного решения.................................	15
1.3. Скалярное произведение векторов ............................	18
Основные свойства скалярного произведения.....................	18
Примеры решения задач ........................................................	19
Задачи для самостоятельного решения.................................	21
1.4. Векторное произведение векторов.............................	24
Основные свойства векторного произведения.....................	25
Примеры решения задач ........................................................	26
Задачи для самостоятельного решения.................................	29
1.5. Смешанное произведение векторов...........................	30
Свойства смешанного произведения....................................	30
Примеры решения задач ........................................................	32
Задачи для самостоятельного решения.................................	34
ТЕМА 2. ПРОИЗВОДНЫЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ........................	36
2.1. Таблица производных,
правила дифференцирования............................................	36
Правила дифференцирования...............................................	37
2.2. Вычисление табличных производных......................	37
Примеры решения задач........................................................	37
Задачи для самостоятельного решения................................	38
2.3. Производные высших порядков................................	39
Примеры решения задач........................................................	39
Задачи для самостоятельного решения................................	40
2.4. Производные сложной функции ................................	40
Примеры решения задач........................................................	40
Задачи для самостоятельного решения................................	41
2.5. Производные неявных функций................................	42
Примеры решения задач........................................................	42

Задачи для самостоятельного решения................................	43
2.6. Приложения производной............................................	43
Задачи для самостоятельного решения................................	43
2.7. Уравнение касательной к графику функции,
точки экстремума.................................................................	44
Примеры решения задач........................................................	44
Задачи для самостоятельного решения................................	45
ТЕМА 3. ИНТЕГРАЛЫ........................................................................	47
3.1. Таблица интегралов, правила интегрирования......	47
Примеры решения задач........................................................	47
Задачи для самостоятельного решения ................................	48
3.3. Интегрирование методом замены переменной........	49
Примеры решения задач........................................................	49
Задачи для самостоятельного решения ................................	50
3.4. Метод интегрирования по частям..............................	51
Примеры решения задач........................................................	51
Задачи для самостоятельного решения ................................	51
3.5. Вычисление определенных интегралов....................	52
Примеры решения задач........................................................	52
Задачи для самостоятельного решения ................................	54

Тема 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ВЕКТОРЫ

1.1. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка. Решение СЛАУ методом Крамера

Для определителя употребляются следующие обозначения

∆, det A, det (aij ).

Определители 2-го порядка вычисляются по формуле (1.1)

∆ =	a11	a12	= a a	22	−a a	21	.	(1.1)

	a21	a22	11		12

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов, стоящих на главной (a11 a22 ) и побочной

(a21 a12 ) диагоналях

Определители 3-го порядка вычисляются по формуле (1.2)

	a11	a12	a13
	a11	a12	a13
∆ =	a21	a22	a23	= a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −
	a31	a32	a33
−a13 a22 a31 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33.					(1.2)

Для запоминания формул вычисления определителей можно воспользоваться «правилом треугольников» (правило Саррюса).

–

Система из двух линейных уравнений с 2 неизвестными и система из трех линейных уравнений с тремя неизвестными записывается так:

a x	+a x	= b	,	a x	+a x	= b ,
a x	+a x	= b	,	11 1	12 2	1
11 1	12 2	1		a21x1 +a22x2 = b,
a21x1 +a22x2 = b2.				a x	+a x	= b
				31 1	32 2	3.

Если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера (1.3).

x	=	∆i ,	i =		,	(1.3)
				1, n
i		∆

где ∆ – определитель матрицы системы;

∆i – определитель, полученный из определителя заменой его i-го столбца столбцом свободных членов.

Примеры решения задач

−3 4

1.1. Вычислить определитель −5 8 .

Решение. Вычисляя по формуле (1.1) получим

−3 4 = −3 8 −4 (−5)= −24 +20 = −4.

−5 8

	1	2	3
	1	2	3
1.2. Вычислить определитель	4	5	6	.
	7	8	9

Решение. Вычисляя по формуле (1.2), получим

1	2	3
1	2	3
4	5	6	=1 5 9 +2 6 7 +3 4 8 −3 5 7 −2 4 9 −1 6 8 =
7	8	9
			= 45 +84 +96 −105 −72 −48 = 0.

	x2	x	1
	x2	x	1
1.3. Решить уравнение	1	−1	1	= 0.
	4	2	1

Решение. Вычисляем по формуле (1.2).
x2	x	1
1	−1	1 = x2 (−1) 1+ x 1 4 +1 1 2 −1 (−1) 4 − x 1 1− x2 1 2 =
4	2	1

= −x2 +4x +2 +4 − x −2x2 = −3x2 +3x +6 = −3(x2 − x −2)= = −3(x +1)(x −2)= 0 x1 = −1, x2 = 2.

			4x + x = 5,
1.4. Решить систему уравнений				1	2
			3x1 −2x2 =12.
Решение. Вычислим определитель системы по формуле (1.1).
∆ =	4	1	= 4 (−2)−1 3 = −8 −3 = −11.
∆ =	4	1	= 4 (−2)−1 3 = −8 −3 = −11.
	3	−2

Так как −11 ≠ 0 , то можем вычислить ∆1

и ∆2

по формуле (1.1), а

затем x1

и x2

по формуле Крамера (1.3).

∆ =

= −10 −12 = −22.

∆

= 48 −15 = 33.

−2

x =

∆1 =

−22

= 2.

∆2

= −3.

−11

∆

−11

1.5. Решить систему уравнений

x +2x

=10,

3x1 +2x2 + x3 = 23,

x2 +2x3 =13.

Решение. Вычислим определитель системы
										1	2	0
										1	2	0
									∆ =	3 2 1			= 4 −1−12 = −9.
										0	1	2
Вычисляя по формулам (1.2) и (1.3), получим
			10			2	0		= 40 +26 −10 −92 = −36 x							∆1		−36
			10			2	0
∆ =			23 2 1												=		=		= 4.
1			13			1	2							1		∆		−9
			13			1	2
					1	10	0							x =		∆2		−27
					1	10	0
∆	2	=			3 23 1				= 46 −13−60 = −27								=		= 3.
	2				0	13	2							2		∆		−9
					0	13	2
				1		2	10							x =		∆3		−45
				1		2	10
∆	3	=		3 2 23				= 26 +30			−23 −78 = −45						=		= 5.
	3			0		1	13							3		∆		−9
				0		1	13

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1.1. Вычислить определители второго порядка.

1.	−1	4	.			2.		cosα	−sinα			3.		5			3	.
1.	−1	4	.			2.		cosα	−sinα			3.		5			3	.
	−5	2						sinα	cosα						3	1
						x					131	231	.
		4.			x	x		.	5.		131	231	.
				1			x			−130		−230

(Ответ. 1) 18. 2) 1. 3) 2. 4) 0. 5) -100).

Задание 1.2. Вычислить определители третьего порядка.

	1 −3 1									−2 0 2															6 4 2
	1 −3 1									−2 0 2															6 4 2
1.	0 1 3				.				2.			2 −1 −2					.							3.	7 5 1		.
	0 −1 3											1 −2 1													3 2 4
						2			1	1									2	4	1
						2			1	1									2	4	1
				4.			1 −4 −1						.		5.				3 4 2				.
						−1			8	3									4	1	−3
(Ответ. 1) 6. 2) 4. 3) 6. 4) -6. 5) 27).
Задание 1.3. Решить уравнения.
			x −2 2															x		x +1 x +2
			x −2 2															x		x +1 x +2
	1.		1	x −1				= 0.							2.	x +3 x +4 x +5										= 0.
			1 −1 1													x +6 x +7 x +8
(Ответ. 1) x1 =1;							x2 = 2. 2) x R.).
Задание 1.4. Решить системы уравнений.
1.	5x +3x = 21,													6x +5x						=1,	3.			3x +4y = 6,
1.		1		2								2.			1			2		= 5.	3.
	2x1 +7x2 = 20.													8x1 +3x2						= 5.				−5x −3y = 4.

	5x −3y = 5,										3x +2y = 5,										x + 2y = 4,
	5x −3y = 5,										3x +2y = 5,										x + 2y = 4,
4.				4y = 3.		5.														6.
4.						5.				x + 3y =1.										6.		2x −3y = 2.
	6x −									x + 3y =1.												2x −3y = 2.

		x +4x − x = −9,														3x +4x +2 x −8 = 0,
		1		2		3														1	2			3
7.	4x1 − x2 +5x3 = −2,														8.				x1 +5x2 +2x3 −5 = 0,
				3x +7x = −6.												2x +3x +4x −3 = 0.
				2		3														1	2			3

3x1 +4x2 −2x3 =11,

9. 2x1 − x2 − x3 = 4,

3x1 −2x2 +4x3 =11.

	2x +3y −		z =1,
10.		x +2y −	4z = 9,


	−x −12y +14z =1.

	x −2y +4z = 9,
11.			3y −	z = 0,
	2x +
		x +	y +	z = 2.

(Ответ. 1. x1 = 3, x2 = 2; 2. x1 =1, x2 = −1; 7. x1 = −1, x2 = −2; x3 = 0; 8. x1 = 2, x2 =1, x3 = −1; 9. x1 = 3, x2 =1, x3 =1;

10.(133 ;−133 ;−103 ); 11.(523 ; 12 ;−116 )).

1.2.Линейные операции над векторами. Координаты вектора

К линейным операциям над векторами относятся сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на число.

а) Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.a +b = b + a (коммутативно);

2.(a +b)+ c = a + (b + c)(ассоциативно);

a +

;

+(−

0, a;

α (β

)= (αβ)

, при α,β R;

;

(α + β)

=α

+ β

, при α,β R (дистрибутивно по

от-

ношению к сложению чисел);

α (

)=α

+α

, при

; α R (дистрибутивно

по

отношению к сложению векторов).

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20251.65 Mб0Основы анатомии, физиологии и гигиены.pdf
#
29.11.202526.68 Mб0Основы архитектурного рисунка. Ч. 1.pdf
#
29.11.20251.74 Mб0Основы базовой подготовки в баскетболе.pdf
#
29.11.20253.64 Mб0Основы бизнеса на иностранном языке.pdf
#
29.11.20255.02 Mб4Основы военной психологии и педагогики.pdf
#
29.11.20251.4 Mб0Основы высшей математики.pdf
#
29.11.20251.56 Mб0Основы геоэкологии и геоинформационных систем. Базовые средства ArcView GIS 3.x.pdf
#
29.11.20251.06 Mб0Основы геоэкологии и геоинформационных систем. Построение пространственных моделей средствами ArcView GIS и Spatial Analyst.pdf
#
29.11.20252.72 Mб0Основы идеологии белорусского государства.pdf
#
29.11.2025823.21 Кб0Основы инженерных изысканий.pdf
#
29.11.20254.71 Mб0Основы информатики, компьютерной графики и педагогические программные средства.pdf