Определенный интеграл
.pdfхг |
|
/0 a xVl + (y^)2dx |
|
= у. = — |
j |
||
с |
jc |
ra I |
|
|
|
/о V l + |
( X ) 2 d x |
х 2 / з + у 2 / 3 = А 2 / з = > у = ( А 2 / з - Х 2 /З ) 3 / 2 ,
У ' О ) = ~ ( а 2 / з - х 2 / з ) § .
1 + (у;)2 |
= а2 /з.Н/ |
||
а |
|
|
а |
/ х л / 1 + (У*)2 dx = аа/з | х2/з dx = |а2 , |
|||
О |
|
|
о |
а |
а |
|
|
J Vl + 0:02dx = J aV3X-|dx = ^a, |
|||
О |
о |
|
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
*С = Ус = V " |
= -ра. |
||
|
|а |
5 |
|
70
Задания для аудиторных занятий и задания для внеаудиторной работы
Занятие № 1
Определенный интеграл как предел интегральной суммы Римана. Основные свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница
Задания для аудиторных занятий
Задания 1 уровня
1. Вычислить интеграл
j8 х dx
о
как предел интегральной суммы.
2. Определить знак интеграла
1
/ х inxdx.
1
3
не вычисляя его.
3. Не вычисляя значений интегралов
1 1
J х dx и j х2 dx,
оо
установить, величина какого из них больше.
4.Найти среднее значение функции f{x) = 5х + 2 на отрезке [-2; 2].
5.Оценить интеграл
71
|
|
/ V ?+ x2 dx. |
|
|
|
|
о |
|
|
|
6. Вычислить интегралы: |
2 |
|
|
a) j |
е3х+2 dx; |
|
||
б) j dx |
|
|||
|
о |
|
X +• X3 ' |
|
|
|
1 |
|
|
|
тг |
|
тг |
|
|
4 |
|
2 |
|
в) |
Г |
sin 5х • cos Зх dx; |
Г COS X |
|
I |
г) I -г-=—dx. |
|||
у |
J |
|
J sm-5 |
х |
|
|
|
TT |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
Задания 2 уровня |
|
|
|
1. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
J ех |
dx |
|
|
|
о |
|
|
как предел интегральной суммы. |
|
|||
|
2. Определить знак интеграла |
|
||
|
|
-I11х3 • ех dx, |
|
|
не вычисляя его. |
|
|
||
|
3. Не вычисляя значений интегралов |
|
||
|
TT |
ТТ |
ТЕ |
Tt |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
a) j |
sin3 х dx и J sin7 x dx; |
6) j sin x dx и j x2 dx, |
||
|
o |
o |
o |
o |
установить, величина какого из них больше.
4. Найти среднее значение функции у = tgx на отрезке [0;?].
72
5. Оценить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
тс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
г |
|
Г sinx J |
|
|
|
|
_ |
f x г |
+ 5 |
|
|
IT |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|||
Tt |
|
_ |
Гr ( x + |
3x |
|
)dx |
|
|
|
r cos> xdx |
3 |
|
|
|
|||||
? |
33 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i , ! I * T s T ? " : |
6 ) |
X4 + 1 |
|
|
|
||||
ft |
, - |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
42 |
dx |
|
* |
cos 2x |
|
|
f . |
||
Г |
|
f 1 + |
|
|
|||||
j |
|
Г ) J J — Г |
|
" ' Д |
) |
J S m 3 X d X ' |
|||
Задания для внеаудиторной работы
1. Вычислить интеграл
г
0/х2 dx как предел интегральной суммы.
2. Определить знак интеграла
1
JУх dx,
-2
не вычисляя его.
3. Не вычисляя значений интегралов
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
a) I е*2 dx и |
| е dx; |
б) I . |
и |
— ; |
|
J |
|
J |
J V l T x 2 |
J |
* |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
установить, величина какого из них больше.
73
4. Найти среднее значение функции |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
fix) |
= 1 + х2 |
|
|
||
на отрезке [-1; 1]. |
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Оценить интегралы: |
|
|
тг |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
a) J |
е~*2 dx; |
|
|
|
б) J |
x-sinxdx. |
||
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
6. Вычислить интегралы: |
|
|
1 |
|
|||||
е |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Г 14In я:X |
|
|
|
|
|
Гf x X-3 dx |
|||
а ) |
J |
~ T |
~ |
d |
x |
6 |
) J |
|
—3x4-2' |
1 |
|
|
|
о |
|||||
Tt |
|
|
|
|
|
|
|
тг |
|
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
г) f sin4x dx. |
||||
в) [ — 5 — — — — ; |
|
|
|
|
|||||
J |
cos2 х • sin4 x |
|
|
|
|
|
J |
|
|
TT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
||
iA3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Минус. |
|
|
|
|
|
|
|
||
3. а) второй; б) второй. |
|
|
|
|
|
||||
^ |
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. a) i < / < 1; 6) 0 < / < ^ |
|
|
|
|
|||||
6 . a ) § ; |
6)H + |
81n^ + ln2; |
|
|
г) fit. |
||||
74
Занятие № 2
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле
|
|
Задания |
для аудиторных |
занятий |
||
|
|
|
|
Задания 1 уровня |
|
|
Вычислить интегралы: |
2 |
|
||||
|
9 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) JxVT^lcdac; |
2) j x V l 4- х2 |
|||||
3) |
0JiS? |
4)/r2. |
„ |
|||
+ V2x + 1 |
||||||
|
|
dx |
|
|
Г |
dx |
|
|
|
|
|
Tt |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
5) |
J |
tJ 4-х2 |
dx; |
|
6 ) J x - s i n x d x ; |
|
|
~2 |
|
|
О |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Щ/ arcsmx dx. |
||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Задания 2 уровня |
|
|
Вычислить интегралы: |
9 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
||
|
Г |
xdx |
|
|
Г Vx dx |
|
13 |
|
|
|
2 ) i v ^ T ; |
||
|
- 1 |
|
|
|
4 |
|
|
In 2 |
|
|
1 |
|
|
3) J |
V e ^ T d x ; |
4) |
J л/3 - 2x - x2 dx; |
|||
|
о |
|
|
|
-1 |
|
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
Г Vx2 - 4 |
^ |
6) |
f |
|
|
|
j |
— i ? — |
I x • arctgx dx; |
|||
тс
7 |
¥г |
Г х • sin ж dx |
|
7) J cos"2~x ; |
8 ) I e 3 z ' c °s 4х dx. |
0 |
о |
Задания для внеаудиторной работы
Вычислить интегралы: |
|
J |
х4 d x ; |
з
In 3
In 2
тг
2
5 ) / 2 + cosx; Tt
2
TT2
7) J sinVxdx;
о
TT
2
In 8
2) |
J - J * |
|
|
Ve* + 1' |
|
in з |
|
|
4 |
|
|
i |
/- |
dx; |
J |
Vx+1 |
|
о |
|
|
3 |
|
|
6 ) f |
|
dx; |
./ |
|
|
u |
|
|
8) |
f(,3X |
sin 4x dx; |
I |
|
|
оTt |
|
|
2 |
|
|
* s m * 4
Ответы:
1) 6;
2) In-; \ 2
3) - In - ;
J 2 2 4) 21n 3 ; _2T1_
b J i v f '
i o ) f
J 6 - 5 s i n x + sin2 0
С.Л 81
6) —тг;
J 16
7)2;
TC |
, |
V2 |
9) -J — In — ; |
||
4 |
4 |
2 |
10) In-. |
|
|
Занятие № |
6 |
Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур.
Вычисление длин дуг
Задания для аудиторных занятий
Задания 1 уровня
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой ху = 4, прямыми х = 1,х = 4 и осью ОХ.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 3x2 (x > 0), прямыми у — 1, у = 4 и отрезком оси OY.
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой
у= 2х + 3 и параболой у = ж2.
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ
иодной аркой циклоиды
д: = 2(t — sin t),
у— 2(1 — cos t).
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
р= a • tgф (а > 0) и прямой ф =
6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля р = 2 + cos ф.
7. Найти |
длину |
дуги полукубической параболы |
у2 = (х - I) 3 |
между точками Л(2; - 1 ) и В(5; - 8 ) . |
|
8. Найти длину развертки окружности |
||
|
х = |
2(cost + t • sint), |
|
у = |
2(sin t - t • cos t) |
от t = 0 до t = 2-TT.
9. Вычислить длину окружности p = 2a sin ф.
77
|
Задания |
2 уровня |
|
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями |
|||
у =• COS Х,у — х |
= 0,х = 3-тг. |
|
|
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями |
|||
у = х2 - Зх,у = 3 - х,у = -х2 |
+~,х = 0,х>0. |
|
|
|
8 |
2 |
|
3. Вычислить |
площадь фигуры, ограниченной |
астрои- |
|
дой |
|
|
|
|
(х = a cos3 t, |
|
|
|
Iу = a sin31. |
|
|
4. Вычислить |
площадь фигуры, ограниченной |
петлей |
|
кривой |
|
|
|
t 2 ,
У= g - ( 6 - t ) .
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
р= a sin 2ф.
6.Вычислить площадь части фигуры, ограниченной
замкнутой кривой р = a cos 3ф, лежащей внутри круга
р = | ( а > 0 ) .
7. Найти длину дуги кривой у = ^ (3 — х)л/х между точ-
ками ее пересечения с осью ОХ.
8.Найти длину дуги кривой
х= ес • cos t,
у — et • sin t
от t = 0 до t = 1.
9.Найти длину замкнутой кривой
р= а • sm4 —.
78
Задания для внеаудиторной работы
1.Река протекает по лугу, образуя кривую у = х — 2х2, единица длины 1 км, ось ОХ - линия шоссе. Сколько гектаров луга между шоссе и рекой?
2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 2 - х 2 , У3 = * 2 - |
|
|
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной |
парабо- |
|
лой |
у = ~х г + 4х — 3 и касательными к ней |
в точках |
М(0; |
- 3), iV(3; 0). |
|
4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
р= asin3cp.
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардио-
идой
|
|
|
(х |
= |
3(2 cos t — cos 21), |
|
|
|
|
(у |
= |
3(2sin t - |
sin 2t). |
6. Найти длину дуги кривой |
|
|||||
|
|
|
|
|
у = 1п(1 |
-х2) |
от х = — |
1 |
до х = |
1 |
|
|
|
2 |
- . |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
7. Найти длину дуги кривой |
|
|
||
(х |
= |
(t2 — 2) sin t + 2t cos t, |
|
|
ty |
= |
(2 - t 2 ) cost + |
2tsint |
|
от t = 0 до t — 71. |
|
|
|
|
8. Найти длину дуги кардиоиды р = 2(1 - |
coscp), нахо- |
|||
дящейся внутри окружности р = 1. |
|
|
||
Ответы: |
|
|
|
|
1.4- га. |
|
|
7 |
if. |
326 |
|
' 4 ' |
" 3 ' |
|
2-~. |
|
5.5471. |
8.8(2-л/3). |
|
15 |
|
6. 2-In 3 - 1 . |
|
|
3>9 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
79