Определенный интеграл

лепестками кривой р = asin3cp, равна четверти площади описанного круга.

4.Найти длину дуги кардиоиды р = 3(1 - coscp).

5.Определить объем тела, образованного вращением

8. Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием 20 м, нижним 10 м, высотой 6 м. Определить давление воды на плотину.

Вариант 4

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой ху = 1, параболой у — х2 и прямойу = 4.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

р= 4cos2cp.

90

3. Найти длину дуги кривой х = lnsecy между точками с

ординатами у = 0 и у = За.

4. Найти длину первого витка спирали Архимеда

Р= «Ф.

5.Найти площадь поверхности, образованной враще-

нием параболы у2 = 4ах вокруг оси абсцисс от х = 0 до

х— За.

6.Вычислить несобственные интегралы или доказать

7. Исследовать на сходимость интеграл

+ 00

/2 + sinx•cbr.

Ух

1

8. Какую работу надо затратить, чтобы поднять всю воду из цилиндрической цистерны диаметром 2 м и глубиной 4 м на высоту 15 м над верхним краем цистерны?

Вариант 5

1.Вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми

у= ех, у = е~х и прямой х = 1.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной одним лепестком кривой р = 5зтЗф.

3.Найти длину дуги кривой у = 1 - 1п(х2 - 1) между

точками с абсциссами х — 3 и х = 4.

4. Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями

Гt4

91

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг прямой х = 2 фигуры, ограниченной линиями

у— хг, у = 4.

6.Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

8. Определить силу, с которой вода давит на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой 10 м, верхнее - 6 м, а высота 5 м, если уровень погружения нижнего основания - 20 м.

Вариант 6

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у2 — 2х - 4 = 0, у + х = 0.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией

р= 4(1 - coscp).

х2

3. Найти длину дуги кривой у = — - 1, отсеченной

осью ОХ.

4. Найти длину дуги кривой

(х = 8sin t 4- 6cost, \у = 6sin t — 8cos t

Tt от t - 0 до t = — •

92

5. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси 0Y петли кривой 9ах2 = (За - у) у,

О< у < За.

6.Вычислить несобственные интегралы или доказать

7.Исследовать на сходимость интеграл

+СО

dx

I 5 + 2хг + Здг4

1

8. Вычислить силу, с которой вода давит на вертикальную стенку, имеющую форму эллипса, большая ось которого равна 6 м и находится на поверхности воды, а малая - 4 м.

Вариант 7

3. Найти длину дуги кривой у = 2 + arcsinV* + Vx - х2,

-<х < 1.

4

4. Найти длину линии р = 4(1 - sin ср), 0 < <р <

93

7. Исследовать на сходимость интеграл

8. Резервуар конической формы, имеющей высоту 3 м и радиус основания 90 см, расположен вертикально к поверхности Земли и наполнен водой. Какую работу нужно произвести, чтобы выкачать из него всю воду?

Вариант 8

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у2 = 4 х, х + Зу = 0.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями pcoscp = а, р — 2а.

3.Найти длину дуги полукубической параболы у2 = х3, отсекаемой прямой х = 6.

4.Найти длину дуги кривой, заданной уравнениями

5. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ кривой

—„21sm t,

у= e2t cos t

94

7.Исследовать на сходимость интеграл

+00

dx

2V1 + ж3'

8.Вычислить работу, производимую при растягивании пружины на 5 см, если известно, что сила, которая требуется для растяжения пружины, пропорциональна удлинению X пружины и что для удлинения пружины на 1 см требуется сила в 1 кг.

Вариант 9

р= 9(1 + coscp).

3.Найти длину кривой, заданную уравнениями

4.Найти длину дуги параболы у = — от вершины до

точки (2р; 1).

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Y фигуры, ограниченной: локоном Аньези

У= и параболой у = х2.

6.Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

2

95

7. Исследовать на сходимость интеграл

тт

4

О

8. Треугольник с основанием 30 см и высотой 20 см погружен вертикально в воду так, что его основание находится на поверхности воды. Определить давление воды на треугольник.

Вариант 10

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Л:2 + у - 3 = 0, Х + у - 1 = 0.

2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной

нием вокруг оси ОХ одной арки синусоиды у = sinx.

96

7. Исследовать на сходимость интеграл

/х2 (1 + 2ХУ

г

8. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз, радиус основания сосуда - 3 м, высота - 5 м.

Вариант 11

1. Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями у — х2 + Зх = 0, Зх + у — 4 = 0.

2.Вычислить площадь фигуры, описываемую радиу- сом-вектором спирали Архимеда р = аср при одном его обороте, если началу движения соответствует ср = 0.

3.Найти длину дуги кривой у = !n sinx, заключенной между точками, для которых х = ~,х —

4.Найти длину дуги

5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями у2 = (х + 4)3, х = 0 вокруг оси OY.

97

7. Исследовать на сходимость интеграл

1

Гdx

J VI -х4 '

о

8. Цилиндрический стакан наполнен ртутью. Вычислить силу давления ртути на боковую поверхность стакана, если его высота ОД м, а радиус основания 0,04 м. Плотность ртути 13 600 кг/м 3.

Вариант 12

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = 1 + 2- у = 2, у = 1 + х.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой

5. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой

(х = 2cost — cos2t, ( у = 2sint - sin2t

вокруг оси ОХ (0 < t < тс).

6. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

98

7.Исследовать на сходимость интеграл

+00

ГX 3 + 3 ,

In-г—-dx.

J X 3 + 1

1

8. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость удельного веса X из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной вверх конуса, высота которого равна Я, а радиус основания R.

Вариант 13

вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной графиками функций

99