Определенный интеграл по фигуре от скалярной функции

§ 10. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла ∫∫∫ f (x, y, z)dv сводится к после-

(V )

довательному интегрированию по каждой из переменных x, y, z от

которых зависит подынтегральная функция.

Так как по определению тройной интеграл не зависит от способа разбиения пространственной области (V ) на элементарные, то выберем способ разбиения плоскостями x = const, y = const, z = const,

пределов интегрирования в ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz для случая, если про-

(V )

странственная область (V ) является правильной в направлении оси

Oz .

Определение. Пространственная область (V ) , ограниченная

замкнутой поверхностью σ, называется правильной в направлении оси Oz , если выполняются следующие требования:

1) всякая прямая, проведенная параллельно оси Oz через внутренние точки области, пересекает поверхность σ в двух точках;

2) проекция области (V ) на плоскость xOy плоская область (Sxy )является правильной в направлении одной из осей.

Итак, пусть правильная в направлении оси Oz пространственная область (V ) ограничена снизу поверхностью σ1 , уравнение кото-

30

(Sxy ) на ось Ox является отрезок [a, b].

Пусть в пространственной области (V ) задана непрерывная функция f (x, y, z). Расстановка пределов интегрирования в этом

случае имеет вид ∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = (V )

Интеграл, стоящий в правой части формулы называется трех-

Вычисление трехкратного интеграла выполняют по следующему алгоритму:

z (x, y )

1). Вычисляют внутренний интеграл 2 ∫ f (x, y, z)dz , считая x, y –

z1(x, y )

фиксированными. Результатом будет некоторая функция Φ(x, y) .

31

y2 (x)

2). Вычисляют средний интеграл ∫ Φ(x, y)dy , то есть функцию

y1 (x )

Φ(x, y) интегрируют по переменной y при фиксированном x . Результатом будет некоторая функция F (x).

3). Вычисляют внешний интеграл b∫ F (x)dx по формуле Ньютона-

a

Лейбница.

Замечание 1. Пространственную область (V ) можно проектиро-

вать и на другие координатные плоскости, при этом меняется порядок интегрирования, что влечет за собой изменение пределов интегрирования по каждой из переменных, но численное значение интеграла сохраняется.

Замечание 2. Если область (V ) не является правильной в направ-

лении какой-либо оси, ее разбивают на сумму правильных областей; тогда интеграл будет равен сумме интегралов по составляющим областям.

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

y = x , y = 0, x + z = 2, x + 2z = 2.

Решение.

1. Построим поверхности, ограничивающие данное тело: y = x – ци-

линдрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz ; y = 0 – координатная плоскость xOz ;

плоскость xOy – область (Sxy ), которая имеет вид

32

Таким образом, искомый объем v определяется формулой:

Замечание. Если проектировать тело (V ) на плоскость xOz , то проекция

(Sxz ) имеет вид:

Тогда расстановка пределов интегрирования будет:

33

§ 11. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

Положение точки M (x, y, z) в пространстве можно характеризовать с помощью цилиндрических коор-

динат (ρ,ϕ, z), где ρ,ϕ – полярные ко-

ординаты проекции точки М на плоскость x0 y , z – аппликата точки М.

Цилиндрические координаты (ρ,ϕ, z)

x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = z .

Для вычисления элемента объема dv в цилиндрических координатах разобьем область на элементарные объемы координатными поверхностями ρ = const (круговые цилиндрические поверхности,

ходящие через ось 0z ), z = const (плоскости, параллельные плоскости x0 y . В качестве элемен-

тарного объема принимают параллелепипед со сторонами

ρdϕ, dρ, dz, тогда dv = ρdϕdρdz .

34

Формула преобразования тройного интеграла к цилиндрическим координатам принимает вид:

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах сводится к последовательному интегрированию по ϕ, ρ, z .

Замечания.

1.К цилиндрическим координатам целесообразно переходить, когда уравнение поверхностей, ограничивающих тело, содержит x2 + y2 .

2.Внутреннее интегрирование обычно удобно вести по z, сред-

нее – по ρ и внешнее – по ϕ .

3.Для расстановки пределов область (V ) проектируют на одну

из координатных плоскостей, расставляют пределы по ρ и ϕ

(как в двойном интеграле в случае вычисления его в полярных координатах), а затем определяют пределы по переменной z (от точки входа в область до точки выхода из нее). Для случая области (V ) , изображенной на рисунке,

расстановка пределов интегрирования примет вид

z = 12 - x2 - y2 , z2 - x2 - y2 = 0, (z ³ 0) , если плотность в каждой точке равна ее аппликате.

Решение. Тело ограничено поверхностями z =12 - x2 - y2 – параболоид вращения; z2 - x2 - y2 = 0 – коническая поверхность.

35

В цилиндрической системе координат уравнения этих поверхностей имеют более простой вид: z = 12 - ρ 2 , z = ρ . Решая систему

Вычислим массу тела, используя для вычисления интеграла цилиндрическую систему координат. Внутреннее интегрирование по z , z меняется от z = ρ на конусе до

z = 12 − ρ 2 на поверхности параболоида.

§ 12. Тройной интеграл в cферических координатах.

Положение точки M (x, y, z) в пространстве можно определить сферическими координатами (r,ϕ,θ ) , где r - расстояние точки М

от начала координат; ϕ - угол между осью 0x и проекцией радиус-вектора OM на плос-

36

кость x0 y ; θ - угол между осью 0z и радиус-вектором OM точки М. Очевидно, что 0 ≤ r ≤ +∞, 0 £ ϕ £ 2π , 0 £ θ £ π .

Связь между сферическими координатами (r,ϕ,θ ) и декартовыми координатами (x, y, z) точки М определяется формулами: x = r cosϕ sinθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosθ .

Для вычисления элемента объема dv в сферических координатах разобьем область (V ) на элементарные области координатными поверхностями: r = const (концентрические сферы с центром в начале координат), ϕ = cont (полуплоскости, проходящие через ось 0z ),

θ= const (конические поверхности

свершиной в начале координат). За элементарный объем примем пря-

моугольный параллелепипед со сто-

ронами dr = MN , MK = r × dθ ,

MP = r ×sinθdϕ; его объем равен

dv = r 2 ×sin θdϕdθdr .

Таким образом, формула преобразований тройного интеграла к сферическим координатам имеет вид

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =

(V )

= ∫∫∫ f (r sinθ cosϕ, ρ sinθ sinϕ, r cosθ )r 2 sinθdϕdθdr .

(V )

Замечания.

1.К сферическим координатам целесообразно переходить в том случае, когда тело ограничено сферой r = const , конусом

θ= const или поверхностью, уравнение которой содержит

выражение x2 + y2 + z2 .

2.Порядок расстановки пределов интегрирования в трехкратном интеграле (слева направо) – по ϕ,θ , r .

37

3. Сначала следует расставить пределы интегрирования по r (двигаясь получу, исходящему из начала координат), затем по θ (двигаясь по оси 0z ), потом - по ϕ .

Пример. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 + z 2 = 4, x2 + y2 = 3z 2 , (z ³ 0), если плотность в каждой точ-

вид γ (x, y, z) = k × z2 , гдеk > 0 - коэффициент пропорциональности. Рассмотрим поверхности ограничивающие тело.

x2 + y 2 + z 2 = 4 - сфера с центром в начале ко-

ординат, радиус которой равен 2. В сферических координатах уравнение сферы примет вид:

r 2 sin 2 θ cos2 ϕ + r 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + r 2 cos2 θ = 4

r 2 sin 2 θ (cos2 ϕ + sin 2 ϕ) + r 2 cos2 θ = 4 r 2 = 4

или r = 2 .

Уравнение x2 + y 2 = 3z 2 определяет коническую поверхность. Пе-

реходя к сферическим координатам и выполнив преобразования, получим

r 2 sin 2 θ cos2 ϕ + r 2 sin 2 θ sin 2 ϕ = 3r 2 cos2 θ tg 2θ = 3 или θ = π . 3

Используя сферические координаты, функция плотности примет вид γ (x, y, z) = k × z2 = kr 2 cos2 θ .

Таким образом

38