Определенный интеграл по фигуре от скалярной функции

дуги (DLi ) через Dli , i =1, n , наибольший из диаметров элементарных дуг λ = max{Dli }. В этом

n

∑ f (Pi ) × Dli при λ→0, который не зависит от способа разбиения ду-

i =1

ги (L) на элементарные (DLi ) и от выбора точек Pi , то его называют

криволинейным интегралом по длине дуги (или криволинейным ин-

обозначим Dsi , i =1, n , а максимальный диаметр – λ .

Если P Î(S ) Ì R2 , то функция f (P) = f (x, y) . Тогда интегральная сумма функции f (x, y) на плоской области

n

(S) имеет вид: ∑ f (xi , yi ) × Dsi .

i =1

10

n

Если существует конечный предел ∑ f (xi , yi ) × Dsi при λ→0, ко-

i =1

торый не зависит от способа разбиения плоской области (S), на элементарные (DSi ) и от выбора точек Pi (xi , yi ) , то его называют

двойным интегралом функции f (x, y) по плоской области (S) и

обозначают ∫∫ f (x, y)ds .

(S )

Здесь (S) – область интегрирования, x, y – переменные интегрирования, ds – дифференциал площади плоской области (S).

3. Поверхностный интеграл по площади поверхности.

Пусть фигура (Φ) – поверхность (σ) в R3 . Мерой μ(σ ) = σ является ее площадь σ. Меру элементарной фигуры (DFi ) обозначим

Dσ i ,i =1, n , а максимальный диаметр элементарных фигур – λ.

Так как P Î(σ ) Ì R3 , то функция f (P) = f (x, y, z) – функция трех пе-

ременных. Тогда интегральная сумма функции f (x, y, z) на поверхности (σ)

n

имеет вид: ∑ f (xi , yi , zi ) × Dσ i .

i =1

Если существует конечный предел интегральной суммы

n

∑ f (xi , yi , zi ) × Dσ i при λ→0, который не зависит от способа раз-

i =1

биения плоской области (σ) на элементарные (Dσ i ) и от выбора то-

чек Pi (xi , yi , zi ) Î(Dσ i ) , то он называется поверхностным интегра-

11

лом по площади поверхности σ (или поверхностным интегралом 1-

Pi (xi , yi , zi ) Î(DVi ) , то его (этот предел) называют тройным инте-

гралом от функции f (x, y, z) по пространственной области (V ) и

обозначают ∫∫∫ f (x, y, z)dv .

(V )

12

Здесь (V ) – область интегрирования; x, y, z – переменные интегрирования; dv – дифференциал объема пространственной области

(V ) .

§5. Механический смысл определенного интеграла по фигуре от скалярной функции.

Рассмотрим материальную фигуру (Φ) , то есть обладающую определенной массой m. Поставим задачу о вычислении массы m

где µ – мера фигуры (Φ) . Для решения поставленной задачи применим следующий алгоритм:

1.Произвольно разобьём фигуру (Φ) на n элементарных фигур (DFi ) , меры которых μ(DFi ) .

2.Произвольно на каждой элементарной фигуре (DFi ) выберем

точку Pi Î(DFi ) и вычислим значение функции плотности

γ= γ (Pi ) в этой точке.

3.Считая, что элементарная фигура (DFi ) однородная, вычислим ее массу Dmi » γ (Pi ) × μ(DFi ) .

4.Суммируя элементарные массы Dmi , i =1, n , получим прибли-

5.Для определения точного значения массы материальной фигуры найдем предел полученной интегральной суммы при ус-

13

ловии, что максимальный диаметр фигур разбиения λ→0, а

n

n→∞. Тогда m = lim ∑ γ (Pi ) × μ(DFi ) .

λ →0 i =1

Согласно определению определенного интеграла по фигуре от скалярной функции получим формулу: m = ∫ γ (P)dμ , которая ил-

(Φ)

люстрирует механический смысл определенного интеграла по фигуре от скалярной функции, являющейся функцией плотности мате-

m = ∫∫∫γ (x, y, z)dv .

(V )

§6. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги (КРИ – 1).

Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги ∫ f (P)dl

( L)

сводится к вычислению определенного интеграла, для этого следует воспользоваться уравнением кривой (L) и формулами для нахождения дифференциала дуги dl.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Пусть на плоскости дуга AB задана уравнением y = y(x), x Î[a, b].

Будем предполагать, что y(x) и y′(x) непрерывны на [a, b]. В

этом случае dl = 1 + ( y¢(x))2 dx , тогда

14

уравнением y = y(x), x Î[a, b] необходимо:

1)заменить у в подынтегральной функции на его значение y(x) на дуге;

2)заменить dl на 1+ ( y¢(x))2 dx ;

3)вычислить получившийся определенный интеграл на отрезке [a, b], который является проекцией дуги АВ на ось Ох.

Замечание. Иногда удобно уравнение кривой использовать в виде x = x( y), y Î[c, d ], то в этом случае формула вычисления КРИ–1

2. Пусть плоская дуга АВ задана параметрическими уравнения-

x = x(t)

ми: = α ≤ t ≤ β .

y y(t),

Будем считать x(t), y(t), x′(t), y′(t) непрерывными на [α , β ] и x′(t) > 0 . В этом случае dl = (x¢(t))2 + ( y¢(t))2 dt , тогда

3. Пусть пространственная дуга АВ задана параметрическими

dl = (x¢(t))2 + ( y¢(t))2 + (z¢(t))2 dt и

15

x= 1 y2 - 1 ln y, y Î[1; e]. 4 2

Решение. Используем формулу длины дуги: l = ∫ dl .

(L)

Так как уравнение дуги разрешено относительно х, найдем диффе-

16

непрерывная в замкнутой, ограниченной области (S ) функция, оп-

ределяет в трехмерном пространстве некоторую поверхность σ, проекция которой на плоскость хОу совпадает с областью (S ) .

17

Требуется найти объем тела (V ) , ограниченного сверху поверхностью (σ), снизу (в плоскости хОу) областью (S ) и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей является граница области (S ) . Такое тело называют

криволинейным цилиндром, а область (S ) – основанием криволи-

нейного цилиндра.

Для решения поставленной задачи выполним следующие операции:

1.Разобьем область (S) произвольно на n элементарных областей (DSi ) , площадь каждой – Dsi .

2.Через границу каждой (DSi ) построим цилиндрическую по-

верхность с образующими, параллельными оси Oz. В результате криволинейный цилиндр будет разбит на n элементарных цилиндрических тел с объемами Dvi .

3. На каждой площадке (DSi ) произвольно выберем точки

Pi (xi , yi ) и вычислим значения zi = f (Pi ) = f (xi , yi ) .

4. Считая, что приближенно объем элементарного криволинейного цилиндра равен объему прямого цилиндра с основанием Dsi и

высотой f (xi , yi ) , получим Dvi » f (xi , yi ) × Dsi .

5. Тогда искомый объем приближенно будет равен

n

v » ∑ f (xi , yi ) × Dsi .

i =1

За объем криволинейного цилиндра принимают предел, полученной интегральной суммы при условии, что λ→0, где λ – максимальный диаметр элементарных площадок (DSi ) . Таким образом

n

v = lim ∑ f (xi , yi ) × Dsi .

λ →0 i =1

Так как по определению правая часть полученного равенства является двойным интегралом функции f (x, y) по плоской области

(S ) , то v = ∫∫ f (x, y)ds . Если f (x, y) ³ 0 – это объем криволинейно-

(S )

18

го цилиндра с основанием (S ) и сверху ограниченным поверхностью (σ), уравнение которой z = f (x, y) .

§8. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

По определению двойной интеграл ∫∫ f (x, y)ds не зависит от

(S )

способа разбиения области (S ) на элементарные, поэтому выпол-

ним разбиение этой области прямыми, параллельными координатным осям: x = const, y = const . Тогда элемент площади ds в декарто-

вых координатах равен произведению дифференциалов независимых переменных dx и dy, то есть ds=dxdy.

В этом случае двойной интеграл примет вид

∫∫ f (x, y)ds = ∫∫ f (x, y)dxdy .

∫∫ f (x, y)dxdy осуществляется

(S )

путем последовательного интегрирования по обеим переменным с последующим использованием формулы Ньютона-Лейбница. Рассмотрим случай, когда область интегрирования (S ) является пра-

вильной областью в направлении оси Oy.

Определение. Плоская область (S ) , лежащая в плоскости xOy на-

зывается правильной в направлении оси Oy, если любая прямая, параллельная оси Oy и проходящая через внутренние точки области (S ) , пе-

ресекает ее границу не более чем в двух точках.

19