Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Определенный интеграл по фигуре от скалярной функции. Практическая часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

734.93 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельного решения

Задача 6.6. Вычислить поверхностный интеграл

I2 y 7x 9z d ,

где – часть плоскости 2x y 2z 2 0, отсеченная координат-

ными плоскостями.

Ответ: I 12.

Задача 6.7. Вычислить площадь части плоскости x y z 4, которая лежит в первом октанте и ограничена цилиндром x2 y2 4.

Ответ: 3 (кв. ед.).

Задача 6.8.Вычислить поверхностный интеграл

9 x2 y2d ,

где – полусфера z	9 x2 y2.
Ответ: 27 .
Задача 6.9. Найти массу поверхности куба 0 x 1;		0 y 1;

0 z 1, если поверхностная плотность в каждой ее точке равна

x,y,z xyz.

Ответ: m 34 (ед. массы).

Задача 6.10*. Найти притяжение, испытываемое центром основания со стороной боковой поверхности прямого кругового цилиндра высотой Η и радиусом основания R.

Примечание. Систему координат выбрать так, что начало координат совпадает с центром основания, а ось Oz – с осью цилиндра.

Уравнение цилиндрической поверхности в этом случае x2 y2 R2,

а точка, которая испытывает искомое притяжение – это начало координат.


	Если сила притяжения имеет проекции на координатные оси
	Fx ;Fy ;Fz , то		по соображениям симметрии, очевидно
F
Fx Fy 0.		Тогда,	учитывая однородность поверхности

x,y,z const , вычислить
Fz	zd		.
		3
x2 y2 z2		2

Привычисленииинтеграламожноиспользоватьрешениезадачи6.5.

				R
				R
Ответ: F	0;0;2 1					.
Ответ: F	0;0;2 1		2		2	.
		R	2	H	2
		R		H

Задача 6.11*. Определить потенциал боковой поверхности однородного кругового конуса, высота которого Η и радиус основания R, на его вершину.

Примечание. Если вершину конуса расположить в начале координат, а ось симметрии – ось Oz, то уравнение конической поверх-

ности	z	H	x2 y2 , а потенциал конической поверхности на его
		R

вершину – начало координат – определяется поверхностным инте-

гралом W		d		.
	x2	y2	z2

Ответ: W 2 R .

Практическое задание № 7

ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПО ФИГУРЕ К ЗАДАЧАМ МЕХАНИКИ

Задачи для решения в аудитории

Задача 7.1. Найти статический момент относительно оси Ox верхней половины окружности x2 y2 a2, линейная плотность

которой в каждой точке равна ординате этой точки.

Решение. Статический момент материальной плоской дуги относительно оси Ox вычисляется по формуле M x y x,y dl. В

		L
нашей задаче x,y y,	dl	x 2 t y 2 t dt, если кривая задана

параметрически. Параметрические уравнения окружности имеют

вид: x a cost,	y a sint. Тогда x asint,		y a cost				и dl adt.
				3					3
M x y x,y dl y2dl a2 sin2 t adt a						1 cos2t dt		a	.
L	L	0	2		0			2

Ответ: M x 2a3 .

Задача 7.2. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной линиями y x2 2x, y 0, если поверхностная плотность равна x,y xy.

Решение. Формулы для расчета координат центра масс плоской материальной пластины с плотностью x,y имеют вид

	M y	x x,y dxdy	, y M x		y x,y dxdy
x	M y	S			S	.
x						.
c	m	x,y dxdy	c	m	x,y dxdy
	m	x,y dxdy		m	x,y dxdy
		S			S

Вычислим последовательно эти интегралы.

m x,y dxdy								x,y xy							2		x2 2x
m x,y dxdy								x,y xy					xydxdy xdx												ydy
S		2									2			S	0					0
	1	2								1	2									8
	1	x x2 2x 2 dx								1	x5 4x4 4x3 dx									8		;
	2	x x2 2x 2 dx								2	x5 4x4 4x3 dx							15				;
	2	0								2	0							15
														2	x2 2x
M y		x x,y dxdy x2ydxdy x2dx																	ydy
			S							S				0		0
		2										2									64
1		x2 x2 2x 2 dx 1										x6 4x5 4x4 dx									64				;
1		x2 x2 2x 2 dx 1										x6 4x5 4x4 dx								105					;
	20									2		0								105
														2	x2 2x
M x y x,y dxdy xy2dxdy xdx																	y2dy
			S							S				0		0
1	2	x2 2x 3 dx 1							2	8x4 12x5 6x6 x7							dx							32		.
	x																							32
	x																						105
3	0						3		0														105
Тогда
		x				M y	64 15			8	; y M x				32 15		4.
		x				m	64 15			7	; y M x				105 8		4.
		c				m	105 8			7			c	m	105 8		7
		8	;	4
Ответ:		7	;	7	.
		7		7
Задача 7.3. Вычислить момент инерции от-																							y
Задача 7.3. Вычислить момент инерции от-
носительно оси Oy однородного тела, ограни-
ченного поверхностями y 4									x2		z2,			y 2.
Решение. Момент инерции материального																										x
тела V относительно оси Oy вычисляется по
формуле																z

I y x2 z2 x,y,z dxdydz.

Так	как	тело однородное,			то		x,y,z const k,						k 0, и
I y k x2		z2 dxdydz.		Для вычисления интеграла								используем
V
цилиндрическую			систему	координат: x cos ,					z sin ,						y y,
равнение конуса: y 4 и
							dxdydz d d dy
							dxdydz d d dy
	I y k		x2 z2 dxdydz				0 2 ,0			1	,
		V								2
						4 y 2,x2 z2 2
2	1	2	2	1				4		2 5				1
	1			1
	2			2												k	.
k d 3d			dy k d 3(2		4 )d 4 k			4			5			2		80	.
0	0	4	0	0				4			5			0		80
0	0	4	0	0										0

Ответ: I y 80k .

Задача 7.4. Вычислить момент инерции относительно оси Oz

однородной полусферы z	9 x2		y2.			z
Решение. Так как поверхность однород-						z
Решение. Так как поверхность однород-
ная, то плотность x,y,z const k,				k 0.
Момент инерции однородной поверхности
относительно оси Oz вычисляется по фор-
муле Iz k x2 y2 d . Найдем						y
						x
						x
		z 2		z 2
d 1					dxdy;
		x		y

z	x	;	z	y		.
x	9 x2 y2		y	9 x2	y2

Tогда

dxdy

3dxdy

x2 y2

9 x2

Сведем поверхностный интеграл к двойному, который будем вычислять, используя полярные координаты.

Iz	k x2 y2 d 3k		x2		y2	dxdy
				9	x2	y2
		Sxy
	x cos , y sin		2		3	3

	dxdy d d ,	3k		d		d	.
						9 2
	0 2 , 0 3		0		0

Отдельно вычислим внутренний интеграл с помощью подста-

новки 9 2	t :
	3d		9 2 t2		9 t2 dt 9t							t3	.
	3d		9 2 t2									t3
	9 2
	9 2		d tdt								3
Окончательно						3
						3				0
Iz 3k			9 9	2		1	9	2	3	3	108 k.
Iz 3k		2	9 9				9				108 k.

Ответ: Iz 108 k.

Задача 7.5. Вычислить координаты центра масс однородной пластинки, вырезаемой из плоскости z x плоскостями x y 1,

y 0, x 0.

Решение. Так как пластина однородная x,y,z const , то координаты центра масс определяется по формулам

xC	1	xd ,	yC	1	yd ,	zC	1	zd .

Определим площадь σ указанной части плоскости z x. Имеемxz 1, yz 0, тогда

															1			1 x				2		1 x			2		1		2
d									2dxdy					2 dx					dy										0			.
d									2dxdy					2 dx					dy			2									2	.
						Sxy									0			0				2									2
						Sxy									0			0
Вычислим координаты центра масс
		1								2		1				1 x			2dy 2			x	2		x	3		1 1			;
												1				1 x							2			3
x							xd						xdx
x							xd						xdx
C										2												2			3			0 3
												0					0
												0					0
				1						2			1			1 x			2ydy	1		1 x 2 dx 1;
y				1				yd		2				dx
y								yd						dx
C												2																		3
												2	0				0			0										3
									1								2	1	1 x		2dy				1	.
						zC					zd							xdx							3
						zC					zd						2	xdx
																	2	0	0
	1				;	1	;	1
Ответ: C			3		;	3	;	.
			3			3		3

Задачи для самостоятельного решения

Задача 7.6. Вычислить момент инерции относительно оси Ox первой арки циклоиды x a t sint , y a 1 cost , если ее линейная плотность во всех точках постоянна.

Ответ: Ix 25615ka3 .

Задача 7.7. Найти координаты центра масс первого полувитка винтовой линии x a cost, y a sint, z bt, считая плотность по-

стоянной.

Ответ: C 0;2a ;b2 .

Задача 7.8. Пластина имеет форму прямоугольного треугольника с катетами OB a, OA b, причем плотность ее в любой точке

равна расстоянию точки от катета OA. Найти статические моменты пластины относительно катетов OA и OB.

Ответ: M x a2b2 , M y ba3 . 24 12

Задача 7.9. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной параболами y2 4x 4 и y2 2x 4.

2		;0
Ответ: C	5		.

Задача 7.10. Найти момент инерции кругового цилиндра, высота которого h и радиус основания a, относительно оси, служащей

диаметром основания цилиндра.

Ответ: Ix a2h 3a2 4h2 . 12

Задача 7.11. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного плоскостями x y z 3, x 0, y 0, z 0.

Ответ: C 3;3;3 .

4 4 4

Задача 7.12. Найти статический момент относительно плоскости xOy конической поверхности z2 x2 y2, 0 z 1, если ее плот-

ность в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от оси конуса.

Ответ: M xy	3	2 k	, где k – коэффициент пропорциональности.
		8

Задача 7.13. Найти координаты центра масс части плоскости x 3y z 3, отсеченной координатными плоскостями, если ее по-

верхностная плотность равна сумме координат точки.

Ответ: C 1415;72;1415 .

Задача 7.14*. Определить центр тяжести плиты, имеющей форму равнобедренного прямоугольного треугольника, если в каждой его точке плотность пропорциональна расстоянию до ее гипотенузы. Найти момент инерции этой плиты относительно ее гипотенузы.

Примечание. Выбрать систему координат так, чтобы гипотенуза треугольника располагалась на оси Ox, а вершина прямого угла на

оси Oy.

Ответ:	x 0,	y	a	;	I		ka5	.
			2				10
	c	c				x

Задача 7.15*. Вертикальная стенка высотой H и длиной l с прямоугольным поперечным сечением подвергается с одной стороны по всей высоте давления воды. Какой толщины h нужно сделать стенку, чтобы под давлением воды она не опрокинулась?

Примечание. Для равновесия достаточно, чтобы моменты сил внешнего нижнего ребра были равны.

Ответ: h H		, где ρ – плотность воды.
	3q

Задача 7.16*. Определить радиус инерции относительно оси однородной колоны, имеющей форму кругового цилиндра, высота которого 8 м, а радиус основания равен 2 м.

Примечание. Радиус инерции тела относительно оси Oz равен

r	Iz	, где I	z	– момент инерции тела относительно оси	Oz; m –

z	m

масса тела. Выбрать систему координат так, чтобы ось колоны совпадала с осью Oz, тогда уравнение цилиндра будет x2 y2 4; сверху и снизу тело ограничено плоскостями: z 8; z 0.

Ответ: rz 2.

Задача 7.17*. Вычислить статический момент относительно плоскости xOz однородного шарового сектора C, образующая ко-

торого наклонена к оси Oy под углом 45 .

Ответ: M xz 8 R4, где γ – постоянная плотность сектора.

Задача 7.18*. Определить координаты центра масс неоднородного бруса ограниченного цилиндрической поверхностью x2 2y и плоскостями y z 1, 2y z 2, если плотность в каждой его точке численно равна ординате этой точки.

Ответ: m	8 2		0;	35	;	2
	35	; C		63		3	.

Задача 7.19*. Доказать, что момент инерции однородной колонны относительно ее оси, имеющей форму прямого кругового цилиндра, равен произведению массы колонны на полусумму квадратов ее радиусов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]