Определенный интеграл по фигуре от скалярной функции. Практическая часть

Ответ: v 52 R3 (куб. ед.).

Задачи для самостоятельного решения

Задача 3.8. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле f x,y dxdy, если область S ограничена линиями:

S

x2 y2 4x, x2 y2 8x, y x, y 2x.

Задача 3.9. Переходя к полярным координатам, вычислить

I

S

в начале координат, лежащий выше оси Ox.

Ответ: I 3a3 .

Задача 3.11. Вычислить площадь области, ограниченной кривы-

ми a 1 cos , a cos a 0 .

31

Ответ: s 54 a2 (кв. ед).

Задача 3.12. Вычислить площадь области, ограниченной линией

asin3 a 0 .

Ответ: s a42 (кв. ед).

Задача 3.13. Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых R и r R r . Найти мас-

су кольца, если плотность в каждой ее точке равна квадрату абсциссы этой точки.

Ответ: m 4 R4 r4 (ед. массы).

Задача 3.14. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно-

Ответ: v 23 (куб. ед.).

Задача 3.15*. Вычислить интеграл xydxdy, где S – область,

Примечание. Декартовы координаты преобразовать по формулам x a cos , y b sin a,b постоянные . Такие координаты ,называются обобщенными полярными координатами. Исходя из

геометрических соображений, показать, что элементом площади будет ds dxdy ab d d .

Ответ: xydxdy a28b2 .

S

32

Задача 3.18*. Определить среднюю скорость течения воды в круглой трубе радиусом R при уклоне α, если скорость течения v

скорость течения на оси трубы.

Примечание. Для вычисления средней скорости течения воды

речное сечение трубы, s – его площадь.

33

Практическое задание № 4

ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Вычисление тройного интеграла f x,y,z dv сводится к по-

V

следовательному интегрированию по каждой из переменных x, y, z

от которых зависит подынтегральная функция.

Пространственная область V , ограниченная замкнутой поверх-

ностью σ, называется правильной в направлении оси Oz, если вы-

полняются следующие требования:

1)всякая прямая, проведенная параллельно оси Oz через внутренние точки области, пересекает поверхность σ в двух точках;

2)проекция области V на плоскость xOy – плоская область Sxy ,

которая является правильной в направлении одной из осей.

Пусть правильная в направлении оси Oz пространственная об-

y1 x y2 x . Проекцией плоской области Sxy на ось Ox яв-

ляется отрезок a,b .

Пусть в пространственной области V задана непрерывная

функция f x,y,z . Расстановка

пределов интегрирования в этом случае имеет вид

34

Замечание 1. Пространственную область V можно проектировать и на другие координатные плоскости, при этом меняется порядок интегрирования, что влечет за собой изменение пределов интегрирования по каждой из переменных, но численное значение интеграла сохраняется.

Замечание 2. Если область V не является правильной в направлении какой-либо оси, ее разбивают на сумму правильных областей; тогда интеграл будет равен сумме интегралов по составляющим областям.

Задачи для решения в аудитории

Задача 4.1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле f x,y,z dxdydz, если область V ограничена плоскостями:

плоскости, x y z 5 – плос-

кость, отсекающая на осях отрезки равные 5, Sxy – проек-

ция тела на плоскость xOy.

Пространственная область V правильная в направлении оси Oz ограничена снизу плоскостью z 0, сверху z 5 x y. Соответ-

ственно, z 0 – поверхность входа, z 5 x y есть поверхность выхода.

35

Проекция области V на плоскость xOy – плоская область Sxy ,

ограниченная линиями x 0 – линия входа, y 6 32x – линия выхода области Sxy . Проекцией плоской области Sxy на ось Ox является отрезок 0,3 .

Задача 4.2. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле f x,y,z dxdydz, если область V ограничена поверхностя-

V

ми: y 4x2, y z 4, z 0.

Решение. Тело V ограничено цилиндрической поверхностью y 4x2 с образующей параллельной оси Oz плоскостью y z 4 и плоскостью xOy. Проекцию тела на плоскость xOy обозначим Sxy .

Пространственная область V правильная в направлении оси Oz ограничена снизу плоскостью z 0, сверху z 4 y. Соответ-

ственно, z 0 – поверхность входа, z 5 y – поверхность выхода. Проекция области V на плоскость xOy – плоская область Sxy ,

ограниченная линиями y 4x2 – линия входа, y 4 – линия выхода области Sxy . Проекци-

ей плоской области Sxy

на ось Ox является отре-

зок 1;1 .

36

Тогда

Ответ: 563 .

Задача 4.4. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром

Решение. Построим тело: образующая цилиндра z 9 y2 параллельна оси Ox, плоскость 3x 4y 12 параллельна оси Oz.

37

Соответственно, z 0 – поверхность входа, z 9 y2 будет по-

верхность выхода.

Проекция области V на плоскость xOy – плоская область Sxy ,

Ответ: v 45 (куб. ед.).

Задача 4.5. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями

ветственно, z 0– поверхность входа, z x – поверхность выхода.

38

Ответ: v 233 (куб. ед.).

Задача 4.6. Найти массу тела, ограниченного поверхностями

(образующие которых параллельны оси Ox,) плоскостью x y 6

и плоскостью yOz. Для удобства построения тела ось Ox направим вверх, а проекцию тела на плоскость yOz обозначим Syz .

Область V правильная в направлении оси Ox ограниче-

39

на снизу плоскостью z 0, сверху плоскостью x 6 y. Соответственно, z 0 – поверхность входа, x 6 y – поверхность выхода.

Проекция области V на плоскость yOz – плоская область Syz ,

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.7. Расставить пределы интегрирования в тройном инте-

Задача 4.8. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле f x,y,z dxdydz, если область V ограничена поверхностя-

V

ми: x y 9, 2x y 0, 4z y2 0, z 0.

ограничено координатными плоскостями и плоскостью x y z 1.

Ответ: 12ln2 165 .

40