Определенный интеграл по фигуре от скалярной функции. Практическая часть

S

по заданной области S : y x2,

y 2x x2.

Задача 2.10. Расставить

пределы интегрирования

в ДИ

f x,y dxdy, если область S

– трапеция с вершинами

O 0;0 ,

S

A 2;0 , B 1;1 , C 0;1 .

1

1 x2

f x,y dy.

теграле: dx

1

0

7

3

9 10 x

f x,y dy.

теграле: dx

f x,y dy dx

3

9

7

9

x

x

Задача 2.13. Вычислить ДИ

x2

dxdy по области

S, ограни-

y

2

S

ченной линиями y x,

y 2,

yx 1.

Ответ:

x2

dxdy

27

.

y2

64

S

z 9 y 2 ,

координатными плоскостями

x 0, y 0,

z 0 и плос-

костью 3x 4y 12 y 0 .

Ответ: v 45 (куб. ед).

Задача 2.18*. Вычислить ДИ ydxdy

по области S,

ограничен-

S

x R t sint ,

ной осью абсцисс и аркой циклоиды

0

t 2 .

y R 1 cost ,

Ответ:

5

R

3

.

2

рельс,

которое

рассчитывается

по

формуле Q qdxdy,

где

S

x2

y2

q t 1

,

, r,

p,

t –

постоянные. При этом площадка

2rt

2pt

смятия рельса проецируется на плоскость xOy в виде области

S,

ограниченной эллипсом

x2

y2

1.

2rt

2pt

Ответ: Q ab

, где

a

2pt ,

b 2rt – полуоси эллипса.

2

Таким образом

x cos

f cos , sin d d .

f (x,y)dxdy

y sin

S

dxdy d d

S

2

g , d .

g , ds g , d d d

S

S

1

грале

f

x,y dxdy

по

заданной

области

S : 1 x2

y2 9,

x

S

y x

3.

3

Решение. Границами области S

являются окружности

x2 y2

1, x2

y2

9,

уравнения которых в полярных координатах имеют

вид 1,

3,

и прямые –

y

x

,

y x

3

уравнения которых

3

в полярных координатах –

,

.

Область является пра-

6

3

вильной относительно полярной системы

y

y x 3

координат. Двигаясь по лучу, выходящему

x

из полюса,

получаем

вх 1,

вых 3.

y

3

Область

S

заключена

между

лучами

,

, поэтому

.

x

6

3

6

3

Тогда

x cos

f cos , sin d d

f (x,y)dxdy

y sin

S

dxdy d d

S

3

f cos , sin d .

3 d

1

6

грале f x,y dxdy по заданной области S,

которая является об-

S

щей частью двух кругов x2 y2

2x,

x2 y2

4y.

Решение. Границами области являются окружности:

x2 y2

2x x 1 2 y2 1

– это окруж-

у

ность с центром (1;0), радиусом 1, в

полярных

координатах

уравнение ее

имеет вид

2cos ;

x2 y2 4y

2

x2 y 2 2 4 – это

окружность с

х 2у

центром (0;2), радиусом 2, в полярных

координатах уравнение

ее имеет вид

О

х

1

2

4sin .

лярных координатах –

tg 1 или arctg

1.

2

2

В полярной системе координат линия выхода области интегри-

рования

S

не

имеет единого аналитического задания,

прямой

arctg1

она разбивается на две части S

:0 arctg1,

для нее

2

1

2

1

,

вх 0, вых 4sin ;

и

S2 :arctg

для нее

вх 0,

вых 2cos .

2

2

Тогда

x cos

f cos , sin d d

f (x,y)dxdy

y sin

S

dxdy d d

S

arctg

1

4sin

2cos

2

cos , sin d

2

f cos , sin d .

d

f

d

0

0

1

0

arctg2

Задача

3.3.

Переходя

к полярным координатам, вычислить

ydxdy,

где S

a

– полукруг диаметраас центромв точке C

;0 .

S

2

Решение.

Полукруг

S

ограничен

у

a 2

a2

окружностью

y

2

или

x

4

2

x2 y2 ax, уравнение которой в поляр-

О

а

а х

ных координатах имеет вид a cos

.

2

Тогда

x cos

ydxdy

y sin

sin d d

S

dxdy d d

S

0

a cos

2d

3

a cos

2

2 sin d

2 sin

d

0 a cos

0

0

0

3

0

a3

a3

cos4

a3

2

2

.

3

sin cos3 d

3

4

12

0

0

a3

.

Ответ: ydxdy

12

S

Задача 3.4. Вычислить массу плоской фигуры S,

ограниченной

линиями

a 1 cos ,

a

и расположенную вне кардиоиды,

Решение. По условию плотность x,y

1

, тогда масса

x2 y2

плоской

пластины вычисляется по формуле

m x,y dxdy

1

S

dxdy.

S

x2 y2

Построим

область

S,

которая

a(1 cos )

y

ограничена кардиоидой a 1 cos

a

и окружностью a.

Область является правильной от-

x

носительно полярной системы коор-

динат. Двигаясь по лучу, выходяще-

му из полюса, получаем

вх a(1

cos ), вых а.

Область

S

заключена между

лучами

,

,

2

поэтому

. Так как фигура симметрична, то будем

2

2

2

считать, что

0

и при вычислении массы перед интегралом

2

поставим коэффициент 2.

Тогда

1

x cos

m

dxdy

y sin

d d

x2 y2

S

dxdy d d

S

aa 1 cos d

a

d 22

0 2

22 d

a 1 cos a

0

a 1 cos

0

2

1 1 cos d a 2 cos

a

d a sin

2 a.

0

0

0

С учетом симметрии пластины,

y

получаем

x cos

/4

s dxdy

y sin

S

dxdy d d

0

x

d d

, вх

0,

0

4

S

вых a

2cos2

a

2cos2

2

a

2cos2

4

4

4

2

2

.

4 d

d 4

2

d 4a

cos2 d 2a

0

0

0

0

0

x2 y2 4.

у

2

Решение. Уравнение окружности в по-

лярных координатах 2,

а уравнение пря-

х

2

.

О

мой cos sin 2

или

cos sin

2

Тогда

x cos

s dxdy

y sin

d d

S

dxdy d d

S

, вых 2, вх

2

0

cos sin

2

2

cos sin

2

2 d

2 d

d

d

0

2

2cos

4

0

2

cos sin

cos

4

1

2

2

4

2

d 2.

0

cos

2

4

v

1

(2R2 x 2 y2)dxdy

x cos , y sin

dxdy d d

R Sxy