Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Определенный интеграл по фигуре от скалярной функции. Практическая часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

734.93 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Ответ: m 193 (ед. массы).

Задача 1.15. Вычислить криволинейный интеграл I x2 y2 dl,

						x a cost,		L
						x a cost,
где L – первый виток винтовой линии, y asint,								0 t 2 , a,b –
некоторые постоянные.						z bt,
некоторые постоянные.
Ответ: I 2 a2			a2 b2.
Задача 1.16. Найти массу дуги конической винтовой линии
			x et cost,

				et sint,
			y	et sint,
					z et
					z et

от точки, соответствующей t 0, до точки, соответствующей t										,
						1			2
если плотность дуги x,y,z						1	.
если плотность дуги x,y,z					x2 y2 z2		.
Ответ: m		3	(ед. массы).
Ответ: m	2	2	(ед. массы).
	2	2
Задача 1.17. Найти длину дуги кривой
			x	2 t4 ,
						4
						t6
					y	t6
					y	6
						6

между точками пересечения ее с осями координат.

Ответ: l 133 .

Задача 1.18*. Найти массу дуги АВ кривой 3y 2x x, если плотность в каждой точке М пропорциональна длине дуги АМ,

A 0;0 ,B 4;163 .

Ответ:	m 4k 63	5	5 (ед. массы), где k – коэффициент про-
	9
порциональности.
Задача	1.19*. Найти		массу участка цепной линии	y ach	x
Задача	1.19*. Найти		массу участка цепной линии	y ach	a
					a

между точками x 0 и x a, если плотность кривой в каждой ее

точке обратно пропорциональна ординате точки.

Ответ: m k (ед. массы), где k – коэффициент пропорциональности.

Задача 1.20*. Найти притяжение, оказываемое дугой астроиды
x a cos3 t,	y asin3 t, лежащей в первом квадранте,	на единицу
массы, помещенную в начале координат (точка M0 ),		если плот-

ность кривой в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат.

Примечание. Притяжение материальной точки материальною кривою – это сила F, проекции которой на координатные оси Fx и

	определяются			по	формулам		m0	x,y cos	dl,
Fy						Fx

		x,y sin					L	r2
	m0		dl,	где	m0 – масса данной точки; r – расстоя-
Fy

	L	r2

ние от данной точки M0 до любой точки M на дуге, то есть длина вектора M0M ; θ – угол между вектором M0M и осью Ох.

Ответ: F 3a52 i 3a52 j.

Задача 1.21*. Найти притяжение, оказываемое однородной полуокружностью радиуса R плотностью γ на единицу массы, помещенную в центре.

Примечание. Полуокружность радиуса R рассмотреть в системе координат, гдецентр полуокружности совпадает с началом координат.

Ответ: F 2R j.

Задача 1.22*. Найти притяжение, оказываемое бесконечной однородной прямой плотностью γ на точку единичной массы, лежащую на расстоянии h от прямой.

Примечание. Саму прямую принять за ось Ох, а ось Оу провести через данную точку.

Ответ: F 2h j.

Практическое задание № 2

ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА (ДИ) В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Плоская область S, лежащая в плоскости xOy назы-

вается правильной в направ-

лении оси Oy, если любая прямая, параллельная оси Oy и проходящая через внутренние точки области S, пересекает ее границу не более чем в двух точках.

Пусть область S ограничена непрерывными линия-

ми y y1(x), y y2(x), a x b, причем				y1(x) y2(x), x a;b				и
отрезками x a,	x b. Линия		y y1(x) – линия входа,				y y2(x)	–
линия выхода
	b	y2(x)		b y2(x)
f (x,y)dxdy dx			f (x,y)dy			f (x,y)dy dx.
S	a	y1(x)			(x)
S	a	y1(x)		a y1	(x)

Если область интегрирования S является правильной в направлении оси Ох, то есть любая прямая, проходящая через внутренние точки области, параллельно оси Ох, пересекает ее границу не более, чем в двух точках. Например, область S ограничена линиями

x x1 y ,

x x2 y ,

y c;d , причем x1 y x2 y ,

y c;d .

В этом случае сведение двойного интеграла к повторному имеет

	d	x2	(y)
вид: f (x,y)dxdy dy			f (x,y)dx.
S	c	x1	(y)

Замечание 1. Если область интегрирования S не является правильной в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму правильных областей, и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.

Замечание 2. Если для линии входа или выхода не существует единого аналитического задания, то используя свойства ОИФ, сле-

дует разбить область S на сумму областей Si , i 1,k прямыми, па-

раллельными проектирующим прямым и проходящим через точки пересечении линий входа и выхода. Следовательно, интеграл по области S будет равен сумме интегралов по составляющим областям.

Задачи для решения в аудитории

Задача 2.1. Расставить пределы интегрирования

f x,y dxdy по заданной области S : y

Решение. Построим область интегрирования S. Она является правильной в направлении обеих осей.

12x,y 3x2.

В направлении оси Oy: y 3x2 – ли-			48
ния входа,	y 12x – линия выхода.
Проекцией области S		на ось Ох явля-
ется отрезок 0;4 .
Тогда ДИ сводится к повторному:			1
	4	12x
f x,y dxdy dx		f x,y dy.	4
S	0	3x2

вДИ

y 12x

y 3x 2

В направлении оси Ох:	x		y	– линия входа, x	y	– линия
		12			3
выхода.

Проекцией области S на ось Оу является отрезок 0;48 . Тогда ДИ сводится к повторному:


		48		y
		48		3	f x,y dx.
	f x,y dxdy dy				f x,y dx.
	S	0	y
			12
Задача 2.2. Расставить		пределы			интегрирования в ДИ
f x,y dxdy	по заданной области S : y 2, y x,					xy 1.

Решение. Построим область инте-

грирования S. Она является правиль-

ной в направлении оси Ох: x

– ли-

у х

ния входа, x y

– линия выхода. Про-

y 2

екцией области

S на ось Оу является

отрезок 1;2 .

1 S

Тогда ДИ сводится к повторному:

f x,y dxdy dy f x,y dx.

В направлении оси Oy линия входа области интегрирования S не имеет единого аналитического задания, поэтому разобьем ее на

сумму двух областей S1 и S2. Для области S1 :	1	y 2,	1
	x		x	2	;1 .
Для области S2 :x y 2, x 1;2 .

Таким образом,

f (x,y)dxdy		f (x,y)dxdy		f (x,y)dxdy
S	S1		S2
1	2	2	2
dx f x,y dy dx f x,y dy.
1	1	1	x
2	x

Задача 2.3. Изменить порядок интегрирования в повторном ин-

1	1 x	f x,y dy.
теграле: dx		f x,y dy.
0	x 1

Решение. Восстановим область интегрирования S : линия входа – y x 1, линия выхода – y 1 x. Проекция области S на ось Oх –

отрезок 0;1 . Значит, область S

рисунке.

Изменить порядок интегрирования – значит внешнее интегрирование выполнять по у, а внутреннее по х. В направлении оси Ox линия выхода области интегрирования S не имеет единого аналитического задания, поэтому разобьем ее на сумму двух областей S1 и S2. Для области

S1 :0 x y 1, y 1;0 .

Для

области S2 :0 x 1 y, y 0;1 .

Тогда

имеет вид, представленный на

y 1 x

1	S2
		y x 1
S
		x
	1
-1	S1

1	1 x	0	y 1	1	1 y	f x,y dx.
dx		f x,y dy dy		f x,y dx dx		f x,y dx.
0	x 1	1	0	0	0

Задача 2.4. Изменить порядок интегрирования в повторном ин-

1	0	e	ln y	f x,y dx.
теграле: dy		f x,y dx dy		f x,y dx.
0	y	1	1

Решение. Восстановим область интегрирования S, которая состоит из суммы двух областей S1 и S2. Линия входа для S1 –

x y,

линия выхода –

x 0.

Проекция области S1 на ось Oу

–

отрезок

0;1 . Линия входа для

S2 –

x 1,

линия

выхода

–

x ln y. Проекция области S2

на ось Oу

–

отрезок 1;e . Значит,

область

S имеет вид, пред-

ставленный на рисунке.

Область

интегрирования

S является

правильной

направлении оси Oy: y x2 –

y e

y x

линия входа,

y e x

– линия

выхода.

Проекцией

области

S на ось Ох является отрезок

1;0 .

Тогда

-1

ln y

e x

f x,y dy.

f x,y dx dy

f x,y dx dx

Задача 2.5. Вычислить ДИ x2

y dxdy по области S, ограни-

ченной линиями x y 1,

x y 2,

x 0,

x 1.

Решение. Построим область интегрирования S. Область S является правильной в направлении оси Oy: y 1 x – линия вхо-

да, y 2 x – линия выхода. Проекция области S на ось Ох – отре-

зок 0;1 .

уx 1

1	S		x y 2
1	S
x y 1	1	2	x

y x 1

Тогда

					1		2 x		x2 y dy
		x2 y dxdy dx							x2 y dy
		S			0		1 x
1		y2		1		1		2 x		2	1	1	x	2		4
1		y2		1		1				2	1			2		4
	x2y		2 x dx		x2										dx		.
	x2y		2 x dx		x2										dx		.
		2	1 x			2					2					3
0		2		0		2					2					3

Ответ: 43.

Задача 2.6. Вычислить площадь плоской фигуры ной линиями: y cosx, y x 1,y 0.

Решение. Построим область интегрирования S. В направлении оси Oy ли-

ния выхода области интегри-						y
рования S	не имеет единого
аналитического задания, по-
этому разобьем ее на сумму
двух областей		S1	и S2. Для			1
области	S1 :			0 y x 1,
x 1;0 ;	для	области S2 :				S2
						S1
						-1
0 y cosx, x 0;				2	.

S, ограничен-

y cos x

	0	x 1			cosx	0
	0	x 1		2 dx	cosx	0	x 1 dx	2 cosxdx	3.
S dxdy		dx	dy	2 dx		dy	x 1 dx	2 cosxdx	3.
S	1	0		0	0	1		0	2

Ответ: S 32 (кв. ед).

Задача 2.7. Вычислить массу пластины, ограниченной линиями y x3 1, y 3 x, y 0, если плотность в каждой ее точке равна квадрату ее абсциссы.

Решение. По условию плотность x,y x2, тогда масса плоской пластины вычисляется по формуле m x,y dxdy. Построим

										S
область интегрирования S, ограниченную кубической параболой
y x3 1	и прямой y 3 x,						и осью Ох.
Найдем точку пересечения параболы и прямой:
		3	1		3			3
y x			1	x	3	1 3	x x	3	x 2	0 x 1, y 2.
				x		1 3	x x		x 2	0 x 1, y 2.
y 3 x

Область интегрирования S является правильной в направлении оси Oх. Линию входа находим из

уравнения y x3 1 x

3 y 1,	а линия выхода –
y 3 x.	Проекцией обла-

сти S на ось Оу является отрезок 0;2 .

Тогда

	y
	3
y x3 1	2	y 3 x
	1	y 3 x
	1

-1 1 3

					2	3 y			2			3		3 y
					2	3 y			2			3		3 y
		m x,y dxdy dy						x2dx		x					dy
		m x,y dxdy dy						x2dx							dy
			S		0	3	y 1		0		3			3 y 1
																2

	1	2	3 y 3		y 1 dy	1		3 y	4		y 1				2		20.
	1		3 y 3		y 1 dy	1		3 y			y 1						20.
	3	0				3		4					2				3
Ответ: m				20	(ед. массы).											0
																0

				3

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]