Определенный интеграл по фигуре от скалярной функции. Практическая часть

УДК 517.38(075.8)

ББК 22.161.6(075.8)

ISBN 978-985-550-981-4

© Белорусский национальный

технический университет, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

Практическое занятие № 1. Вычисление криволинейного

интеграла первого рода..........................................................................

4

Практическое задание № 2. Вычисление двойного

интеграла (ДИ) в декартовых координатах........................................

14

Практическое задание № 3. Вычисление двойного

интеграла (ДИ) в полярных координатах...........................................

24

Практическое задание № 4. Вычисление тройного

интеграла в декартовых координатах.................................................

34

Практическое задание № 5. Вычисление тройного

интеграла в цилиндрических и сферических координатах...............

42

Практическое задание № 6. Вычисление поверхностного

интеграла по площади поверхности ...................................................

55

Практическое задание № 7. Приложения интеграла

по фигуре к задачам механики............................................................

63

Задания базового уровня.................................................................

72

Задания базового уровня для самостоятельного решения...........

88

Библиографический список............................................................

91

x a;b . Будем предполагать, что

y(x)

непрерывны на

и y (x)

a;b .

В этом случае dl

2

dx, тогда

1 (y (x))

b

f (x, y)dl f (x, y(x))

2

dx.

(1.1)

1 (y (x))

( AB)

a

ниями: x x(t)

t .

y y(t),

Будем считать x(t),

y(t),

x (t),

y (t) непрерывными на ;

2

2

dt, тогда

и x (t) 0. В этом случае dl

(x (t))

(y (t))

2

2

f (x,y)dl f (x(t),y(t))

dt.

(1.2)

(x (t))

(y (t))

( AB)

x x(t)

уравнениями:

t .

y y(t),

z z(t)

В этом случае dl

2

2

2

dt и

(x (t))

(y (t))

(z (t))

f (x,y,z)dl

( AB)

(1.3)

2

2

2

f (x(t),y(t),z(t))

dt.

(x (t))

(y (t))

(z (t))

Задача 1.1. Вычислить криволинейный интеграл

L

dl

,

если L –

x y

отрезок прямой между точками A 0; 2 и B 4;0 .

Решение.

Напишем

уравнение

прямой

АВ в

виде

x

y

1:

a

b

x y

x

x 0;4 .

у

4 2 1

y 2 2;

В

О

Так как dl

2

dx,

то

1 (y (x))

4

х

x

1

5

y

2

; dl

dx.

–2

2

2

2

А

Тогда

dl

4

5

dx

4

dx

5 ln8 ln4

5

5ln2.

x y

2

x

2

x 4

0

0

L

x

2

Ответ:

5ln2.

Задача 1.2. Вычислить криволинейный интеграл xydl,

где L –

L

контур прямоугольника с вершинами в точках

A 0;0 ,

B 4;0 ,

C 4;2 , D 0;2 .

Решение. I xydl

xydl xydl

xydl xydl.

L

AB

BC

CD

DA

Запишем

уравнения

сторон

прямо-

2

D

C

AB : y 0; 0 x 4; dl dx;

BC :x 4; 0 y 2; dl dy;

A

B

CD : y 2; 0 x 4; dl dx;

О

4 х

DA :x 0; 0 y 2; dl dy.

4

2

2

xydl x 0dx 0;

xydl 4 ydy 2y2

8;

AB

0

BC

0

0

4

4

16;

2

xydl x 2dx x2

xydl 0 ydy 0.

CD

0

0

DA

0

2

1 2x

2

1

3

2

1

5

5 1 .

ydl

2x

dx

1 2xdx

1 2x 2

2x

3

3

L

0

0

0

Ответ: 13 5

5 1 .

Задача 1.4. Найти длину дуги линии y ln 1 x2 ,

1

x 0;

2

.

Решение. Длина дуги линии вычисляется по формуле

l dl.

L

2

2x

4x2

1 x2

Вычислим dl 1 (y (x))

dx;

y

;

dl

1

dx

1 x2 dx.

1 x2

1 x2 2

Тогда

1

1 x2

1

2

x 1

1

1

2

2

2

l dl

dx

1

dx

x ln

ln3

.

1

x2

x2

1

x 1

2

L

0

0

0

Ответ: l ln3 1 (ед. длины).

2

a

x

x

Задача 1.5. Найти массу участка цепной линии

y

a

e

a

2

e

между точками с абсциссами

x1 0,

x2 a,

если в каждой точке

плотность обратно пропорциональна ординате этой точки.

Решение. По условию, плотность

x,y

k

2k

1

,

a

x

x

y

ea e

a

где k const

– коэффициент пропорциональности.

m x,y dl.

Масса плоской кривой вычисляется по формуле

L

a

1

x

1

x

1

x

x

Так как dl

1

2

dx,

то

y

e

a

e

a

a

e

a

(y (x))

2

2

e

;

a

a

1

x

x

dl

a

e

a

2

e

dx.

2

2

dt.

Вычислим

dl : x

a 1 cost ,

y

a sint;

(x (t))

(y (t))

dl

2a2 1 cost dt 2a sin

t

dt.

Тогда

2

2

2

t

2

t 2

t

y2dl a2 1 cost

2asin

dt

2a3

2sin

2

sin

dt

2

2

L

0

0

2

8a

3

2

sin

5

t

dt

u cos

t

,

du 1sin

t

dt

2

2

2

2

0

1 u 1

16a3

1

256a

3

1 u2 2 du

.

1

15

где L – дуга кривой x t,

y

3

t2, z t3, t 0;1 .

2

Решение. dl

2

2

2

dt.

(x (t))

(y (t))

(z (t))

Вычислим dl :

x 1,

y

6t

,

z 3t2,

dl

1 18t2 9t4dt.

2

Тогда

1

t t3

x z dl

1 18t2 9t4dt

L

0

1

1

1 18t2 9t4d 1 18t2 9t4